人教版九上数学第二十四章第八节弧长和扇形面积 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十四章第八节弧长和扇形面积 专题训练，共16页。

A．20﹣4πB．202−4πC．4πD．202−2π
2．若一圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图刚好是一个半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A．2cmB．π2cmC．πcmD．3cm
3．如图，平行四边形ABCD，AB＝2，BC＝3，以点C为圆心，CD为半径画弧，分别交AD、BC于F、E，连接AE，若AE⊥BC，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32B．2π3−32C．4π3−3D．332
4．如图，⊙O的半径长为1，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠APB＝60°，则劣弧AB的长度为（ ）
A．π3B．2π3C．πD．2π
5．圆锥底面半径是3cm，母线是4cm，则圆锥侧面积是（ ）
A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．20πcm2
6．圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（ ）
A．6πcm2B．3πcm2C．9πcm2D．πcm2
7．一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（ ）
A．1：πB．π：1C．1：2πD．2π：1
8．已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为（ ）
A．9πB．6πC．3πD．4π
9．如图，要用一个半径为24cm扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为10cm，则这个扇形的圆心角的度数（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
10．如图，从一个直径为43dm的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A．35dmB．37dmC．235dmD．237dm
二．填空题（共5小题）
11．为了提高学生的动手能力，学校定期开展了手工制作活动，小伟同学准备用硬纸制作一个圆锥形的帽子，其底面直径40cm，高20cm，则需要硬纸 cm2．
12．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为 ．
13．如图，半圆O，点O为圆心，直径AB长为6，再以点B为圆心，OB为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是 ．
14．如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
15．如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共5小题）
16．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度、需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
（1）圆形团扇的半径为 厘米，正方形团扇的边长为 厘米；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
17．综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．
步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形．
步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：
（1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系： ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点A在直线l上，AD与直线l相交所得的锐角为60°．点F在直线l上，AF＝8，EF⊥直线l，垂足为点F且EF＝6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点．
发现：AM的最小值为 ，AM的最大值为 ，OB与直线l的位置关系是 ．
思考：矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在AD边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积．
19．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AB＝4，AC＝23，求：
（1）DE的长．
（2）阴影部分的面积．
20．综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）
24.4弧长和扇形面积
一．选择题（共10小题）
1．解析：过点D作DF⊥AB于点F，根据解直角三角形求得DF，从而求得EB，最后根据S阴影＝S▱ABCD﹣S扇形ADE﹣S△EBC列式求解，即可解题．
解：过点D作DF⊥AB于点F，
由条件可知AD=23×62=42，
∴DF=AD⋅sin45°=42×22=4，
∵AE=AD=42，
∴EB=AB−AE=22，
∴S阴影＝S▱ABCD﹣S扇形ADE﹣S△EBC，
=62×4−45π×(42)2360−12×22×4，
=202−4π，
故选：B．
2．解析：设圆锥的母线长为R cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式进行计算即可．
解：设圆锥的母线长为R cm，扇形的弧长等于圆锥底面的周长则有：2π×1=180πR180，
