人教A版高二数学选修第二册导数的概念及其运算(讲义)（原卷版+解析版）

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模块二 基础知识梳理
1 导数的概念
(1) 平均变化率
若某个问题中的函数关系用f(x)表示，可用式子Δ yΔ x=f(x0+∆x)−f(x0)Δ x表示函数f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率.
(2) 瞬时变化率
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
(3) 导数概念
函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x0+∆x)−f(x0)Δ x，
则称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0) 或y'​x=x0，即
f'(x0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x0+∆x)−f(x0)Δ x
(4) 导函数
若当x变化时，f'(x)是x的函数，则称它为f(x)的导函数(简称导数)，记作f'(x)或y' ，即
f'(x)=limΔ x→0f(x+∆x)−f(x)Δ x .
2 基础初等函数的导数运算
(1)基本初等函数的导数公式
(2)导数运算法则
(1)fx± gx'=f'x±g'(x)；
拓展：fx± gx±…± ux'=f'x±g'(x)±…± u'x；
记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；
(2)fx⋅gx'=f'(x) g(x)+fxg'(x)；
记忆：两函数积的导数等于“前导后不导+后导前不导”；
特别：C∙fx'=C∙f'(x)，C为常数；
证明 [cf(x)]'=c'f(x)+cf'(x)=cf'(x)；
(3)fxg(x)'=f'xgx−fxg'xgx2(gx≠ 0).
记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”.
(3)简单复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u) , u=f(x) 的导数间的关系是yx'=yu'⋅ ux'．
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
3 导数的几何意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0 , f(x0))处的切线的斜率，即：曲线y=f(x)在点 P(x0 , f(x0))处的切线l的斜率k=f'(x0)，
切线l的方程为y−f(x0)=f'(x0)(x−x0)．
模块三 核心考点梳理
【题型1】 变化率的问题
【典题1】 (2023·上海闵行·二模)某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=ft，用− fb−fab−a的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是( )

A．在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在0,t1，t1,t2，t2,t3这三段时间中，在t1,t2的污水治理能力最强

【典题2】(2024·广东·高三专题练习)已知f'(x0)=a，则limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0−3Δx)2Δx的值为( )
A．－2a B．2a C．aD．a2

【巩固练习】
1. (2024·广东·高三专题练习)若limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2−Δx)Δx=−2，则f'−2=( )
A．1B．-1C．2D．-2
2. (2024·全国·高三专题练习)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )

A．在t0处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
B．在t0处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
3. (2024·全国·高三专题练习)为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示．则下列结论正确的是( )

A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在t2,t3这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在t1,t2和t2,t3两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
4. (2024·全国·高三专题练习)小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为Vt，区间0,t1，0,t2，t1,t2上的平均速度分别为V1,V2,V3，则下列判断正确的有( )
A．V1