高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册简单复合函数的导数优秀同步达标检测题

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知识点01基本初等函数的导数公式
【即学即练1】（22-23高二下·上海浦东新·期中）函数的导函数为
【答案】
【分析】根据余弦函数的导函数直接可得结果.
【详解】由题意可得：.
故答案为：
知识点02导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).
【即学即练2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）若，则 ．
【答案】
【分析】利用积的导数法则可求解.
【详解】由，可得.
故答案为：
知识点03复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
【即学即练3】（22-23高二下·上海·期末）函数的导数是 .
【答案】
【分析】利用复合函数的导数求导规则即可求得函数的导数.
【详解】
故答案为：
题型一：基本初等函数的导数公式
1.（23-24高二下·上海·期中）已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2） ；（3） ；（4）；
其中没有“巧值点”的函数是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】A
【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可.
【详解】对于，，不存在“巧值点”；
对于，，令可得或，有“巧值点”；
对于，，令，
因为与的图象有一个公共点，所以有解，有“巧值点”；
对于，，令，可知是的一个解，有“巧值点”.
故选：A
2.（24-25高三上·上海松江·期中）曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】直接求导得，代入求得斜率即可.
【详解】由，则，所以，
所以在点0,1处的切线方程为，即．
故答案为：
3.（23-24高三上·上海普陀·期中）曲线在点处的切线斜率为 .
【答案】
【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.
【详解】因为，则，
可知曲线在点处的切线斜率.
故答案为：.
4．（22-23高二上·上海宝山·期末）函数的导数 .
【答案】
【分析】利用导数运算求得正确答案.
【详解】由于，
所以.
故答案为：
5．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】由导数的定义、基本初等函数的导数法则即可运算求解.
【详解】若，则，.
故答案为：1.
6．（23-24高二下·上海宝山·期末） ．
【答案】
【分析】根据导数的定义，以及求导公式，即可求解.
【详解】设，，
.
故答案为：
7．（22-23高二下·上海青浦·期中）函数在处的切线方程为
【答案】
【分析】求导，根据切点和导数的几何意义得到切线斜率，由点斜式写出方程.
【详解】，则，于是在处的切线斜率为，故切线方程为：，即.
故答案为：
题型二：导数的运算法则
1.（23-24高二下·上海·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，再借助垂直关系求出值.
【详解】函数，求导得，
因此曲线在点处的切线斜率为，
而切线与直线垂直，所以.
故选：B
2.（23-24高二下·上海·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】由导数四则运算法则即可求解.
【详解】.
故答案为：.
3．（22-23高二下·上海宝山·期中）函数的导数 ．
【答案】
【分析】根据导数计算公式直接计算即可.
【详解】函数的导数为，
函数的导数为，
根据导数加法运算公式，函数的导数.
故答案为：.
4．（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟）
【答案】104
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】易知，则，
则分钟.
故答案为：104
5．（22-23高二下·上海闵行·期中）某赛车启动时的位移（米）和时间（秒）的关系满足，则时赛车的瞬时速度是 （米/秒）．
【答案】90
【分析】根据导数的物理意义求解即可.
【详解】由导数的物理意义可得该质点在第秒时的瞬时速度即函数在时的导数值，
因为
所以，
所以，
所以质点在第3秒时的瞬时速度为（米/秒）．
故答案为：90．
6．（23-24高三上·上海松江·期中）已知函数，则 .
【答案】
【分析】求导，再求值.
【详解】，.
故答案为：
7．（21-22高二下·上海浦东新·期末）函数在处的切线倾斜角是 .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出函数在处的切线斜率，即可计算作答.
【详解】依题意，，则函数在处的切线斜率，
所以所求切线倾斜角为.
故答案为：
8．（22-23高二下·上海青浦·期中）无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则它的导函数
【答案】
【分析】根据导数的乘法法则，计算即可得出答案.
【详解】根据导数的乘法运算法则，
可知，
所以，.
故答案为：.
9.（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ．
【答案】
【分析】求导，即可结合导数的定义求解.
【详解】，则，故，
故.
故答案为：
10．（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 .
【答案】/2.75
【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值.
【详解】由得，
因为函数在处的切线方程为，
所以，
所以，
所以，
当时，，即切点为，
将代入得，
所以.
故答案为：
题型三：导数的加减法与导数的乘除法
1．（23-24高二下·上海·期末）设表示在处的导数值， 已知，则
【答案】/
【分析】先对函数求导，然后将代入导函数可求出.
【详解】由，得
，
令，则，解得，
故答案为：
2．（21-22高二下·浙江宁波·期中）设函数的导函数为，且，则 ．
【答案】
【分析】求导，将代入导函数可得，然后可得.
【详解】因为
所以，整理得
所以
所以.
故答案为：
3.（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ．
【答案】
【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程.
【详解】设切点坐标为，
由，得，
所以曲线在点处的切线方程为.
