第05讲 人教A版高二数学选修第二册 数列求和(讲义)（原卷版+解析版）

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模块二 基础知识梳理
求数列的前n项和Sn是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求
和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.
方法1 公式法
若已知数列是等差或等比数列，求其前n项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下
(1) 等差数列求和公式Sn=na1+an2=na1+nn−12d
(2) 等比数列求和公式Sn=na1 & , q=1a11−qn1−q& , q≠1
(3) 12+22+32+⋯+n2=nn+12 n+16
(4) 13+23+33+⋯+n3=nn+122.
方法2 倒序相加(乘)法
1 对于某个数列{an}，若满足a1+an=a2+an−1=…=ak+an−k+1，则求前n项和Sn可使用倒序相加法.
具体解法：设Sn=a1+a2+…+an−1+an ①
把①反序可得Sn=an +an−1+…+a2+a1 ②
由①+②得2Sn=a1+an+a2+an−1+…+an−1+a2+an+a1⇒Sn=(a1+an)n2.
2 对于某个数列{an}，若满足a1an=a2an−1=…=akan−k+1，则求前n项积Tn可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.
方法3 分组求和法
若数列{cn}中通项公式cn=an+bn，可分成两个数列{an}，{bn}之和，则数列{cn}的前n项和等于两个数列{an}，{bn}的前n项和的和.
方法4 错位相减法
当数列{an} 的通项公式an=bn⋅ cn ,其中{bn} 为等差数列, {cn} 为等比数列.
方法5 裂项相消法
常见裂项公式
(1)1nn+1=1n−1n+1，1nn+k=1k(1n−1n+k)；
(2) 1n+1+n=n+1−n，1n+k+n=1k(n+k−n).

【题型1】 公式法
【典题1】 (2024·浙江台州·二模)已知正项等比数列an满足a1=3，且−3a1，a2，a3成等差数列，则数列an的前n项和为( )
A．3n+1−32B．3n−32C．3n+1+34D．3n+1−14
【答案】A
【分析】设正项等比数列an的公比为qq>0，根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程，求出q，再由等比数列求和公式计算可得.
【详解】设正项等比数列an的公比为qq>0，
由a1=3，且−3a1，a2，a3成等差数列，
得2a2=a3−3a1，即2a1q=a1q2−3a1，即6q=3q2−9，
解得q=3或q=−1(舍去)．
∴ Sn=31−3n1−3=3n+1−32．
故选：A．

【巩固练习】
1.(2024·四川德阳·二模)已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1=2，且2a1,32S2,S3成等差数列，则S2023=( )
A．22023−1B．22024−1C．22023−2D．22024−2
【答案】D
【分析】设等比数列an的公比为q q≠0，根据等差中项的性质得到3S2=2a1+S3，即可求出q，再根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】设等比数列an的公比为q q≠0，
又2a1，32S2，S3成等差数列，所以3S2=2a1+S3，
即3a1+3a2=2a1+a1+a2+a3，所以2a2=a3，即q=a3a2=2，
所以S2023=21−220231−2=22024−2.
故选：D
2. (2024·宁夏银川·一模)已知等差数列an的前n项和为Sn，a5+a8=−2a10，a3+a7=−26，则满足SnSn+10；当n=15时，SnSn+10，∴ f'x10时，i=1niai>509128，
∴使得i=1niai>509128成立的最小的n的值为11.
故选：D.
3.(多选)(2024·山东烟台·一模)给定数列an，定义差分运算：Δan=an+1−an,Δ2an=Δan+1−Δan,n∈N*.若数列an满足an=n2+n，数列bn的首项为1，且Δbn=n+2⋅2n−1,n∈N*，则( )
A．存在M>0，使得Δan0，使得Δ2an0，总存在n∈N*，使得bn>M
D．对任意M>0，总存在n∈N*，使得Δ2bnbn>M
【答案】BC
【分析】由已知求出Δan,Δ2an及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出bn及范围判断C；求出Δ2bn及Δ2bnbn的范围判断D.
【详解】对于A，由an=n2+n，得Δan=(n+1)2+(n+1)−(n2+n)=2n+2，显然Δan有最小值4，无最大值，
因此不存在M>0，使得Δan2时，Δ2an0，
得数列bn是递增数列，bn有最小值1，无最大值，
从而对任意M>0，总存在n∈N*，使得bn>M，C正确；
对于D，Δ2bn=(n+3)⋅2n−(n+2)⋅2n−1=(n+4)⋅2n−1，由选项C得Δ2bnbn=1+4n，
显然数列{1+4n}是递减数列，00，不存在n∈N*，使得Δ2bnbn>M成立，D错误.
故选：BC
4.(2024·湖南·模拟预测)已知数列an为公差不为0的等差数列，a3=5，且a2,a5,a14成等比数列，设x表示不超过x的最大整数，如π=3,−1.5=−2，记bn=lg2an,Sn为数列bn的前n项和，则S100= ．
【答案】573
【分析】求出an通项公式和第100项，进而求出数列bn的通项公式和前n项和公式，利用错位相减法即可得出S100的值.
【详解】解析：由数列an是等差数列，设其公差为dd≠0，因为a2,a5,a14成等比数列，
所以a2a14=a52，即5−d5+11d=(5+2d)2，解得d=2或d=0(舍去)，
所以an=5+2n−3=2n−1，则a100=199．
当2n≤x