高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册组合数的性质精品习题

这是一份高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册组合数的性质精品习题，文件包含第06讲组合原卷版docx、第06讲组合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。


知识点01组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
【即学即练1】（2022·上海黄浦·模拟预测）已知，用非负整数表示，，若为其表示方法的数组（）的个数，则＝ ．
知识点02排列与组合的关系
【即学即练2】（2021·上海松江·二模）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为 .
知识点03组合数公式
规定：Ceq \\al(0,n)＝1.
【即学即练3】（高二下·上海浦东新·期末）下列四个组合数公式:对，约定,有
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确公式的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
知识点04组合数的性质
性质1：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
【即学即练4】（24-25高二上·上海·期末）方程的解集是（ ）
A．B．C．D．
题型一：组合数的计算
1．（23-24高二下·上海·期中）可以表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高二下·上海浦东新·期中）设n为正整数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．该代数式的值唯一确定B．该代数式的值有两种情况
C．该代数式的值有三种情况D．该代数式的值有无数种情况
3．（22-23高二下·上海浦东新·期中）下列关于排列数和组合数的计算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）某舞台灯光设备有一种36头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头灯出现故障的概率是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（ ）．
A．B．C．D．
5．（22-23高二下·上海嘉定·期末）从0、1、2、3、4、5、6、7这8个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为3的概率为 .
6．（22-23高二下·上海长宁·期末）若，则正整数 .
7．（23-24高二下·上海·期末）6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为 .
8．（23-24高二上·上海·期末）四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面ABC相交的概率是 ．
9．（24-25高二上·上海浦东新·期中）从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为 .（用数字作答）
10．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ．
题型二：利用组合数公式证明
1．（高二下·上海杨浦·期末）对于无理数,用表示与最接近的整数,如,.设，对于区间的无理数,定义,我们知道,若,和,则有以下两个恒等式成立：①；②,那么对于正整数和两个无理数,,以下两个等式依然成立的序号是 ；①；②.
2． ．
3．（高二下·上海静安·期末）（1）设、，，求证：；
（2）请利用二项式定理证明：.
4．（高二下·上海·期末）（1）设，且，求证：；
（2）求满足的正整数n的最大值；
5．（高二下·上海虹口·期末）（1）化简：；
（2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是多少?
题型三：组合数方程和不等式
1．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若正整数n满足不等式，则 .
2．（21-22高二上·上海黄浦·阶段练习）方程的解集为 .
3．（22-23高二上·上海嘉定·期中）若，则 ．
4．（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 .
5．（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 .
6．（23-24高二上·上海·阶段练习）方程的解是 ．
7．（高二下·上海宝山·期中）解方程（1）；
（2）.
8．（22-23高二上·上海静安·期中），求正整数x的值.
9．（高二下·上海浦东新·期末）解不等式
（1）解关于实数的不等式:，其中是实参数；
（2）解关于正整数的不等式:，其中是给定的正整数.
10．（高二下·上海金山·期中）（1）解不等式；
（2）已知，求．
题型四：组合数的性质及应用
1．（22-23高二下·上海闵行·期末）化简：=（ ）.
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·上海青浦·期末）“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
3．（20-21高二下·上海虹口·期中）下列四个组合数公式：对，约定，有
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）；
（4）（）；
其中正确公式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（21-22高二下·上海嘉定·期末）下列式子错误的（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二下·上海·期中）已知，则正整数 ．
6．（22-23高二下·上海浦东新·期中） .
7．（22-23高二下·上海嘉定·期中）满足方程 的x的值为 ．
8．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 .
9．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）（1）解不等式；
（2）解方程.
10．（23-24高二下·上海闵行·期中）一种装有10颗巧克力的礼盒里有草莓和牛奶两个口味，其中草莓味的有4颗，现从中随机取出2颗．
(1)求恰有1颗是草莓味的概率；
(2)记取出2颗全是牛奶味的方法数为n，试解关于正整数x的方程．
11．（22-23高二下·上海徐汇·期中）（1）已知、为正整数，，求证：：
（2）已知、为正整数，求证：；
（3）、为正整数，，求证：．
12．（25-26高三上·上海·期中）求证：．
一、单选题
1．（21-22高三下·上海奉贤·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分有非必要条件
2．（22-23高二上·上海静安·期中）从30名儿童中选3名扮演三种小动物，则不同的编排方法有（ ）种
A．B．C．D．
3．（21-22高二上·上海奉贤·期中）已知为不同数字的种类，如等，求所有的256个 排列所得到的的总和是（ ）
A．450B．720C．374D．700
4．（2008·上海·高考真题）组合数恒等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，则正整数 .
6．（23-24高二下·上海静安·期末）圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画出 个圆内接三角形；请编写一个排列数的问题，其答案为，这个问题可以是 ．
7．（23-24高二下·上海嘉定·期末）若则正整数n的值为 ．
8．（22-23高二下·上海黄浦·期中）某动漫手办厂推出一款新产品“手办盲盒”，该厂为“套路”顾客，将6个“手办盲盒”装成一箱，且每箱均有2个稀有手办盲盒.若某同学从一箱中随机购买2个手办盲盒，则能买到稀有手办盲盒的概率为 ．（结果用最简分数表示）
9．（23-24高三上·上海嘉定·期中）若，则 .
10．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 .
11．（23-24高二下·上海浦东新·期中）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
12．（24-25高三上·上海·期中）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为 （用最简分数表示）
13．（24-25高三上·上海·期中）已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为 ．（结果用分数表示）
14．（2024·上海松江·二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法.
15．（23-24高二下·上海·期中）用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答）
16．（24-25高二上·上海·期中）从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 .
三、解答题
17．（21-22高二下·上海闵行·期末）求满足下列方程组的正整数的解：
(1)；
(2)．
18．（22-23高二下·上海静安·期末）（1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：；
（2）按（1）中的组合数性质公式，有.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.
19．（21-22高二下·上海黄浦·期末）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．
(1)求甲从到达处的走法总数；
(2)求甲乙两人在相遇的方法数．
20．（22-23高二下·上海闵行·期末）有4本不同的科技类书和3本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上
(1)若从这7本书中随机取2本书，则至少取到1本文艺类书的取法有多少种?
(2)同一种类的书都互不相邻的概率是多少?(计算结果要化为最简分数)
21．（2002·上海·高考真题）规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．
(1)求的值．
(2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，．
课程标准
学习目标
①组合及组合数的定义
②排列与组合的关系
③组合数公式
④组合数的性质
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.
2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．
3.掌握组合数公式和组合数的性质.
4.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．
5.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.
6.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题．
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数Ceq \\al(m,n)与排列数Aeq \\al(m,n)间存在的关系
Aeq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m,n)Aeq \\al(m,m)
组合数
公式
乘积
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)