高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册加法原理精品综合训练题

这是一份高中数学沪教版（2020）选择性必修第二册加法原理精品综合训练题，文件包含第04讲乘法原理与加法原理原卷版docx、第04讲乘法原理与加法原理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。


知识点01分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
【即学即练1】（高二下·上海长宁·期末）4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球．
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？
（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法．
知识点02分布乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
【即学即练2】（23-24高二下·上海·期末）展开式共有 项.
知识点03 两个计数原理的区别与联系
【即学即练3】（23-24高二下·上海虹口·期末）设实数和均是集合中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为 .
题型一：分布乘法计数原理及简单应用
1.（2020高三·上海·专题练习）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ）.
A．B．C．D．
2．（高二下·上海虹口·阶段练习）高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（ ）
A．B．C．D．
3．（高一上·上海闵行·阶段练习）如果不等式组的整数解有（）个，那么适合这个不等式组的整数、的有序数对共有（ ）个
A．17个B．64个C．81个D．72个
4.（25-26高三上·上海·单元测试）停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空车位置连在一起，不同的停车方法有 种．
5．（25-26高三上·上海·单元测试）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同投法有 种．
6．（25-26高三上·上海·单元测试）将4封信投入3个信箱中，共有 种不同的投法．
7．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）正整数1224有 个不同的正约数.
8．（23-24高二下·上海·阶段练习）若，则方程表示的不同双曲线共有 个．
9．（23-24高二下·上海·阶段练习）某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果.
10．（23-24高二下·上海·阶段练习）有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 .
题型二：判断事件计数的原理
1.（21-22高二下·上海闵行·期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．B．C．20D．9
2.（21-22高二下·上海闵行·期中）某城市在中心广场建造了一个花园，花园分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种？（ ）
A．72B．96C．120D．144
3.（22-23高二上·上海杨浦·期末）有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有 种不同的选法.
题型三：分类加法计数原理
1．（21-22高二下·上海浦东新·期末）若展开，则展开式中的系数等于（ ）
A．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和；
B．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和；
C．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的求和之积；
D．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的求和之积；
2.（24-25高三上·上海·阶段练习）设为正四面体棱上的点，由点到四个面中心的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有 个．
3．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）已知是边长为1的正方形，在空间中取4个不同的点，使得它们与恰好成为一个侧棱长为1的正四棱柱的8个顶点，则不同的取法数为 ．
4．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有 ．
5．（21-22高二下·上海闵行·期中）近期，上海加大疫情的防控力度，上海疫情隔离点逐渐增多，如图所示，、、、为上海某地四个隔离点，为了方便食物供应，现在要建造三座桥，将这四个隔离点连接起来，则不同的建桥方法有 种．
6．（21-22高二下·上海闵行·期中）甲盒子中有3个不同的红球，乙盒子中有7个不同的白球，某同学要在甲盒或乙盒中摸一个球，则不同的方法有 ．
7．（20-21高二下·上海杨浦·期中）学校组织春游活动，每个学生可以选择去四个地方：崇明､朱家角､南汇和嘉定，有四位同学恰好分别来自这四个地方，若他们不去家乡，且分别去了不同地方，则四位同学去向的所有可能结果数为 .
8．（2021·上海黄浦·三模）一个三位数，个位､十位､百位上的数字依次为，当且仅当且时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为 .
9．（20-21高二下·上海宝山·期中）已知在矩形中，，，若将边72等分，过每个等分点分别作的平行线，若将边56等分，过每个等分点分别作的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的个小正方形，于是，被对角线从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有上的点）共有 个．
10.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知正整数，满足，若关于的方程有实数解，则符合条件的共有 对.
一、单选题
1．（22-23高二下·上海普陀·期中）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
2．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（ ）种．
A．4B．5C．6D．7
3．（2025·上海·模拟预测）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·上海闵行·期中）对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（ ） 种．
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
5．（22-23高二下·上海长宁·期中）同时抛掷5枚均匀的硬币，恰有1枚反面朝上的概率为 ．
6．（20-21高二下·上海浦东新·期末）本次数学期末考试共三种题型：填空题、选择题、解答题，其中填空题满分54分，共有12道小题，前6题每小题4分，后6题每小题5分，每小题答对得满分，答错得零分，则学生解答填空题共有 种不同的可能分值.
7．（22-23高二下·上海长宁·期末）乘积的展开式中共有 项.
8．（23-24高二下·上海·期中）正整数24有 个不同的正因数．
9．（23-24高二下·上海·期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣. 若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 种
10．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种．
11．（22-23高二下·上海嘉定·期中）三层书架，分别放置科技书籍12本，经济类书籍14本，建筑类书籍11本，从中取2本书，且各类只能选1本，有 种不同选法
12．（23-24高三上·上海松江·期末）有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为 ．
13．（23-24高二下·上海·期中）已知全集，集合为的子集，则有序集合一共有 组．
14．（2023·上海·模拟预测）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
15．（23-24高二上·上海松江·期末）设为的一个排列，满足，则这样的排列的个数为 个.
16．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有 种．
三、解答题
17．（高二下·上海奉贤·期中）现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
18．（24-25高二上·上海·期末）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
①每位学生每天最多选择1项；
②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
(1)若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω；
(2)若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案?并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率．
19．（25-26高三上·上海·单元测试）若集合、满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，求集合的不同分拆种数.
20．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有X的可能值及其发生的概率.
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
21．（24-25高三上·上海·期中）仰晖楼有A、B两部电梯.已知电梯每上一层需要5秒，电梯在某层楼停留时开门到关门所花时间为10秒（人员均能在电梯开关门时间内完成进出电梯和按楼层等操作）.某天清晨，楼上还没有人，1楼已经有若干人均欲乘坐电梯上楼，目的地分别是楼.现两部电梯均恰好在1楼（两部电梯互相独立运行，可以独立开关门，在1楼按下按钮后将同时打开门），且每部电梯容量足够容纳所有人.定义为：从A（B）电梯开门时刻算起，到电梯内最后一人到达目标楼层后A（B）电梯门关闭为止，所花时间.记"运输完成时间"：.
(1)若所有人均乘坐一部电梯，求；
(2)为了研究的最小值，我们需要对电梯的"乘坐安排"作出一些合理假设.例如：假设两部电梯都有人乘坐.理由：分开乘坐，比如去2层的人都坐电梯A，其余人坐电梯B，则均小于（1）中，故"运输完成时间"也小于（1）中，所以要使得最小，两部电梯一定都有人乘坐.请你在此基础上再提出1至2条关于电梯"乘坐安排"的合理假设，并简述作出这些假设的理由（若有多条假设，请按重要性从高到低写出最重要的两条）；
(3)求出最小值.
课程标准
学习目标
熟练掌握两个计数原理。
灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题。
理解两个计数原理的区别与联系。
掌握分类与分步的计数原则及分类标准
常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点
针对的是“分类”问题
不同点
各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事
各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
时间
周一
周二
周三
周四
周五
课后服务
音乐、阅读、体育、编程
口语、阅读、编程、美术
手工、阅读、科技、体育
口语、阅读、体育、编程
音乐、口语、美术、科技