第14讲 指数-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
根式与分数指数幂
1．根式
(1)n次方根的定义与性质
(2)根式的定义与性质
2．分数指数幂
【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.
【题型1 根式与分数指数幂的互化】
【例1】（24-25高一上·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A．−x=(−x)12B．6y2=y12
C．x−13=−13x(x≠0)D．[3(−x)2]34=x12(x>0)
【解题思路】利用根式和分数指数幂的转化关系，判断选项.
【解答过程】A.−x=−x12，故A错误；B.6y2=y26=y13，故B错误；
C.x−13=13x(x≠0)，故C错误；D. [3(−x)2]34=x2334=x12(x>0)，故D正确.
故选：D.
【变式1.1】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）将34⋅2化成分数指数幂的形式是（ ）
A．276B．2176C．213D．256
【解题思路】由根式与分数指数幂的转换公式即可求解.
【解答过程】34⋅2=413⋅212=223⋅212=276.
故选：A.
【变式1.2】（24-25高一上·河北·阶段练习）设a>0，则14a3a的分数指数幂形式为（ ）
A．a−16B．a−15C．a−34D．a−13
【解题思路】根据根式和指数幂的转化即可得到答案.
【解答过程】14a3a=4a⋅a13−1=a4314−1=a−13.
故选：D.
【变式1.3】（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（ ）
A．3aa=a12a>0B．x−34=−4x3x>0
C．x−12y23=3y2xx>0,y>0D．3−x234=x12x>0
【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解.
【解答过程】对于A选项，3aa=3a⋅a12=3a32=a3213=a12a>0，故A正确；
对于B选项，x−34=1x34=14x3x>0，故B错误；
对于C，x−12y23=1x12⋅3y2=3y2xx>0,y>0，故C正确；
对于D，3−x234=3x234=x2334=x12x>0，故D正确．
故选：B．
【题型2 根式的化简求值】
【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）化简：π−42+3π−33= （ ）
A．1B．−1C．7−2πD．2π−7
【解题思路】根据根式的定义求值．
【解答过程】π−42+3π−33=4−π+π−3=1.
故选：A.
【变式2.1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知a0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x
的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
(2)实数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.
3．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【题型3 指数幂的运算】
【例3】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a5B．−a23=−a32C．a−10=1D．−a24=a6
【解题思路】根据指数的运算性质即可逐一判断.
【解答过程】对于A, a2⋅a3=a5，故A正确，
对于B，−a23=−13a23=−a23，故B错误，
对于C，当a≠1时，才有a−10=1，故C错误，
对于D，−a24=−14a24=a8，故D错误，
故选：A.
【变式3.1】（24-25高一上·河南·阶段练习）3−82+4π−44−0.5−3=（ ）
A．16−πB．πC．−πD．−π−8
【解题思路】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得.
【解答过程】
3−82+4π−44−0.5−3=−8213+π−4−12−3
=232×13+4−π−2−1×−3
=22+4−π−23
=4+4−π−8
=−π，
故选：C.
【变式3.2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）6423−0.0001−0.75−5.50=（ ）
A．−985B．−983C．−995D．−994
【解题思路】利用指数幂的运算性质求解.
【解答过程】原式=43×23−0.14×−34−1=42−0.1−3−1=16−1000−1=−985.
故选：A.
【变式3.3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）下面四个等式运算中，正确的是（ ）
A．3a−2=13a2B．234=324
C．6−86=−8D．a23÷a13=3a
【解题思路】根据指数运算法则，对每个选项进行计算并判断其正确性.
【解答过程】对于A选项，根据负指数幂的定义，a−n=1an（a≠0）.
得到3a−2=3a2，而不是13a2，所以A选项错误.
对于B选项，根据分数指数幂的定义，amn=nam，
则234=423，而不是324，所以B选项错误.
对于C选项，6(−8)6=|−8|=8，所以C选项错误.
对于D选项，对于a23÷a13=a23−13=a13.
又因为a13表示a的立方根，即3a，所以D选项正确.
故选：D.
【题型4 指数幂的化简、求值】
【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）计算2n+12⋅122n+14n⋅8−2n∈N*的结果为（ ）
A．164B．22n+5C．2n2−2n+6D．122n−7
【解题思路】根据指数幂运算求解即可.
