（人教A版）必修一高一数学上册期中复习训练第三章 函数的概念与性质 章节综合检测基础卷（2份，原卷版+解析版）

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1．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.
2．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数为幂函数，所以，则，又因为的图象经过点，所以，得，所以.故选：A
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，所以是上的奇函数.当时，，
所以当时，，从而的值域为.故选：B
4．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，．则函数的最小值为
B．若，，则函数的单调递增区间
C．若，，则函数是单调函数
D．若，，则函数是奇函数
【答案】D
【详解】对于A，若，，则当时，，故A中说法错误；
对于B，的单调递增区间应为，，故B中说法错误；
对于C，的定义域为，当，时，在，上分别单调递增，
但在定义域上不单调，故C中说法错误；
对于D，的定义域为，关于原点对称，且，
故是奇函数，故D中说法正确，故选：D．
5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－4B．4C．5D．8
【答案】C
【详解】由的解集为，则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，函数在上单调递增，所以所以的最小值为5.故选：C
6．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位
【答案】D
【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，当且仅当，即时取等号，满足，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．
7．已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】有图可得，当时，，，；当时，，，故.所以当时，不等式的解集为.又因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，由奇偶性可知，当时，不等式的解集为，
所以不等式的解集是.故选：A.
8．偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以，所以，化简得，又因为a为正实数，所以.故选：B.
二､多选题
9．幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
【答案】ABD
【详解】解：因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，
所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在上单调递增；故选：ABD
10．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，，由于，所以，
所以，故不存在正数M，使得成立.
对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立.
对于C，令，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立.
对于D，令，则，，则，易得，所以，故不存在正数M，使得成立.
故选：BC
11．已知函数的图象关于直线对称，且对于，当，，且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数a的范围可以是下面选项中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，即为偶函数，又当，，且时，恒成立，即恒成立，
所以在上单调递增，则在上单调递减，若对任意的恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，即，解得，即，故符合条件的有A、B、C；故选：ABC
三､填空题
12．已知，若，则_____.
【答案】
【详解】令，解得，则故答案为：
13．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】由题意知，函数的定义域为，所以函数的定义域为，所以，解得．又奇函数是上的减函数，所以是上的奇函数，且在上单调递减．由，得，所以，所以，解得．综上，．
故答案为：．
14．设函数的定义域为，且满足：
①当时，；
②，．
则是_______函数（填“奇”或“偶”），在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．
【答案】 奇 减
【详解】，
令，则，所以，令，则，
又因为的定义域关于原点对称，所以为奇函数；
任取，且，则
因为，所以，，所以，
所以，，所以，所以，
由条件①得，所以，所以在上是减函数，
又为奇函数，所以在上是减函数．
四、解答题
15．已知是定义在上的偶函数，且时，．
(1)求函数的表达式；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性．
【答案】(1)(2)单调减函数，证明见解析
（1）解：设，则，，
因为函数为偶函数，所以，即，所以．
（2）解：设，，
∵，∴，，∴，∴在为单调减函数．
16.在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
（1）选条件①.
设，
则.
因为，所以，
所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），
所以，得.故.
选条件②.
设，
则函数图像的对称轴为直线.
由题意可得，解得.故.
选条件③
设.
因为，所以.
因为恒成立，所以，解得，
故.
（2）由（1）可知.因为，所以，
所以.所以在上的值域为.
17.吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【答案】(1)
(2)70万盒
（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
18.已知函数.
(1)如果函数为幂函数，试求实数a、b、c的值；
(2)如果、，且函数在区间上单调递减，试求ab的最大值.
【答案】(1)，，，或，，.
(2)18
(1)解：由函数的定义域为R知，当为幂函数时，
应满足或
解得，、、的值分别为：，，，或，，.
(2)解：①当时，
由题意知，，所以.
②当时，函数图象的对称轴为，
以题意得：，即
所以，.
当且仅当，时取等号.
③当时，
以题意得：，即，即
又因为，
所以
综上可得，的最大值为18.
19.定义在上的函数满足：对于，成立；当时，恒成立.
(1)判断并证明函数的奇偶性，判断并证明的单调性；
(2)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)奇函数且单调递减，证明见解析；
(2)答案见解析.
（1）为奇函数，证明如下：
由已知，对于有成立．
令，则, 可得．
令，则．
所以，对有，故是奇函数．
在上单调递减，证明如下：
任取且，则，由已知有，
又，得
所以在上是减函数．
（2）因为，
所以．即，
因为在上是减函数，
所以， 即，又，
所以.
讨论如下：
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为.