因为切线过点，所以，解得.
所以切线方程为.
故答案为:.
4.（22-23高二下·上海嘉定·期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位：）．
(1)求，并解释其实际意义；
(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是多少（精确到）？
【答案】(1)，实际意义见解析；
(2).
【分析】（1）求出的导数，代入可求，根据导数的几何意义解释其实际意义；
（2）求解即可.
【详解】（1），则，
表示太阳落山后，蜥蜴的体温下降的速度为.
（2）令，解得,
故蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是.
题型四：求某点处的导数值
1.（23-24高二下·上海·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【分析】已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，即可求解．
【详解】函数的导函数为，且满足，
，把代入可得，
解得．
故选：C．
2.（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】求导后代入计算即可；
【详解】由题意得，所以.
故答案为：.
3.（23-24高二下·上海浦东新·期末）若，则 ．
【答案】
【分析】求导可得，代入计算，即可求解.
【详解】因为，则.
故答案为：
4．（23-24高二上·上海闵行·期末）无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则 .
【答案】
【分析】根据函数的求导公式计算，带入即可.
【详解】函数，
.
故答案为：
5．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数，则 .
【答案】
【分析】先求导，再令即可.
【详解】，
所以.
故答案为：.
6．（23-24高三上·河北衡水·期中）已知函数，则 ．
【答案】8
【分析】根据函数在某点处的导数的定义求解。
【详解】根据题意，，则，又．
故答案为：8
7．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 .
【答案】/
【分析】在等式两边求导，再令，即可得出的值.
【详解】因为，则，
所以，，故.
故答案为：.
8．（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数的导数为，若，则 ．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，令，解得即可.
【详解】因为，
则，令可得
解得.
故答案为：
9．（23-24高二下·上海·期中）若函数满足，则 .
【答案】
【分析】求导可得，令运算求解即可.
【详解】因为，可得，
令，可得，解得.
故答案为：.
10．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知函数的导函数为，且，则的图象在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】对给定的函数求导，并求出参数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，则，解得，
因此，，则，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：
题型五：简单复合函数的导数
1.（22-23高二下·上海长宁·期末）下列求导计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案．
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误．
故选：B．
2.（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得.
【详解】因为，则.
故答案为：
3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）函数的导函数为 ．
【答案】
【分析】根据复合函数的导函数运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故答案为：.
4．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知函数，满足，则它的导函数 （请注明定义域）.
【答案】
【分析】根据复合函数的导数运算法则求解.
【详解】由题可知，函数的定义域为，
，
故答案为: .
5．（23-24高二下·上海·期中）设函数，则 .
【答案】
【分析】由复合函数的导数公式即可求得答案.
【详解】因为，所以，
故答案为：.
6．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的导函数 .
【答案】
【分析】根据基本初等函数以及复合函数的求导法则，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
故答案为：.
7．（22-23高二下·上海松江·期中）已知函数，则 .
【答案】
【分析】先求导，然后再求.
【详解】由导数的运算可知，，.
故答案为：
8．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则该函数图像在点处的切线的倾斜角的大小是 ．
【答案】
【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
故答案为：.
9.（22-23高二下·上海嘉定·期中）求下列函数的导数：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】直接利用求导公式计算得到答案.
【详解】（1），
（2），.
10.（23-24高二下·上海·期中）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中.
(1)求的导数；
(2)计算，并解释它的实际意义.
【答案】(1)
(2)，实际意义见解析
【分析】（1）利用复合函数的求导法则即可得解；
（2）将代入（1）中导数，再利用导数的意义解释即可.
【详解】（1）因为，
令，则可以看作和的复合函数，
根据复合函数的求导法则，有
.
（2）由（1）得，
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为．
一、单选题
1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）计算：（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】变换得到，计算得到答案.
【详解】设
则.
故选：D.
2．（23-24高二下·上海·期末）设的导函数是连续函数，则下面不正确的是（ ）
A．如果是奇函数，则必是偶函数
B．如果是偶函数，则必是奇函数
C．如果是周期函数，则必是周期函数
D．如果是周期函数，则必是周期函数
【答案】D
【分析】根据导函数与原函数的关系、函数的奇偶性的性质，逐一分析选项，即可得出答案．
【详解】对于A：当是奇函数时，则，则有，故必是偶函数，故A正确；
对于B：是偶函数，则，则，故必是奇函数，故B正确；
对于C：是周期函数，则，则，故必是周期函数，故C正确；
对于D：设不是周期函数，，
，是周期函数，但不是周期函数，故D错误.
故选：D．
3．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知函数及其导函数的定义域都是R.命题p：“若函数是奇函数，则是偶函数”：命题q：“若函数是周期函数，则也是周期函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．p是真命题，q是假命题B．p是假命题，q是真命题
C．p与q都是真命题D．p与q都是假命题
【答案】A
【分析】根据导数的运算性质，结合函数的性质，分析计算，即可得答案.