【解答过程】原式=22n+2⋅2−2n−122n⋅23−2=2122n−6=27−2n=122n−7．
故选：D.
【变式4.1】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．m4·m4=2m4B．m4+m2=m5
C．−2xy3=−6x3y3D．−ab23÷ab22=−ab2
【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解．
【解答过程】对于A，m4⋅m4=m4+4=m8，故A错误；
对于B，m4+m2≠m5，故B错误；
对于C，−2xy3=−8x3y3，故C错误；
对于D，−ab23÷ab22=−ab23÷ab22=−ab2，故D正确；
故选：D．
【变式4.2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）1.5−13×−760+80.25×42+(32×3)6−2323=（ ）
A．110B．109C．108D．100
【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化结合指数幂运算性质求解即可.
【解答过程】由题意可得：原式=32−13×1+2314×214+22×33−2313=2313+234×214+108−2313=2+108=110.
故选：A.
【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若a,b>0，则a−1−b−1a−2+b−2÷12−a−12−b−12a−12−b−12=（ ）
A．12a−2+b−2B．−12a−2+b−2C．2a−2+b−2D．−2a−2+b−2
【解题思路】根据分数指数幂的运算性质求解即可.
【解答过程】a−1−b−1a−2+b−2÷12−a−12−b−12a−12−b−12=a−1−b−1a−2+b−2÷12b−1−a−1=−2a−2+b−2．
故选：D.
【题型5 指数式的给条件求值问题】
【例5】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知10m=2，10n=3，则103m−2n2=（ ）
A．−12B．49C．22D．223
【解题思路】求出103m−2n22，根据103m−2n2的正负求出103m−2n2.
【解答过程】根据题意，得103m−2n22=103m−2n=103m×10−2n=10m3×10n−2=23×3−2=89，
因为103m−2n2>0，所以103m−2n2=89=223．
故选：D.
【变式5.1】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知a12−a−12=5，则a2−a−2=（ ）
A．35B．±35C．215D．±215
【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得.
【解答过程】由a12−a−12=5得a12−a−122=a−2+a−1=5，即a+a−1=7，
故a12+a−12=a12+a−122=a+2+a−1=9=3，
故a−a−1=a12+a−12a12−a−12=35
故a2−a−2=a+a−1a−a−1=215.
故选：C.
【变式5.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知2a=4，求4a2−a3÷4a4的值；
（2）已知a2+a−1=0，求a2+a13−4a1612a8−2的值．
【解题思路】（1）由2a=4得a=2，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据分数指数幂的运算性质求解即可.
【解答过程】（1）由2a=4，得a=2，
则4a2−a3÷4a4=422−23424=212−2322=2−12−212=12−2=−22．
（2）因为a2+a−1=0，则a2=1−a,a4=1−a2=a2−2a+1=2−3a，
则a2+a13−4a1612a8−2=a2+a13−a2a4−2=1−a2a4−2=a−3a=−13．
【变式5.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知x−x−1=23x>0，求下列各式的值：
(1)x2−x−2x2+x−2；
(2)x+x−1x12+x−12.
【解题思路】（1）将原式平方后可得x2+x−2=14，再配方后可得x+x−1=4，故可求原式的值；
（2）结合（1）中的结果配方可得x12+x−12=6，故可求原式的值.
【解答过程】（1）因为x−x−1=23，故x2+x−2=12+2=14，
故x2+x−2+2=16，而x>0，故x+x−1=4，
故x2−x−2x2+x−2=x−x−1x+x−114=23×414=437.
（2）由（1）可得x+x−1=4，故x+x−1+2=6，
故x12+x−12=6，故x+x−1x12+x−12=46=263.
【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】
【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）方程32x−1=19的解是（ ）
A．−2B．−22C．2D．22
【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可.
【解答过程】由32x−1=19，得32x−1=3−2，
所以2x−1=−2，2x=−1，
解得x=−22.
故选：B.
