第二章检测卷 相交线与平行线（北师版2024）

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第二章 相交线与平行线 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键．根据各选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可． 【详解】解： A．和的两边不是互为反向延长线，没有公共顶点，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故A不符合题意； B． 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B不符合题意； C．和符合对顶角的定义，是对顶角，故C符合题意； D．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不符合题意；． 故选：C． 2．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线， 故选：B 3．如图，已知直线，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解决此题的关键．直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】 解：∵直线，， ∴， 故选：A ． 4．已知，若，则的余角（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的度数之和为，那么这两个角互为余角，首先根据、，求出，再根据余角的定义求出的余角． 【详解】解：，， ， 的余角为． 故选： C． 5．如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， ， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，一辆快艇从处出发向正北航行到A处时向左转航行到处，再向右转继续航行，此时航行方向为（   ） A．西偏北 B．北偏西 C．东偏北 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出和掌握方向角的定义是解题关键．根据平行线的性质，可得，根据角的和差得，根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴此时航行方向为北偏东． 故选：D． 7．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 8．如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能判断是那两条直线被那一直线所截的角，并进一步判断那两直线平行是解此题的关键． 根据平行线的判定定理：角平分线的判断判断①，内错角相等，两直线平行判断②③，同旁内角互补，两直线平行，判断④、⑤即可． 【详解】解：①，只能说明是的角平分线，不能得出，故不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），，故符合题意； ③∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），不能判定，故不符合题意； ⑤∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故符合题意， 则符合题意的是． 故选：C． 9．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键． 根据平行线的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 10．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在边上，且，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 12．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，进行解答即可． 【详解】解：通过比较发现：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 即将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 13．某条街道的示意图如图所示．如果，那么与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据内错角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行） 故答案为：． 14．如图，直线被直线所截，与是同位角关系的角有 个；与是内错角关系的角有 个；与是同旁内角关系的角有 个． 【答案】 3 2 2 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，根据同位角、内错角和同旁内角的定义逐一判即可定． 【详解】解：由题意得，与是同位角关系的角有共3个．与是内错角关系的角有共2个．与是同旁内角关系的角有共2个． 故答案为：3，2，2． 15．如图，，直线都经过点C．若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，由垂线的定义得，由对顶角的性质得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 16．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为 ． 【答案】/79度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数， 【详解】解：如图，c'c ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（8分）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短、点到直线的距离，熟练掌握垂线段最短是解题关键． （1）汽车离学校越近，其对学校的影响越大，根据垂线段最短即可得； （2）根据汽车离两所学校的远近、垂线段最短进行分析即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 因为汽车离学校越近，其对学校的影响越大， 所以由垂线段最短可知，当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大；当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大． （2）解：如图，因为当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越近；当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越远；当汽车由点向点行驶时，汽车离学校越来越远，而离学校越来越近， 所以当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐增大；当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐减小；当汽车由点向点行驶时，对学校的影响逐渐减小而对学校的影响逐渐增大． 18．（8分）如图，．试说明：．请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为， 所以____________（____________）． 因为， 所以____________（____________）， 所以（____________）． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定、平行公理的推论．先根据可得，再根据可得，然后根据平行公理的推论即可得证． 【详解】解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）． 因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 19．（8分）如下图，已知．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行，先根据，证明，，再根据平行公理即可证明． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 20．（8分）如下图，直线相交于点．若，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，余角和对顶角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，求得，根据对顶角相等得，根据得，所以得，即可证明． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．（8分）为增强学生体质，某学校将抖空竹引入“阳光体育一小时”活动．图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图②所示的示意图．已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论，如图，过点作，利用平行线的性质得，，正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 22．（10分）如下图，与分别相交于点分别是和的平分线．若，试说明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，先由分别是和的平分线，得，因为，故，证明，即可作答． 【详解】解：∵分别是和的平分线， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．（10分）（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【答案】（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3）同位角有对，内错角有对，同旁内角有对． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． （1）根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． （2）（3）同上． 【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有 2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有 12对，内错角有 6对，同旁内角有 6对． 故答案为：12，6，6； （3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对， 故答案为： ，，． 24．（12分）小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （2）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （3）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可． 【详解】（1）， 理由是：，， ， ，， ； （2）， 理由是：如图：过作， ， ， ，， ； （3）， 理由是：如图：过作， ，OM∥CD， ， ，， ．