【详解】若是奇函数，则，
所以，
所以，即，
所以是偶函数，故命题p是真命题；
若函数是周期函数，不妨令是周期函数，
则（C为常数）不是周期函数，故命题q为假命题，
故选：A
4．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设函数在定义域上的导数值均存在，其导函数为，关于这两个函数的图象，有如下两个命题：
命题：若的图象关于直线对称，则的图象也关于直线对称；
命题：若是减函数，且其图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近，则函数是增函数，且其图象向右方无限延伸时也会存在一条平行或重合于轴的直线，使得的图象与无限趋近.
下列判断正确的是（ ）
A．和都是真命题B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题D．是假命题，是真命题
【答案】B
【分析】举例即可说明命题、为假命题.
【详解】对于命题：若，则，
显然的图象关于直线对称，
但是不是轴对称图形，故命题为假命题；
对于命题：若，则，
显然的图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近，
函数为增函数，但是不存在直线，使得的图象与无限趋近，
故命题是假命题.
故选：B.
二、填空题
5．（24-25高三上·上海闵行·期中）函数在处的导数是 .
【答案】
【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案.
【详解】由，则，当时，.
故答案为：.
6．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则 ．
【答案】1
【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案.
【详解】,，则 .
故答案为：1.
7．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ．
【答案】6
【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得f′1即可.
【详解】因，
由可得，
故.
故答案为：6.
8．（23-24高二下·上海·期中）函数的导函数为 .
【答案】
【分析】利用导数运算法则求解即得.
【详解】由导数的运算法则可得.
故答案为：
9．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，则 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解即得.
【详解】函数，求导得，
所以.
故答案为：
10．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则
【答案】
【分析】根据导数的乘法求导法则求，进而可得结果.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
11．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数，则 .
【答案】9
【分析】求出函数导数计算即可.
【详解】因为，
所以，，
故答案为：9
12．（24-25高三上·上海·期中）若，则 .
【答案】
【分析】根据题意，求导可得f′x，然后令代入计算，即可得到结果.
【详解】对函数y=fx求导得，；
令，得，整理得.
因此，，故.
故答案为：
13．（23-24高二下·上海·期中）函数的导函数为，满足关系式，则的值为 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，再令计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以，解得.
故答案为：
14．（23-24高二下·上海·期中）若函数，则其导函数 .
【答案】
【分析】根据乘法求导规则，再结合复合函数求导即可.
【详解】根据导函数运算律可得.
故答案为：
15．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数，定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据函数的特征，即可求，即可求解的值.
【详解】，，，，
发现函数的导函数中第一部分是周期为4的函数，第二部分的导数不变，
，所以，，
则.
故答案为：.
16．（24-25高三上·上海宝山·期中）设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得．
【详解】由题可设，，
则
则
即，
即的最小值为到距离平方的最小值，
其中点在曲线上，在直线上，
的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，
设切点为，
因为曲线的导函数为，则，解得，所以切点为，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化到距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解.
三、解答题
17．（23-24高一下·上海·期中）求下列函数的导数．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基本函数的导数及求导法则，即可求出结果；
（2）利用基本函数的导数及复合函数的求导法则，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
18．（21-22高二下·上海长宁·期末）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可.
【详解】（1）；
（2）.
19．（24-25高三上·上海浦东新·期中）（1）设、为实数，比较与的值的大小；
（2）已知，求曲线在点处的切线方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）应用作差法比较大小；
（2）利用导数几何意义求切线方程.
【详解】（1），
当且仅当时等号成立，
所以；
（2），则，
因此，曲线在点处的切线斜率为，
于是，所求切线方程为，即.
20．（23-24高二下·上海·期中）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中.
(1)求的导数；
(2)计算，并解释它的实际意义.
【答案】(1)
(2)，实际意义见解析
【分析】（1）利用复合函数的求导法则即可得解；
（2）将代入（1）中导数，再利用导数的意义解释即可.
【详解】（1）因为，
令，则可以看作和的复合函数，
根据复合函数的求导法则，有
.
（2）由（1）得，
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为．
21．（21-22高二下·上海普陀·期末）已知曲线和.
(1)若曲线､在处的切线互相垂直，求的值；
(2)若与曲线､在处都相切的直线的斜率大于3，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据切线垂直可得在处导数值的乘积为求解；
（2）利用导数计算切线斜率，再由斜率大于3求解即可.
【详解】（1）由可得，
由可得，
因为曲线､在处的切线互相垂直，
所以，解得.
（2）由题意，切线的斜率，
可得，且或，
所以，
令，则函数在和上是增函数，
所以或，
即或，解得或.
课程标准
学习目标
①基本初等函数的导数公式
②导数的运算法则
③复合函数的导数
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
3.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
4.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
5.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
6.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)