【变式6.1】（2025高一·全国·专题练习）方程5x−1⋅103x=8x的解集是（ ）
A．1,4B．14C．1,14D．4,14
【解题思路】根据题意，先把103x转化为53x⋅23x，且8x=23x，然后再化简求值即可．
【解答过程】原方程可化为：5x−1⋅53x⋅23x=23x，即54x−1=1，解得：x=14．
故选：B．
【变式6.2】（24-25高一上·北京顺义·期中）关于x的方程4x−2x=2的解为 x=1 ．
【解题思路】由4x−2x=2可得出2x+12x−2=0，结合2x>0可求得x的值.
【解答过程】由4x−2x=2可得2x2−2x−2=0，即2x+12x−2=0，
因为2x>0，可得2x=2，故x=1.
所以，方程关于x的方程4x−2x=2的解为x=1.
故答案为：x=1.
【变式6.3】（2025高三·全国·专题练习）方程81×32x=19x+2的解为 −2 ．
【解题思路】根据指数幂运算求解即可．
【解答过程】∵81×32x=19x+2，∴32x+4=3−2(x+2)，
则2x+4=−2(x+2)，解得x=−2．
故答案为：−2．
【题型7 指数幂等式的证明】
【例7】（2025高一·全国·专题练习）已知a>0且a≠1，2am=a,3am=2a，求证：32mn=2n．
【解题思路】根据题意，由(3a)m(2a)m=2aa=2，得到32m=2，即可得到证明.
【解答过程】证明：∵a>0且a≠1，2am=a,3am=2a，
∴(3a)m(2a)m=2aa=2，∴32m=2，
∴32mn=32mn=2n．∴32mn=2n．
【变式7.1】（2025高三·全国·专题练习）设a,b,c都是正数，且3a=2b=6c，求证：1c=1a+1b．
【解题思路】令3a=2b=6c=tt>0，得到3=t1a，2=t1b，6=t1c．由3×2=6建立等量关系便得证.
【解答过程】 令3a=2b=6c=tt>0，则3=t1a，2=t1b，6=t1c．
很显然有t1a⋅t1b=t1c，∴1a+1b=1c．
【变式7.2】（24-25高一·全国·课后作业）设x2+3x4y2+y2+3x2y4=a，且x，y，a均为正数，求证：x23+y23=a23.
【解题思路】根据根式和分数指数幂的运算法则进行化简，即可得到结论.
【解答过程】x2+3x4y2+y2+3x2y4=x2+x43y23+y2+x23y43
=x43⋅x23+y23+y43⋅x23+y23，设x23+y23=t，
则x43⋅x23+y23+y43⋅x23+y23=tx23+y23=t⋅t=t32=a，即a23=t，
故x23+y23=a23成立.
【变式7.3】（24-25高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式1x+1y=1z．求证：
(1)若ax=by，则ax=abz；
(2)若ax=abz，则by=abz．
【解题思路】（1）依题意可得y=xzx−z，代入ax=by，根据指数幂的运算法则计算可得；
（2）依题意可得a=azx⋅bzx，由1x+1y=1z可得zx=1−zy，zy=1−zx，再代入根据指数幂的运算法则计算可得．
【解答过程】（1）证明：由1x+1y=1z,ax=by,得y=xzx−z,①ax=by.②
将①代入②，得ax=bxzx−z，∴a=bzx−z，∴ax−z=bz，∴axaz=bz，∴ax=abz．
（2）证明：由ax=abz，得a=abzx=azx⋅bzx，
∵1x+1y=1z，∴zx=1−zy，zy=1−zx．
由a=azx⋅bzx，得a1−zx=b1−zy，即azy=b1−zy，
∴az=by−z．两边同乘以bz，得by=abz．
一、单选题
1．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设a>0，则4a3a的分数指数幂形式为（ ）
A．a13B．a15C．a34D．a16
【解题思路】根据根式、指数的运算求得正确答案.
【解答过程】4a3a=4a⋅a13=a4314=a13．
故选：A．
2．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a6B．(−2a2)3=−6a6
C．(3a+1)(3a−1)=9a2−1D．(2a3−a2)÷2a=2a−1
【解题思路】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】对于A，a2⋅a3=a5，故A错误；
对于B，(−2a2)3=−8a6，故B错误；
对于C，(3a+1)(3a−1)=9a2−1，故C正确；
对于D，(2a3−a2)÷2a=a2a2−a2a=a2−12，故D错误；
故选：C.
