预备知识08 二次函数与一元二次方程、不等式-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义
2、借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性
3、能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养
知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均为常数）
②（其中均为常数）
③（其中均为常数）
④（其中均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
对点特训一：一元二次不等式（不含参）的求解
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．
例题2．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集.
(1)
(2)
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）不等式－x2－2x＋3≥0的解集为 （ ）
A．{x|x≥－3}B．{x|x≥1}
C．{x|x≤2}D．{x|－3≤x≤1}
．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式.
(1);
(2)
对点特训二：一元二次不等式（含参）的求解
角度1：二次项系数不含参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：．
（2）解关于实数的不等式：．
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
角度2：二次项系数含参
典型例题
例题1．（多选）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或B．
C．D．
例题2．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集．
精练
1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于的不等式．（只需结果，不需过程）
可因式分解为 ．
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
对点特训三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
例题2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
精练
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ．
对点特训四：分式不等式的解法
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合. 则 .
精练
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知集合 则（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（23-24高三下·北京·开学考试）不等式的解集是 ．
对点特训五：不等式恒成立问题
角度1：判别法
典型例题
例题1．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
例题2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
精练
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
角度2：分离变量法
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
例题2．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
精练
1．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数.
(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式（其中）.
对点特训六：一元二次不等式的实际问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
例题2．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元．
(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
精练
1．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250元B．260元C．270元D．280元
2．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
一、单选题
1．（23-24高一下·云南·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·陕西·二模）若，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于的不等式：的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式不同解的不等式是（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2024·云南·模拟预测）已知集合，若且，则实数的取值范围是 .
12．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ．
四、解答题
13．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于的不等式的解集是．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值．
14．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集