2022年初升高数学衔接讲义(第2套) 第12讲 函数的奇偶性（教师版+学生版）

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第12讲 函数的奇偶性    奇函数、偶函数的定义奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.偶函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.     奇函数、偶函数的性质奇函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于原点对称；③若定义域内包含0，则；④.偶函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于轴对称；③.     用定义证明函数奇偶性的步骤：①求定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则进行下一步;②化简的解析式.③求，判断与的关系.若，则为奇函数；若，则为偶函数；若都不满足，则既不是奇函数也不是偶函数；若两个等式都满足，则既是奇函数也是偶函数.     判断函数奇偶的方法（1）定义法；（2）图像法；（3）性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数； ③两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为0)为奇函数.(性质法里面需要注意定义域)   例1.函数的奇偶性是(     )A．奇函数     B．偶函数     C．非奇非偶函数     D．既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，选C. 例2.下列说法正确的是(     )A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数的定义域为，且，则是奇函数【答案】B 例3.设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是__________． 【答案】【解析】是奇函数，可作出如下在的图象，由图象可知的解集为. 例4.判断下列函数的奇偶性：(1) ；          (2)；(3) ；                  (4) 【答案】(1)非奇非偶函数；(2)既奇又偶函数；(3)偶函数；(4)奇函数.【解析】(1)的定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数；(2)中有，解得，且，为既奇又偶函数；(3)定义域为，且，为偶函数；(4)函数定义域为，且，当时，，此时；当时，，此时，综上可知，为奇函数. 例5.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是(   )A. 是偶函数              B. 是奇函数C. 是偶函数              D. 是偶函数【答案】D 例6.已知函数是奇函数，则________．【答案】2【解析】当时，，是奇函数，，解得.   例7.函数，若对任意实数都有，求证：为奇函数．【证明】令得，则，令，依题意得，即，又定义域为，为奇函数． 例8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________．【答案】【解析】当时，，是定义在上的偶函数，. 例9.已知分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．【答案】【解析】分别是上的奇函数和偶函数，，又，则，即，联立解得. 例10.           若函数是偶函数，且定义域为，则__________，__________．【答案】【解析】依题意得且恒成立，解得且恒成立，则. 例11.           已知为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为__________．【答案】【解析】奇函数在上是增函数，在上是增函数，又，，由得或，解得或，的解集为. 例12.           定义在上且满足，且时，，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】依题意，令得，，任取且，则，，在上单调递增，不等式转化为且，，解得，故解集为. 例13.           设定义在区间上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】是定义在区间上的偶函数，可化为，又时，单调递减，，解得，故的取值范围为. 例14.           函数是定义在区间上的奇函数，且．(1)    确定函数的解析式；(2)    用定义证明：在区间上是增函数；(3)    解不等式：．【答案】(1)；(2)见解析；(3). 【解析】(1)依题意得，解得，；(2)任取且，则，且，，，即，在区间上是增函数(3)可化为，则，解得. 
跟踪训练    已知函数是定义在上的奇函数，且，则等于(     ) A．3            B．2          C．            D．【答案】D【解析】依题意，选D.     下面五个命题中，正确命题的个数是(    )  ①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数图像一定过原点；③偶函数图像一定关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是；⑤偶函数与轴若有交点，则交点横坐标之和为0.A.2     B.3     C.4      D.5【答案】A【解析】①错误，③正确：偶函数的图像关于轴对称，但不一定与轴相交；②错误：奇函数图像关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点；④错误：若既是奇函数，又是偶函数，则且，则，但不一定，只要定义域关于原点对称即可；⑤正确.故正确命题个数是2，选A.     对于定义在上的任意奇函数，都有(     )  A.   B.   C.    D.【答案】D【解析】对于定义在上的任意奇函数，都有，则，故选D.     若函数为偶函数，则(    )A．           B．          C．           D．【答案】C【解析】依题意得，即，，解得，选C.     函数的图像关于(    )A.轴对称    B．直线对称   C．坐标原点对称   D．直线对称【答案】C【解析】定义域为，且，是奇函数，图象关于原点对称，选C.     已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为( )  A.      B.       C.        D.【答案】B【解析】是定义在上的奇函数，且当时，，则时，，此时，，故选B.     已知函数，则下列结论正确的是(     )A.是偶函数，递增区间是     B.是偶函数，递减区间是C.是奇函数，递减区间是      D.是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】定义域为，且，是奇函数，当时，，在上递减，在递增；当时，，在上递减，在递增，综上，递减区间是，选C.     如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是(    )A.增函数且最小值是         B.增函数且最大值是 C.减函数且最大值是         D.减函数且最小值是【答案】A【解析】奇函数在区间上是增函数且最大值为，则在上也是增函数，，在区间上由最小值，选A.     若函数是偶函数，则的递减区间是         .【答案】【解析】依题意，解得，，的递减区间是.  若函数在上是奇函数,则的解析式为________.【答案】【解析】在上是奇函数，，解得，.  设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则由大到小的关系是__________．【答案】【解析】偶函数在上是增函数，，即.  若函数是奇函数，则实数的值为______．    【答案】1【解析】函数是奇函数，时，，则，.  设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解集是          ．【答案】【解析】奇函数图象关于原点对称，作出在的图象如下：由得，由图可知，的解集为.  已知，则          ．【答案】【解析】由已知得，则.  已知函数的定义域是，且满足，,如果对于，都有.(1)    求；(2)    解不等式.【答案】(1)0；(2).【解析】(1)令，得，；(2)依题意，，，由对于，都有，可知在 单调递减，由得，，解得，故解集为.  判断下列函数的奇偶性．(1) ；                  (2) ； (3) ；               (4) .【答案】(1)奇函数；(2)非奇非偶函数；(3)奇函数；(4)非奇非偶函数.【解析】(1)定义域为，且，是奇函数；(2)中有，解得，不关于原点对称，是非奇非偶函数；(3)中有，解得，，，是奇函数；(4)当时，，此时且，是非奇非偶函数.  已知奇函数是定义在上的减函数，求不等式的解集.【答案】【解析】奇函数是定义在上的减函数，由得，，解得，故解集为.  已知函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集．【答案】【解析】奇函数在上是增函数，且，在上是增函数，且，由得或，解得或，故解集为.  若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式．【答案】【解析】是定义在上的奇函数，，当时，，此时，综上，.