专题1.4 充分条件与必要条件【六大题型】-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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\l "_Tc11948" 【题型1 命题的概念】 PAGEREF _Tc11948 \h 1
\l "_Tc894" 【题型2 判断命题的真假】 PAGEREF _Tc894 \h 2
\l "_Tc2004" 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 PAGEREF _Tc2004 \h 3
\l "_Tc5470" 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 PAGEREF _Tc5470 \h 4
\l "_Tc29774" 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 PAGEREF _Tc29774 \h 4
\l "_Tc31563" 【题型6 充要条件的证明】 PAGEREF _Tc31563 \h 5
【知识点1 命题】
命题及相关概念
【题型1 命题的概念】
【例1】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（ ）
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1+2=3
D．今天是星期天
【变式1-1】（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：①0∈N；②x2+y2=0；③x2>x；④xx2+1=0，其中命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列语句中：①−11；③x2−1=0有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③
【变式1-3】（2022·高一课时练习）给出下列语句：①x>1．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：3是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合1,2,3,4中的元素．其中是命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（ ）
①mx2+2x−1=0是一元二次方程；
②函数y=2x−1的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【变式2-1】（2022秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果a>b，那么a2>b2B．如果a>b，那么ac2>bc2
C．如果a>b,c>d，那么ad>bcD．如果a>b,cb−d
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程x2−3x−4=0的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合A∩B 是集合A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-3】（2023秋·上海黄浦·高一校考阶段练习）设a∈R，关于x,y的方程组x−ay=1ax+y=a.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【知识点2 充分、必要与充要条件】
1．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
【注】：“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.
(2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】
【例3】（2023·上海普陀·上海市校考模拟预测）“x>1”是“1x0”是“a>b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式3-3】（2020秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：① s是q的充要条件；② p是q的充分不必要条件；③ r是q的必要不充分条件；④ r是s的充分不必要条件；正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】
【例4】（2023·高一课时练习）关于x的方程ax+1=0有实根的一个充分条件是（ ）
A．a=0B．a=1
C．a≠1D．ay”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．x>yB．x2>y2
C．xy>1D．2x−y>2
【变式4-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）使x∈x|x≤0或x>3}成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≤0或x>3B．x3
C．x≤0或x>1D．x≥0
【变式4-3】（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“x2+2x−m≥0在x∈R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．m4C．2