预备知识01 集合的概念-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合，发展数学抽象素养.
2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“”“ ”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表示有关集合.
3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表示集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养.
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
3．元素与集合的关系
(1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．
(2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作．
4．常用的数集及其记法
5．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
6．描述法
(1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
对点特训一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（ ）
A．某校比较出名的教师B．方程的根
C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形
【答案】A
【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可.
【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；
B：，方程根确定，可构成集合；
C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；
D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.
故选：A
例题2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（ ）
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】A
【分析】判断元素是否具有确定性，判断出答案.
【详解】①联合国常任理事国有5个国家，满足确定性，可以构成集合；
②坪高全体游泳健将，元素不具有确定性，不能构成集合；
③方程的实数根，具有确定性，能构成集合；
④全国著名的歌手，元素不具有确定性，不能构成集合.
故选：A
精练
1．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明B．地球上的小河流
C．方程的实数解D．周长为的三角形
【答案】B
【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.
【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A正确；
地球上的小河流不满足集合元素的确定性，
即没有标准说多小的河流算小河流，故B错误；
方程的实数解是，可以构成一个集合，故C正确；
周长为的所有三角形可以构成一个集合，故D正确；
故选：B.
2．（23-24高一上·云南保山·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．著名的数学家B．很大的数
C．聪明的学生D．年保山市参加高考的学生
【答案】D
【分析】根据集合的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，对于“著名”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，A错误；
对于B，对于“很大”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，B错误；
对于C，对于“聪明”没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，C错误；
对于D，年保山市参加高考的学生具有确定性，能构成集合，D正确.
故选：D.
对点特训二： 判断元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）用符号“”或“”填空：
（1）若，则-1 A；
（2）若，则3 B；
（3）若，则8 C，9.1 C.
（4） ；
（5） ；
（6）2017 .
（7） ， ， ， ．
【答案】
【分析】结合自然数集，整数集，有理数集，实数集的元素特征，根据集合与元素的关系的定义判断即可.
【详解】（1），故；
（2），故；
（3），故；
（4），；
（5）
（6）因为2017不能被表示为的形式，所以；
（7）
例题2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知由实数组成的集合，，又满足：若，则.
(1)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
(2)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.
【答案】(1)A不可能是单元素集合，理由见解析；
(2)A中所含元素个数一定是，证明见解析．
【分析】（1）由x与都在集合A中，结合集合A只含有一个元素，得，再判断方程有无实数根，若有解则存在，若无解则不存在；
（2）A中所含元素个数一定是个．由，则，得到，然后推导出互不相等即可证明A中所含元素个数一定是个．
【详解】（1）假设A中仅含一个元素，不妨设为a，则，有，
又A中只有一个元素，，即，
但此方程，即方程无实数根，
∴不存在这样的实数a，故A不可能是单元素集合．
（2）中所含元素个数一定是个．
证明：，则，，而，
且，当时，，
，方程无解，；
当时，，，方程无解，；
当时，，，方程无解，，
中所含元素个数一定是个．
精练
1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据常见数集的含义即可求解.
【详解】由于；；；，
故①错误；②正确；③错误；④错误，
故选：A．
2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【答案】A
【分析】由元素和集合的关系判断.
【详解】由解得，
因为，，
故，且，
故选：A
对点特训三：利用集合中元素的互异性求参数
典型例题
例题1．（多选）（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则实数的可能取值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】ABD
【分析】分，，，求出实数，利用元素的互异性检验，得到答案.
【详解】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意；
②若，即时，，不满足集合中元素的互异性；
③若，即，
当时，此时集合中的元素为，，满足题意；
当时，此时集合中的元素为，满足题意.
故选：ABD.
例题2．（23-24高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)的值为0或
(2)的值为
【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．
（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．
【详解】（1）集合中有三个元素：，，，，
或，
解得或，
当时，，，，成立；
当时，，，，成立．
的值为0或．
（2）集合中也有三个元素：0，1，，，
当取0，1，时，都有，
集合中的元素都有互异性，，，
．
实数的值为．
精练
1．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或﹣1
【答案】B
【分析】根据集合的元素不重复可解得.
【详解】因为，所以或，解得，或或，
当时，，又集合中不能有相同的元素，所以
故选：B
2．（23-24高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可.
【详解】对A，当时，，，不满足题意；
对B，当时，，不满足题意；
对C，当时，，，满足题意；
对D，当时，，不满足题意；
故选：C
对点特训四：用列举法表示集合
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集.
【详解】由，解得，
所以方程组的解构成的集合是.
故选：D
例题2．（23-24高二下·辽宁阜新·期末）集合用列举法表示为 .
【答案】
【分析】依题意逐个验证即可.
【详解】时，时，时，时，时，时，不合题意，
故满足题意的有，
故答案为：.
精练
1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）.
【答案】
【分析】根据集合的元素特征直接列举出即可.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知集合，且，则M等于 （用列举法）
【答案】
【分析】根据列举法列举所以情况即可求.
【详解】由于，所以是6的正因数，
当时，，符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
当时，，符合，
综上可得，
故答案为：
对点特训五： 用描述法表示集合
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解组成的集合；
(2)被除余的正整数的集合；
(3)；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答.
（2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答.
（3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答.
（4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答.
【详解】（1）
因为不等式的解组成的集合为，
则集合中的元素是数.