3．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）3−82+4π−44−0.5−3=（ ）
A．16−πB．πC．−πD．−π−8
【解题思路】由根式和指数的运算法则计算即可.
【解答过程】3−82+4π−44−0.5−3=4313+π−4−12−3=4+4−π−8=−π.
故选：C.
4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（ ）
A．x13=−3xx≠0B．2−34=3−3
C．x3+y3=x+y32D．39=33
【解题思路】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案.
【解答过程】对于A，x13=3xx≠0，故A错误；
对于B，2−34=234=9>0,3−30，下列计算中正确的是（ ）
A．a32⋅a23=aB．a3223=a
C．a−4⋅a4=0D．a32÷a23=a
【解题思路】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解.
【解答过程】对于选项A，a32⋅a23=a32+23=a136，故选项A错误，
对于选项B，(a32)23=a32×23=a，故选项B正确，
对于选项C，a−4⋅a4=a−4+4=a0=1，故选项C错误，
对于选项D，a32÷a23=a32−23=a56，故选项D错误，
故选：B.
7．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知正数a，b满足a4×b8=2，则3a+2b的最小值为（ ）
A．10B．12C．18D．24
【解题思路】结合指数幂的运算性质化简得 2a+3b=1 ，再结合基本不等式“1” 的妙用即可求解.
【解答过程】由题意，a4×b8=22a×23b=22a+3b=2，∴2a+3b=1，
3a+2b=2a+3b3a+2b=6+6+4ba+9ab≥12+24ba⋅9ab=12+2×6=24，
当且仅当4ba=9ab2a+3b=1，即a=4b=6时，等号成立.
故选：D.
8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知a=493632,b=23×332,c=43+π4，则（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a
【解题思路】由分数指数幂、根式先化简，再比较大小即可.
【解答过程】a=493632=7633+π>278，即b>c>a．
故选：C.
二、多选题
9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式错误的是（ ）
A．6y2=y13B．a3+a4=a7
C．x−13=−3x（x≠0）D．4aa=a38
【解题思路】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案.
【解答过程】对于A，当y0)
【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断.
【解答过程】对于A，−x=−x12，x≥0，故A错误；
对于B，6y2=−y13(y0)，故C正确；
对于D，3(−x)234=3x234=x23×34=x12(x>0)，故D正确.
故选：CD.
11．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知a−3+a3=3，下列各式中正确的是（ ）
A．a23+a−23=7B．a33+a−33=18
C．a32+a−32=5D．a−23a3+1a−23a3=25
【解题思路】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果.
【解答过程】A：a23+a−23=a−3+a32−2a−3+3=9−2=7，故A正确；
B：a33+a−33=a−3+a3a−23−a−3+3+a23=3×7−1=18，故B正确；
C：a32+a−32=a32+a−322=a−3+a3+2a32−32=3+2=5，故C正确；
D：a−23a3+1a−23a3
=a−23⋅a32+1a−23⋅a32
=a−332+a332
=a32+a−32a−3+a3−a32−32
=5×3−1=25，故D正确；
故选：ABCD.
三、填空题
12．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若2m=3，2n=5， 则2m+n= 15 .
【解题思路】根据指数幂的运算法则求解．
【解答过程】若2m=3，2n=5，则2m+n=2m⋅2n=3×5=15．
故答案为：15．
13．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）12+1+120220+169−0.5+16423的值为 2+1 .
【解题思路】根据指数幂运算求解即可.
【解答过程】原式=2−1+1+432−0.5+12623=2+43−1+124=2+34+14=2+1.
故答案为：2+1.
14．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若x2−3x+1=0，则x2+x−2x12+x−12= 755 ．
【解题思路】利用幂指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果.
【解答过程】因为x2−3x+1=0，所以x+1x=3，即x+x−1=3，
两边平方得：x2+1x2=7，即x2+x−2=7，
而x12+x−122=x+x−1+2=3+2=5，所以x12+x−12=5，
则x2+x−2x12+x−12=75=755，
故答案为：755.
