第16讲 对数-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
对数的概念
1．对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)对数的性质：
①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.
②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).
(3)对数与指数的关系：
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N.
用图表示为：
2．常用对数与自然对数
【题型1 对数的概念的理解】
【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对数lga+35−a中实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,5B．−3,5C．−3,−2∪−2,5D．−3,+∞
【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）有下列说法：
①以10为底的对数叫作常用对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以e为底的对数叫作自然对数；
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1.2】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子lg(3x−1)(2−x)有意义的x的取值范围是（ ）
A．x>2B．130，且c≠1，b>0，则=.
(2)换底公式的推论：
①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；
② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；
③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).
3．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【题型3 对数的运算性质的应用】
【例3】（24-25高三上·湖南邵阳·期中）已知ab≠1,lgam=2,lgbm=5，则lgabm=（ ）
A．110B．17C．710D．107
【变式3.1】（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（ ）
A．lgaa=1B．lgaMN=lgaM−lgaN
C．lgaMc=clgaMD．lga(MN)=lgaM⋅lgaN
【变式3.2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）若lg2m+lg4n=2，则m2n=（ ）
A．3B．4C．9D．16
【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若a>0且a≠1，b>0，c>0，n、m∈N+，n>1，给出下列等式：①lgab2−c2=2lgab−2lgac；②lga32=2lga3；③lganbm=mnlgab；④lgax=−lga1x.其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型4 运用换底公式化简计算】
【例4】（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）已知lg2=a，lg3=b，则lg3018=（ ）
A．a+2bb−1B．a+2bb+1C．a−2bb−1D．a−2bb+1
【变式4.1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知a>0,b>0且ab≠1，若lgax=3,lgbx=4，则lgabx=（ ）
A．112B．17C．127D．712
【变式4.2】（24-25高二下·天津河东·期末）若2x=6，y=lg443，则x+2y的值是（ ）
A．3B．lg23C．8D．−3
【变式4.3】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知m>0，n>0，lg33m+lg3n=lg32m2+n，则lg2m−lg4n的值为（ ）
A．−1或0B．1C．−1D．1或0
【题型5 指、对数方程的求解】
【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程lgx2−lgx2−3=0的两实根是a和b，则lgab+lgba等于（ ）
A．1B．－2
C．−103D．－4
【变式5.1】（24-25高一上·北京大兴·期末）方程lg2x2=1的解集为（ ）
A．{ 1 }B．{ −1 , 1 }
C．{ 2 }D．{ −2 , 2 }
【变式5.2】（24-25高三上·浙江·开学考试）方程lg3x=lg6x⋅lg9x的实数解有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式5.3】（24-25高一·山东枣庄·课后作业）若方程lgx2+lg7+lg5lgx+lg7⋅lg5=0的两根为α、β，则α⋅β=（ ）
A．lg7⋅lg5B．lg35C．35D．135
【题型6 带附加条件的指、对数问题】
【例6】（24-25高一上·贵州·期中）已知5x=2，5y=3，则53x−2y2的值为（ ）
A．223B．324C．89D．6481
【变式6.1】（24-25高一上·黑龙江·期中）若2x=3，y=lg843，则x+3y的值是（ ）
A．3B．lg34C．2D．−2
【变式6.2】（24-25高一上·上海·期中）（1）已知lg2=a，lg3=b，试用a、b表示lg215，
（2）已知3x=6y=2，求2x−1y的值.