解得R＝2．
故选：A．
3．解析：连接EF，CF．证明弓形DF的面积＝弓形EF的面积，再根据S阴＝S梯形AECF﹣S△ECF求解．
解：连接EF，CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，
∵CD＝CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣2＝1，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴AE=AB2−BE2=22−12=3，
∵AB＝2BE，
∴∠BAE＝30°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵CF＝CD，
∴△CFD的等边三角形，
∴∠DCF＝60°，DF＝CD＝2，AF＝AD﹣DF＝3﹣2＝1，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECF＝∠FCD＝60°，
∴弓形DF的面积＝弓形EF的面积，
∴S阴＝S梯形AECF﹣S△ECF=12（1+2）×3−34×22=32．
故选：A．
4．解析：根据切线的性质，求出∠OAP和∠OBP的度数，再结合∠APB的度数，得出∠O的度数，最后借助于弧长公式即可解决问题．
解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°．
又∵∠APB＝60°，
∴∠O＝120°．
又∵⊙O的半径长为1，
∴劣弧AB的长度为：120⋅π⋅1180=2π3．
故选：B．
5．解析：由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥侧面积．
解：根据题意得圆锥侧面积=12×2π×3×4＝12π（cm2）．
故选：C．
6．解析：根据扇形的面积公式S=nπR2360计算可得答案．
解：扇形的面积公式=120π32360=3πcm2，
故选：B．
7．解析：根据圆柱侧面展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：C＝tπ，那么d=π2，据此解答．
解：这个圆柱的底面直径与高的比是d：πd＝1：π．
故选：A．
8．解析：把扇形的圆心角为和半径为代入弧长公式计算即可．
解：依题意，n＝60，r＝12，
∴扇形的弧长=nπr180=60π×12180=4π．
故选：D．
9．解析：设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式计算，得到答案．
解：设扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆半径长为10cm，
∴圆锥的底面圆周长为20πcm，
∵母线长为24cm，
∴nπ×24180=20π，
解得：n＝150，
即扇形的圆心角为150°．
故选：C．
10．解析：设圆锥的底面圆半径为r．先根据勾股定理求出扇形ABC的半径，再根据圆锥的弧长等于底面周长列方程求出r，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
解：设圆锥的底面圆半径为r．
过圆心O作OD⊥AC于点D，连接AO，如图．
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAO＝30°．
∴OD=12OA=3，AD=OA2−OD2=3，
∴AC＝2AD＝6，
∴60π×6180=2πr，
∴圆锥的底面圆的半径r＝1．
∴圆锥的高为=AC2−r2=62−12=35，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解析：根据题意求出母线长即可求解．
解：由条件可知其母线长为202+202=202cm；
∴圆锥的侧面积为π×20×202=4002πcm2，
即：需要硬纸4002πcm2；
故答案为：4002π．
12．解析：先利用圆周角定理求出∠AOB的度数，再结合扇形的面积公式即可解决问题．
解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．
又∵⊙O的半径为2，
∴S阴影=80⋅π⋅22360=89π．
故答案为：89π．
13．解析：连接CO，过点O作OD⊥BC于点D，推出△BOC是等边三角形，得到∠BOC＝∠OBC＝60°，利用三角函数求出OD的长，根据公式求出S半圆，S扇形BOC，S△BOC，S弓形CB的值即可得到答案．
解：连接CO，BC，过点O作OD⊥BC于点D，
由题意可知BC＝BO＝CO＝3，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠OBC＝60°，
∵OD⊥BC，
∴DO＝BOsin60°＝3×32=332，
∴S△BOC=12BC⋅OD=12×3×332=934，S扇形BOC=60π×32360=32π，S半圆=12π×32=92π，
∴S弓形BC＝S扇形BOC﹣S△BOC=32π−943，
∵S阴影＝S半圆﹣S弓形BC﹣S扇形BOC=92π﹣（32π−943）−32π=32π+943．
故答案为：32π+943．
14．解析：弧长的计算公式：l=nπr180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此即可求解．
解：如图，△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝30，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴AB的长=BC的长=AC的长=60π×30180=10π，
∴这个“莱洛三角形”的周长是30π．
故答案为：30π．
15．解析：根据旋转的性质得S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°，由于S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′，则S阴影部分＝S扇形ABA′，然后根据扇形面积公式求解．
解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，
