第17讲 对数函数-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
对数函数的概念
1．对数函数的定义
(1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+
∞).
(2)判断一个函数是对数函数的依据：
①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).
例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数.
【题型1 对数函数的判定】
【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y=lga5+x（a>0且a≠1）B．y=lg3−1x
C．y=lg3−xD．y=lgx3（x>0且x≠1）
【解题思路】利用对数函数的定义求解．
【解答过程】根据对数函数的定义f(x)=lgax(a>0且a≠1),
分析A,B,C,D函数形式，
函数y=lg(3−1)x为对数函数.
故选：B.
【变式1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（ ）
A．y=lg23x2B．y=lg3x−1
C．y=lgx+1xD．y=lgπx
【解题思路】运用对数函数概念可判断.
【解答过程】根据对数函数概念，形如y=lgax(a>0且a≠1)的函数是对数函数.结合选项知道y=lgπx为对数函数.
故选：D.
【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．y=lg12(−x)B．y=2lg4(1−x)C．y=lnxD．y=lg(a2+a)x
【解题思路】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【解答过程】函数y=lg12(−x)，y=2lg4(1−x)的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数y=lnx是对数函数，C是；
函数y=lg(a2+a)x的底数含有参数a，而a的值不能保证a2+a是不等于1的正数，D不是.
故选：C.
【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，是对数函数的有
①y=lgax (a∈R)；②y=lg8x；③y=lnx；④y=lgx(x+2)；⑤y=2lg4x.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据对数函数的概念分析可得答案.
【解答过程】①y=lgax在a>0且a≠1的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；
②y=lg8x和③y=lnx符合对数函数的定义，是对数函数；
④y=lgx(x+2)中，底数不是常数，不是对数函数；
⑤y=2lg4x中系数不是1，不是对数函数.
故选：B.
【题型2 求对数函数的函数值或解析式】
【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点M9,−2，则此对数函数的解析式为（ ）
A．y=lg2xB．y=lg3x
C．y=lg13xD．y=lg12x
【解题思路】设对数函数解析式求参即可.
【解答过程】设对数函数为y=lgax,
M9,−2代入可得−2=lga9=lgaa−2,
所以a−2=9,1a2=9,a=13,
则对数函数的解析式为y=lg13x.
故选：C.
【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）若某对数函数的图象过点4,2，则该对数函数的解析式为（ ）
A．y=lg2xB．y=2lg4x
C．y=lg2x或y=2lg4xD．不确定
【解题思路】设函数为y=lgaxa>0,a≠1，再根据图象过点4,2可得2=lga4，即可解出a，得到该对数函数的解析式．
【解答过程】设函数为y=lgaxa>0,a≠1，依题可知，2=lga4，解得a=2，所以该对数函数的解析式为y=lg2x．
故选：A．
【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数f(x)=lgax+a2−3a+2是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2B．1
C．2D．a>0且a≠1
【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.
【解答过程】∵函数f(x)=lgax+a2−3a+2是对数函数，
∴a2−3a+2=0，a>0且a≠1，
解得a=1或a=2，∴a=2，
故选：C．
【变式2.3】（24-25高一·全国·课后作业）已知函数fx=lgax+2，若图象过点6，3，则f2的值为（ ）
A．−2B．2C．12D．−12
【解题思路】将6，3代入fx=lgax+2求得a=2，进而可得f2的值.
【解答过程】因为函数fx=lgax+2的 图象过点6，3，
所以lga6+2=3⇒lga8=lgaa3，
则a3=8⇒a=2，
所以fx=lg2x+2，f2=lg22+2=2，
故选：B.
模块二
对数函数的图象与性质
1．对数函数的图象与性质
对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：
2．底数a对对数函数图象的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.
当a>1时，对数函数的图象“上升”;
当01还是0