四、解答题
15．（24-25高一上·海南·期中）计算：
(1)(214)0.5−(3.14)0−(338)− 23+1.5− 2
(2)3a92a− 3÷3a− 73a13(a>0)
【解题思路】（1）根据幂的运算法则计算；
（2）把根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则求解．
【解答过程】（1）2140.5−3.140−338−23+1.5−2 =(32)2×0.5−1−(32)3×(−23)+(32)−2
=32−1−(32)−2+(32)−2 =12．
（2）原式=a92a−3213÷a−73a13312=a313÷a212=a÷a=1．
16．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)aa(a>0)；
(2)13x5x22(x>0)；
(3)4b−23−23(b>0)；
(4)3a3a3a.
【解题思路】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可.
【解答过程】（1）原式=a⋅a12=a32=a3212=a34.
（2）原式=13x⋅x252=13x⋅x45=13x95=1x9513=1x35=x−35.
（3）原式=b−2314−23=b−23×14×−23=b19.
（4）原式=3a3a⋅a13=3a3a43=3a⋅a49=3a139=a1327.
17．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值.
(1)−760−80.25×42+2723−12−2；
(2)已知x12+x−12=3，求x2+x−2−2x+x−1−3的值.
【解题思路】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案；
（2）x12+x−12=3两边平方求出x+x−1=7，x+x−1=7两边平方求出x2+x−2=47，从而得到x2+x−2−2x+x−1−3的值.
【解答过程】（1）原式=1−234×214+3323−2−1×(−2)=1−2+32−22=−1+9−4=4.
（2）因为x12+x−12=3，
所以x+x−1=x12+x−122−2=32−2=7，
x2+x−2=x+x−12−2=72−2=47，
所以x2+x−2−2x+x−1−3=47−27−3=454.
18．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知10m+10n=5,10m+n=6，求：
(1)102m+102n10−m+10−n
(2)103m−2n2.
【解题思路】（1）根据平方关系可得102m+102n=13，由负数指数幂的性质可得10−m+10−n=110m+110n=10n+10m10n+m=56，即可代入求解，
（2）根据10m+10n=5和10m10n=6可得10m,10n的值，即可分情况代入求解.
【解答过程】（1）由10m+10n=5平方可得102m+102n+2×10m+n=25，
由于10m+n=6，故102m+102n=13，
10−m+10−n=110m+110n=10n+10m10n+m=56，
因此102m+102n10−m+10−n=1356=785
（2）103m−2n2=103m−2n12=10m310n212，
由10m+10n=5和10m10n=6可得10m=2,10n=3或10m=3,10n=2，
当10m=2,10n=3时，则103m−2n2=103m−2n12=10m310n212=89=223，
当10m=3,10n=2时，则103m−2n2=103m−2n12=10m310n212=274=332.
19．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题：
(1)化简：6a53b43÷−35a−13b13；
(2)若x+x−1=9，求下列各式的值：
①x2+x−2；②x12+x−12
【解题思路】（1）根据分数指数幂的运算公式，即可求解；
（2）利用平方关系，根据分数指数幂的运算公式，即可求解.
【解答过程】（1）6a53b43÷−35a−13b13=6×−53a53−−13b43−13=−10a2b.
（2）①x+x−12=x2+x−2+2=81，所以x2+x−2=79；
②x12+x−122=x+x−1+2=11，且x12+x−12>0，
所以x12+x−12=11.定义
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示；
(2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为；
(3)负数没有偶次方根；
(4)0的任何次方根都是0，记作
定义
式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
性质
，
整数指数幂
指数
幂中
的指
数从
整数
拓展
到了
有理
数
分数指数幂
正整数指数幂：
正数的正分数指数幂：
负整数指数幂：
正数的负分数指数幂：
规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
整数指数幂
的运算性质
底数、指数
的取值范围
实数指数幂
的运算性质
底数、指数
的取值范围
m,n∈Z,a∈R
r,s∈R,且a>0
m,n∈Z,a∈R
r,s∈R,且a>0
n∈Z,a∈R,b∈R
r∈R,且a>0,b>0