设代表元素为x，
则x满足，
所以，即．
（2）
设被3除余2的数为x，
则．
又因为元素为正整数，
故．
所以被3除余2的正整数的集合
（3）
设偶数为x，
则．
但元素是2，4，6，8，10，
所以．
所以．
（4）
因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即，
故第二象限内的点的集合为．
例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；
(2)所有奇数组成的集合；
(3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解.
（2）由奇数的概念以及描述法即可求解.
（3）由描述法即可求解.
（4）用列举法即可求解.
【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合.
（2）所有奇数组成的集合.
（3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合.
（4）.
精练
1．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)奇数的集合；
(2)正偶数的集合；
(3)；
(4)不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)；
(4)
【分析】（1）（2）根据描述法写出；
（3）根据描述法及列举法求解；
（4）解一元一次不等式，利用描述法表示即可.
【详解】（1）奇数的集合用描述法表示为：
（2）正偶数的集合用描述法表示为：
（3）．
（4）由解得，所以不等式的解集为．
2．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于小于12.8的整数的全体；
(3)所有能被3整除的数的集合；
(4)方程的解集；
(5)不等式的解集；
(6)抛物线上的点组成的集合．
【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用列举法表示集合；
（2）利用列举法表示集合；
（3）利用描述法表示集合；
（4）利用列举法表示集合；
（5）利用描述法表示集合；
（6）利用描述法表示点集合.
【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月．
（2）．
（3）
（4）.
（5）.
（6）.
对点特训六：集合中的含参问题
角度1：已知集合相等求参数
典型例题
例题1．（2024·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可.
【详解】当，时，，或任意，（舍去）；
当，时，，，不成立，
所以，，.
故选：A.
例题2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值.
【详解】∵，显然，
所以，∴.
根据集合中元素的互异性得，∴.
∴
故答案为：
同类题型归类练
1．（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 .
【答案】
【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案.
【详解】①当时，解得，
当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；
当时，，
得到与矛盾，所以舍去；
②当时，解得，
当时，，
得到与矛盾，所以舍去；
当时，，
得到，符合题意，所以.
故答案为：.
2．（23-24高一上·河南郑州·期中）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ．
【答案】0
【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案.
【详解】由题意，可得，
根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得，
此时集合
所以.
故答案为.
角度2：已知集合元素个数求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．1或0B．0C．1D．1或2
【答案】A
【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求.
【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解，
当时，方程可化为，满足题意，
当时，方程只有一个解，则，解得，
所以或.
故选：.
例题2．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，集合，当时，集合；
(3)
【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；
（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
【详解】（1）解： 是空集，
且，
，解得，
所以的取值范围为：；
（2）：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所述，当时，集合，当时，集合；
（3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得，时中至少有一个元素，即.
精练
1．（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得.
【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且，
所以实数m的取值范围为且.
故选：C
2．（21-22高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一个元素，则实数的值是 .
【答案】
【分析】根据已知条件可得出，即可解得实数的值.
【详解】因为集合中只有一个元素，
则，解得.
故答案为：.
3．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中.
(1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.
(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解；
（2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可.
【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；
若，则当且仅当方程的判别式，即时，
方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合；
（2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或，
②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得，
综合①②知的取值范围为或.
一、单选题
1．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则B中元素的最小值为（ ）
A．B．C．D．32
【答案】A
【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，，
所以B中元素的最小值为.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定.
【详解】当时，，所以，故A正确；
当时，，所以，故B错误；
当或时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D错误.
故选：A
3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】
根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答.
【详解】
，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．
故选：B．
4．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（ ）
①与表示同一个集合；
②由组成的集合可表示为或；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④B．只有②和③
C．只有②D．以上语句都不对
【答案】C
【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断．
【详解】
①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错．
故选：C
5．（23-24高一上·湖南常德·期末）集合，又则（ ）
A．B．
C． D．任一个
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案.
【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数，
奇数+偶数=奇数，所以，，
如，但.所以B选项正确.
故选：B
6．（22-23高一上·全国·期中）已知集合，则的元素个数是（ ）
A．16B．8C．6D．4
【答案】C
【分析】分别在集合中取，由此可求得所有可能的取值，进而得到结果.
【详解】因为，
所以，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，所以.
故选：C.
7．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，运算求解即可.
【详解】由题意可知：，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
8．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围.
【详解】由题意.
故选：D
二、多选题
9．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；
选项B中，与表示不同的点，故；
选项C中，，，故；
选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.
故选：ABD.
10．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用元素与集合的关系以及元素特性即可判断.
【详解】由题知，或或，
即或或.
当时，（舍）；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意.
故选：BD
三、填空题
11．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 .
【答案】
【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得.
【详解】依题意，由，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
所以.
故答案为：
12．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 .
【答案】0或
【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可.
【详解】因为，则，解得或.
故答案为：0或.
四、解答题
13．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可.
【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为；
（2）
（3）
（4）
（5）由题意，
当时，＋；
当时，＋；
当时，＋；
当时，＋，
故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为.
14．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合.
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为
(3)
【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；
（2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.
【详解】（1）A是空集，且，，解得，
的取值范围为：；
（2）当时，集合，
当时，，，解得，此时集合，
综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为；
（3）当时，，符合题意；
当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
数学符合
或