∴S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°，
∴S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′，
∴S阴影部分＝S扇形ABA′=45⋅π⋅42360=2π．
故答案为2π．
三．解答题（共5小题）
16．解析：（1）分别根据圆和正方形的面积公式解答即可；
（2）根据圆和正方形的周长公式解答即可．
解：（1）由题意得：
圆形团扇的半径为：300π=103ππ（厘米），正方形团扇的边长为：300=103（厘米），
故答案为：103ππ，103；
（2）∵圆形团扇的半径为103ππ厘米，
∴圆形团扇的周长为：2π×103ππ=203π（厘米），
∵正方形团扇的边长为103厘米，
∴正方形团扇的周长为：103×4=403（厘米），
∵403=20×3×22=2012，3＜π＜4，
∴203π＜403，
∴圆形团扇所用的包边长度更短．
17．解析：（1）先计算出底面半径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面的周长求出侧面展开图的圆心角，再根据比例关系即可求出红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（2）先计算出底面半径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面的周长即可得出答案．
解：（1）圆锥的底面半径为252−202=15（cm），
设侧面展开图的圆心角为n°，
则nπ×25180=2π×15，
解得n＝216°，
∴216°×11+2+1+2+3=24°
答：红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°；
（2）∵圆锥的底面半径为a2−ℎ2，
∴nπa180=2πa2−ℎ2，
∴n=360a2−ℎ2a．
故答案为：n=360a2−ℎ2a．
18．解析：发现：先依据勾股定理求得AO的长，然后由圆的性质可得到OM＝3，当点M在AO上时，AM有最小值，当点M与点E重合时，AM有最大值，然后过点B作BG⊥l，垂足为G，接下来求得BG的长，从而可证明四边形OBGF为平行四边形，于是可得到OB与直线l的位置关系．
思考：连接OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE＝2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据扇形的面积公式即可得到结论．
解：发现：由题意可知OM＝OF＝3，AF＝8，EF⊥l，
∴OA=AF2+OF2=82+32=73．
当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为73−3．
当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值=AF2+EF2=10．
如图1所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．
∵∠DAF＝60°，∠BAD＝90°，
∴∠BAG＝30°．
∴GB=12AB＝3．
∴OF＝BG＝3，
又∵GB∥OF，
∴四边形OBGF为平行四边形，
∴OB∥FG，即OB∥l．
故答案为：73−3；10；平行．
思考：如图2所示：连接OG，过点O作OH⊥EG．
∵∠DAF＝60°，EF⊥AF，
∴∠AEF＝30°．
∴∠GOE＝120°．
∴GE＝2EH＝2×32×3＝33．
∴半圆与矩形重合部分的周长=120⋅π×3180+33=2π+33；
S重合部分＝S扇形GOE﹣S△GOE=120π⋅32360−33×32×12=3π−934．
19．解析：（1）由E是弧AC的中点，可得OE⊥AC．根据垂径定理得：AD=12AC=3，在Rt△OAD中，运用勾股定理可将OD的长求出，由DE＝OE﹣OD即可求解；
（2）利用阴影部分面积等于扇形AOC面积减去△AOC面积即可求出．
解：（1）∵E是弧AC的中点，AC=23，
∴OE⊥AC，
∴AD=12AC=3，
∵AB为半圆O的直径，AB＝4，
∴OA＝OE＝2，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
∴22=OD2+(3)2，
解得：OD＝1，
∴DE＝OE﹣OD＝1，
∴DE的长为1；
（2）连接OC，
在Rt△AOD中，OD＝1，OA＝2，
∴cs∠AOD=12，
∴∠AOD＝60°，
∵OE⊥AC，
∴∠AOC＝120°，
∴S阴影=S扇形AOC−S△AOC=120π×22360−12×23×1=4π3−3．
20．解析：（1）证△CDE∽△CAB即可得证；
（2）利用圆锥体积公式计算即可．
解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，
方法一：如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7cm，
折叠后CD＝CE=12×10＝5（cm），
∵底面周长=12×10π＝5π（cm），
∴DE•π＝5πcm，
∴DE＝5cm，
∴DEAB=CDCA=CECB，
∴△CDE∽△CAB，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
方法二：由2πr=nπR180得，n360=rR
图3中，n1＝90°×2＝180°，
图4中，rR=3.57=12，
∴n2＝180°，
∵n1＝n2，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
（2）由（1）知CD＝DE＝CE＝5cm，
∴∠CDE＝60°，
过C作CF⊥DE于点F，则DF=12DE=52cm，
在Rt△CDF中，CF=CD2−DF2=532cm，
∴V＝π•（52）2×532×13=125324π（cm3）．
答：圆锥形的体积是125324π（cm3）．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
C
B
A
D
C
A