专题1.1 集合的概念【九大题型】-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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\l "_Tc24430" 【题型1 集合概念的理解】 PAGEREF _Tc24430 \h 1
\l "_Tc24104" 【题型2 判断是否为同一集合】 PAGEREF _Tc24104 \h 2
\l "_Tc24906" 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 PAGEREF _Tc24906 \h 3
\l "_Tc15331" 【题型4 判断元素与集合的关系】 PAGEREF _Tc15331 \h 3
\l "_Tc6726" 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 PAGEREF _Tc6726 \h 4
\l "_Tc9734" 【题型6 确定集合中的元素】 PAGEREF _Tc9734 \h 4
\l "_Tc31168" 【题型7 用列举法表示集合】 PAGEREF _Tc31168 \h 5
\l "_Tc5778" 【题型8 用描述法表示集合】 PAGEREF _Tc5778 \h 6
\l "_Tc16714" 【题型9 集合中的新定义问题】 PAGEREF _Tc16714 \h 7
【知识点1 集合的概念】
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【题型1 集合概念的理解】
【例1】（2022·高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品D．地球上的小河流
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近2的所有实数；③方程x2+2x+2=0的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③④
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-3】（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①2的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若a∈Z，则−a∈Z
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1B．2C．3D．4
【题型2 判断是否为同一集合】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={(3,2)}，N={(2,3)}
B．M={2,3}，N={3,2}
C．M={(x,y)∣x+y=1}，N={y∣x+y=1}
D．M={2,3}，N={(2,3)}
【变式2-1】（2023·高三课时练习）设Q是有理数，集合X={x|x=a+b2,a,b∈Q,x≠0}，在下列集合中；
（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）{y|y=x2,x∈X}；与X相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式2-2】（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．M=−1,3，N=3,−1
B．M=−1,3，N=3,−1
C．M=x,yy=x2+3x，N=xy=x2+3x
D．M=∅，N=∅
【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1
B．∅与0是同一个集合
C．集合xy=x2−1与集合yy=x2−1是同一个集合
D．集合xx2+5x+6=0与集合x2+5x+6=0是同一个集合
【题型3 集合中元素特性的求参问题】
【例3】（2023·高一课时练习）由a2，2−a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．−1B．1C．3D．2
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）数集1，2，x2−3中的x不能取的数值的集合是（ ）
A．2，5B．−2，−5C．±2，±5D．2，−5
【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）在集合A=1,a2−a−1,a2−2a+2中，a的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=4,x,2y，B=−2,x2,1−y，若A=B，则实数x的取值集合为（ ）
A．{−1,0,2}B．{−2,2}C．−1,0,2D．{−2,1,2}
【知识点2 元素与集合的关系】
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．
【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法

【题型4 判断元素与集合的关系】
【例4】（2023·江苏·高一假期作业）下列关系中，正确的有（ ）
①12∈R；② 5∉Q；③−3∈N；④−3∈Q.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）已知集合M=x|xx−1=0,那么（ ）
A．0∈MB．1∉MC．−1∈MD．0∉M
【变式4-2】（2023春·福建龙岩·高一校考开学考试）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0∉N∗，④4∈N，⑤π∉Q，⑥|−2|∉Z.其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．2C．3D．5
【变式4-3】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合S=y|y=x2−1,T=(x,y)|x+y=0,下列关系正确的是（ ）
A．−2∈SB．2,−2∉TC．−1∉SD．−1,1∈T
【题型5 根据元素与集合的关系求参数】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=12,a2+4a,a−2，−3∈A，则a=（ ）
A．−1B．−3或1C．3D．−3
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若a∈{1,3,a2}，则a的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈Rx2+a>0，且2∉A，则实数a的取值范围是（ ）
A．aa≤4B．aa≥4C．aa≤−4D．aa≥−4
【变式5-3】（2022秋·高一单元测试）已知集合A=2,0,1,9，B=k|k∈R,k2−2∈A,k−2∉A，则集合B中所有的元素之和为（ ）
A．0B．2C．−1D．−2
【题型6 确定集合中的元素】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅,∅
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【变式6-2】（2023·高一课时练习）已知关于x的方程x2−mx+m2−3=0的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2B．−2C．±2D．不存在
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·高二校考阶段练习）已知集合A=−1,0,1，B=m|m2−1∈A,m−1∉A，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．－1D．2
【知识点3 集合的表示法】
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【题型7 用列举法表示集合】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合A.
（2）方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
（3）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
【变式7-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={a|关于x的方程x+ax2−2=1有唯一实数解}，试用列举法表示集合A．
【变式7-2】（2023·江苏·高一假期作业）用列举法表示下列集合.
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
【变式7-3】（2023·江苏·高一假期作业）若集合A={x∣kx2−8x+16=0}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【题型8 用描述法表示集合】
【例8】（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【变式8-1】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【变式8-2】（2022秋·陕西安康·高一校考阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程2x−1+2y+1=0的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数y=x2+2x−10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【变式8-3】（2023·江苏·高一假期作业）用描述法表示下列集合：
（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
（2）不等式2x－3