第三章 函数的概念与性质综合检测卷（基础篇）含答案-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．A=B=R，对应关系f:x→y=1x
B．A=B=R，对应关系f:x→y=2x
C．A=B=R，对应关系f:x→y=±x
D．A=B=N，对应关系f:x→y=x2
【解题思路】根据函数的定义一一判断即可.
【解答过程】对于A，因为0∈A，但是10没有意义，因此不符合题意，故A错误；
对于B，因为任意一个实数x的2x是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确；
对于C，显然2∈A，此时y=±2，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误；
对于D，因为集合A是自然数集，2∈A，但此时y=12∉N，所以y不是x的函数，故D错误.
故选：B.
2．（5分）（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数y=f(x)的图像过点(9,3)，则f(4)的值为（ ）
A．64B．2C．16D．8
【解题思路】利用待定系数法求解析式，然后求函数值.
【解答过程】设幂函数的解析式为fx=xa，则f9=9a=3，解得a=12，
所以fx=x12，f4=2.
故选：B.
3．（5分）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知fx+1=x+2，则函数fx的解析式为（ ）
A．fx=x2B．fx=x2+1（x≥1）
C．fx=x2−2x+2（x≥1）D．fx=x2−2x+3（x≥1）
【解题思路】令x+1=tt≥1，采用换元法求函数的解析式.
【解答过程】令x+1=tt≥1，则x=t−12，
∴ft=t−12+2=t2−2t+3，
所以fx=x2−2x+3x≥1.
故选：D.
4．（5分）（24-25高一上·天津河北·期中）函数fx=x2−1x的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据奇偶性、特殊值即单调性可以排除错误答案.
【解答过程】f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
因为f(−x)=|x2−1|−x=−|x2−1|x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，故排除A；
因为f(2)=32>0，故排除D；
当x>1时，f(x)=x2−1x=x−1x，f(x)在(1,+∞)单调递增，故排除B，
故选：C.
5．（5分）（24-25高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度ℎ（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为ℎ=−3.6t2+28.8t，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒B．第5秒C．第3.5秒D．第3秒
【解题思路】利用配方法，求二次函数最大值及相应t值即可.
【解答过程】由题意，ℎ=−3.6t2+28.8t=−3.6t2−8t+16+57.6=−3.6t−42+57.6，
则当t=4时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第4秒.
故选：A.
6．（5分）（24-25高一上·重庆·期中）已知函数f(x)=(m2−m−1)xm2−2m−2是幂函数，且为奇函数，则实数m=（ ）
A．2或−1B．−1
C．4D．2
【解题思路】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解.
【解答过程】由题意得m2−m−1=1，所以m2−m−2=0，所以m−2m+1=0，
解得m=2或m=−1，
当m=2时，f(x)=x22−2×2−2=x−2，为偶函数，故m=2不符合题意，
当m=−1时，f(x)=x−12−2×−1−2=x，为奇函数，故m=−1符合题意.
综上所述：m=−1.
故选：B.
7．（5分）（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知f(x)=(3−a)x−4a(xf(4x+5).
由于f(x)在R上是减函数，且f(x2)>f(4x+5)，根据减函数的性质可得x20时，fx>2024，则下列说法正确的是（ ）
A．f0=2024
B．fx在R上是减函数
C．fx在−2023,2023上的最大值与最小值之和是4048
D．f2x−1+fx2−2>4048的解集为x−30，
故fx2+2024=fx2−x1+fx1⇒fx2−fx1=fx2−x1−2024>0，
所以fx2−fx1>0，即fx2>fx1，因此fx在R上是单调递增，故B正确，
对于C，由于fx在R上是单调递增，故fx在−2023,2023上的最大值与最小值之和是f−2023+f2023=f0+2024=4048，故C正确，
对于D， 由f2x−1+fx2−2>4048可得f2x−1+fx2−2=fx2+2x−3+2024>4048，
故fx2+2x−3>2024=f0，根据单调递增，故x2+2x−3>0，解得x>1或x0，解得x∈0,1∪2,3，
所以其定义域为0,1∪2,3，
故答案为：0,1∪2,3.
13．（5分）（24-25高一上·海南儋州·期中）已知fx=t2−3t−3xt−1是幂函数，且在0,+∞上单调递增，则f3= 27 .
【解题思路】利用幂函数的定义和性质，求解即可.
【解答过程】因为fx=t2−3t−3xt−1是幂函数，且在0,+∞上单调递增，
所以t2−3t−3=1t−1>0，解得t=4，
所以fx=x3，
所以f3=33=27.
故答案为：27.
14．（5分）（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数y=fx+1−1为定义在R上的奇函数，则f−1011+f−1010+f−1009+⋯+f1012+f1013= 2025 .
【解题思路】根据对称性可得f2−x+fx=2，即可求解.
【解答过程】由于y=fx+1−1为定义在R上的奇函数，
故fx的对称中心为1,1，则f2−x+fx=2，f−1011+f−1010+⋯+f1013=f−1011+f1013+f−1010+f1012+⋯+f0+f2 +f1=2×1012+1=2025.
故答案为：2025.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域：
(1)f(x)=2+3x−2；
(2)f(x)=(x+1)0+2x+3；
(3)f(x)=3−x⋅x−1.
【解题思路】（1）根据分式分母不为零，求得函数的定义域；
（2）根据偶次方根的被开方数为非负数、分式分母不为零、x0则x≠0，求得函数的定义域；
（3）根据偶次方根的被开方数为非负数，求得函数的定义域.
【解答过程】（1）当且仅当x−2≠0，即x≠2时，函数f(x)=2+3x−2有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.
（2）函数有意义，则x+1≠02x+3≥0x+3≠0，解得x>−3，且x≠−1，
所以这个函数的定义域为x|x>−3,且x≠−1.
（3）函数有意义，则3−x≥0x−1≥0解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.
16．（15分）（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知幂函数f(x)=m2−3m+3xm2+32m+12为奇函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(a+1)−2，
则f(x1)−fx2=2x1+1x1+2−2x2+1x2+2=2x1+1x2+2−2x2+1x1+2x1+2x2+2 =3x1−x2x1+2x2+2
因x1>x2>−2，则x1+2>0,x2+2>0,x1−x2>0，
则f(x1)−fx2>0，即f(x1)>fx2，
则fx在区间−2,+∞上单调递增.
（2）由（1）可知fx在区间1,4上单调递增，
则fx的最小值为f1=1，最大值为f4=32.
18．（17分）（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x万份与年促销投入费用m万元满足x=4−km+1（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按8+4xx元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出.
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？
【解题思路】（1）由已知求得k=2，结合每件产品的销售价格，可得出利润y；
（2）利用基本不等式求解最大利润即可．
【解答过程】（1）由已知得，当m=0时，x=2，则2=4−k，得k=2，故x=4−2m+1.
故每件产品的销售价格为1.5×8+4xx，
故利润y=1.5×8+4xx×x−8+4x−m=4+2x−m=12−4m+1−mm≥0.
（2）因为当m≥0时，m+1>0，
所以y=13−4m+1+m+1≤13−24m+1⋅m+1=9，
当且仅当4m+1=m+1，即m=1时等号成立.
即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.
19．（17分）（24-25高一上·广东广州·期中）函数f(x)=ax−b4−x2是定义在(−2,2)上的奇函数，f12=215
(1)确定f(x)的解析式；
(2)请用定义法证明f(x)在−2,2上的单调递增；
(3)解关于t的不等式ft−1+ft