【变式6.3】（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）若x12+x−12=22，求x2+x−2的值；
（2）已知10a=2, 10b=3，用a, b表示lg512．
【题型7 运用换底公式证明恒等式】
【例7】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：2x=3y=12z≠1，求证：2x+1y=1z．
【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）设xa=yb=zc，其中x，y，z均大于0，且都不为1，1a+1b=1c，求证：z=xy．
【变式7.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式lgaN=b⇔ab=N证明换底公式：lgaN=lgmNlgma；
（2）利用（1）中的换底公式求值：lg225⋅lg34⋅lg59；
（3）利用（1）中的换底公式证明：lgab⋅lgbc⋅lgca=1．
【变式7.3】（24-25高一下·上海·课后作业）已知在△ABC中，∠C=90°，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：lg(b+c)a+lg(c−b)a=2lg(b+c)a⋅lg(c−b)a．
模块三
对数的实际应用
1．对数的实际应用
在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数
学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【题型8 对数的实际应用】
【例8】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2−m1=−2.5lgE2E1E1>0,E2>0，则（ ）
A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍
B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍
C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍
D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍
【变式8.1】（24-25高一上·湖南·阶段练习）8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型.2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（ ）（参考数据，lg2.338≈0.369，lg2.489≈0.396，100.034≈1.081，100.036≈1.086）
A．6%B．7%C．8%D．9%
【变式8.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级L来表示声强强度大小，规定声强级L=10lgII0（单位：分贝），其中I0为标准声强.若声强I1是声强I2的150倍，则声强I1的声强级比声强I2的声强级大多少分贝（ ）（结果四舍五入保留整数）(lg3≈0.48,lg5≈0.7)
A．14B．21C．22D．23
【变式8.3】（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明⋅《增广贤文》)是勉励人们专心学习的. 假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是1+1%365=1.01365；如果每天的“退步率”都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365. 一年后“进步者”是“退步者”的()365≈1481倍. 照此计算，大约经过（ ）天，“进步者”是“退步者”的2倍（14811024近似取2计算）.
A．33B．35C．37D．39
一、单选题
1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算22+lg25=（ ）
A．7B．9C．10D．20
2．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式lg8x2−2x−3有意义，则实数x的取值范围为（ ）
A．−∞,−1B．−1,3
C．3,+∞D．−∞,−1∪3,+∞
3．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若ab=2a>0,a≠1，则有（ ）
A．lga2=bB．lg2a=b
C．2a=bD．2b=a
4．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知a=lg3,b=lg5，则用a,b表示lg75为（ ）
A．a+2bB．2abC．3abD．3b−a
5．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）计算：lg23⋅lg34+3lg34=（ ）
A．2B．4C．5D．6
6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若a=lg35，5b=6，则ab−lg32=（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
7．（24-25高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：v=wln1+Mm，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M=3m时，v=5.544千米／秒.在保持w不变的情况下，若m=20吨，假设要使v达到8千米/秒，则M大约为（ ）结果精确到1，参考数据：e2≈7.389,ln2≈0.693）
A．98吨B．108吨C．118吨D．128吨
8．（24-25高二上·天津·期中）已知x>0，y>0，lg4x+lg2y=lg8，则12x+1+4y的最小值是（ ）
A．3B．94C．4615D．9
二、多选题
9．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．e0=1与ln1=0B．8−13=12与lg812=−13
C．lg39=2与912=3D．lg77=1与71=7
10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（ ）
A．若lg2x=3，则x=22
B．若lgx116=−23，则x=64
C．若xlg319=14，则x=4
D．若lga2b2=1，则a=b
11．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若实数x>0，y>0，a>0，且a≠1，m≠0，n≠0，则下列各式中，恒成立的是（ ）
A．ax+y=ax+ayB．lgaxy=lgax−lgay
C．lgamxn=mnlgaxD．lgx1n=lgxn
三、填空题
12．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知2a=3，lg45=b，则8a−2b= .
13．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算lg2−lg14+3lg5−lg32⋅lg49+2lg24= ．
14．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要 年（lg2≈0.3）
四、解答题
15．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化：
(1)lg216=4；
(2)lg1327=−3；
(3)lg5100≈4.606；
(4)43=64；
(5)3−2=19；
(6)10−3=0.001．
16．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知6m=2，6n=5.
(1)求62m−n的值；
(2)用m，n表示lg2015.
17．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中x的值．
(1)lg8lg7lg2x=0；
(2)lg2lg3lg2x=1；
(3)3lg32x+1=27．
18．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）求值：
(1)(64)23×(34)−32−0.125−13+lg5+lg2+lg354−lg36；
(2)lg35+lg532−lg925lg53−lg532．
19．（24-25高一上·天津·阶段练习）回答下面3个题：
(1)lg43+lg83lg32+lg92+lg3427−2lg25
(2)若3a=12，b=lg412，求 1a+1b的值；
(3)记lg2=a，10b=3，用 a、b 表示对数lg1220 .
名称
定义
符号
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
简记作lg N
自然对数
以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e
≈2.71828
简记作ln N
运算
数学表达式
自然语言描述
积的对数
正因数积的对数等于同一底数的各因数的
对数的和
商的对数
两个正数的商的对数等于同一底数的被除
数的对数减去除数的对数
幂的对数
正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂
的底数的对数