第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 -【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
(1)定义：
(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
(3)奇、偶函数图象对称性的应用
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
2．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
3．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【题型1 函数奇偶性的判断】
【例1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数fx=xx+2，则下列函数中是奇函数的是（ ）
A．fx−2+1B．fx−2−1C．fx+2−1D．fx+2+1
【变式1.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知fx=1−x2x+2−2，则fx（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【变式1.2】（24-25高一上·四川眉山·期中）下列函数中既奇函数又是增函数的是（ ）
A．fx=x2B．fx=1x
C．fx=xD．fx=2x
【变式1.3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数fx=1x，gx=x，则（ ）
A．fx+gx是奇函数B．fx−gx是奇函数
C．fxgx是奇函数D．fgx是奇函数
【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】
【例2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的奇函数fx，当x0时，fx=（ ）
A．−x2−3x+1B．x2+3x+1C．−x2+3x+1D．x2−3x−1
【变式2.1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）设fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=2x2+x，则f−1=（ ）
A．−2B．1C．−1D．−3
【变式2.2】（24-25高一上·重庆·期中）已知fx为R上的奇函数，当x>0时，fx=x3+2x+1，则x