预备知识12 函数的奇偶性-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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1、了解函数奇偶性的定义
2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3、会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
知识点一：函数的奇偶性
1、定义：
1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
2、函数奇偶性的判断
2.1定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
2.2图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
2.3性质法：
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
知识点二：奇函数，偶函数的性质
1、奇函数，偶函数的图象特征
设函数的定义域为
（1）是偶函数的图象关于轴对称；
（2）是奇函数的图象关于原点对称；
（3）若是奇函数且，则
2、函数的奇偶性与单调性的关系
（1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；
（2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；
3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系
设函数的定义域为（其中）
（1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；
（2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；
知识点三：对称性
1、轴对称：
设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：
①；
②
③
2、点对称
设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：
①；
②
③
3、拓展：
①若，则关于对称；
②若，则关于对称；
对点特训一：判断函数的奇偶性
典型例题
例题1．（23-24高一·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)．
例题2．（23-24高一·全国·课堂例题）判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
精练
1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
2．（2024高一·全国·专题练习）判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
对点特训二：根据函数的奇偶性求值
典型例题
例题1．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则等于 .
精练
1．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．7D．5
2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是奇函数，当时，，则 .
对点特训三：根据函数的奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．
精练
1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数,当时，，当时，求解析式.
对点特训四：根据函数的奇偶性求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．4B．6C．8D．0
例题2．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .
例题3．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ．
精练
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）函数为偶函数，则实数 .
2．（23-24高一上·云南保山·期中）已知函数是偶函数，其定义域为，则
3．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是偶函数，则实数 .
对点特训五：根据函数的奇偶性解不等式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为 .
精练
1．（23-24高一上·河北张家口·期中）已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
3．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
对点特训六：通过构造奇函数求值
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，且，则
例题2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ．
精练
1．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知函数，若，则 .
2．（23-24高一上·广东·期末）已知函数，若，则 .
1．（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B．
C．D．
2．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（ ）
A．减函数且最小值是－4B．减函数且最大值是－4
C．增函数且最小值是－4D．增函数且最大值是－4
3．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．3D．
5．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．C．3D．2
二、多选题
9．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A．B．0C．1D．2
三、填空题
10．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .
四、解答题
11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数．
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明．
12．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数的最小值为2，求实数的取值.偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数