人教版九上数学第二十四章第二节垂直于弦的直径 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十四章第二节垂直于弦的直径 专题训练，共21页。试卷主要包含了如图，P是⊙O内一点，如图，AB为半圆O的一条弦等内容，欢迎下载使用。
1．如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为5cm，瓶内截面圆中弦AB的长为8cm，则液体的最大深度CD为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
2．为了美化城市环境，十堰市政府对百二河进行了全部改建和绿化，在上游建了一座圆形拱桥，其跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，则弧AB所在圆的半径为（ ）
A．10mB．8mC．6mD．4m
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB＝300m，CD＝50m，则弧AB所在圆的半径是（ ）
A．150mB．250mC．300mD．350m
4．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
5．如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE＝3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．10cm
7．如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连结OA、OB，分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连结OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB⊥OQB．AQ＝BQ
C．∠ABO＝60°D．∠AOB＝2∠AOQ
8．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）
A．(4+5) cmB．9 cmC．45cmD．62cm
9．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝23，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．2
10．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（ ）
A．4B．3C．3.5D．2.5
二．填空题（共5小题）
11．将一个底面半径为5cm的圆柱形玻璃水杯横放在桌面上，杯内水面宽度为8cm，则水面到桌面距离为 cm．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 ．
13．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．
14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为 cm．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，求⊙O的半径．
17．瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为⊙O上的两点，连接AC，AC∥l（桌面），⊙O的半径OA＝26cm，AB，CD分别与直线l垂直于B，D两点，AB＝CD＝3cm，AC＝20cm，过点O作OE⊥l于点E，交AC于点F，求圆心O到桌面l的距离OE．
18．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．
（1）求桥拱的半径；
（2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
20．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm，AB＝6cm，CD＝8cm．请你帮忙计算纸杯的直径．
24.1.2垂直于弦的直径
一．选择题（共10小题）
1．如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为5cm，瓶内截面圆中弦AB的长为8cm，则液体的最大深度CD为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
解析：根据垂径定理可得AC=12AB，根据勾股定理求得OC的长，进而即可求解．
解：∵OD⊥AB，AB＝8cm，AO＝5cm，
∴AC=12AB=4cm，
∴OC=AO2−AC2=52−42=3（cm），
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（cm），
故选：C．
2．为了美化城市环境，十堰市政府对百二河进行了全部改建和绿化，在上游建了一座圆形拱桥，其跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，则弧AB所在圆的半径为（ ）
A．10mB．8mC．6mD．4m
解析：补全图形，设OA＝r，则OD＝r﹣4，再根据勾股定理求出r的值即可．
解：如图，设圆心为O，连接CO，DO，则C，D，O共线，CD⊥AB，
设OA＝r，则OD＝r﹣4，
∴AD＝8m．
在Rt△AOD中，
∵（r﹣4）2+82＝r2，
解得r＝10（m）．
故选：A．
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB＝300m，CD＝50m，则弧AB所在圆的半径是（ ）
A．150mB．250mC．300mD．350m
解析：根据题意，可以推出AD＝BD＝150，若设半径为r，则OD＝r﹣50，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝150m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r m得：r2＝（r﹣50）2+1502，
解得：r＝250，
∴这段弯路的半径为250m；
故选：B．
4．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
解析：连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE＝5，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
解：如图，连接OA，
，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26寸，
故选：D．
5．如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（ ）
A．7B．8C．9D．10
解析：连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦，由垂径定理得到AB＝2AP，由勾股定理求出AP=OA2−OP2=4，得到AB＝8，过P的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点P的弦长的取值范围，即可得到答案．
解：连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦，
∴AB＝2AP，
∵圆的半径为5，OP＝3，
∴AP=OA2−OP2=52−32=4，
∴AB＝8，
∵过P的最长的弦是圆的直径是10，
∴8≤经过点P的弦的长≤10，
∴经过点P的弦的长度不可能是7．
故选：A．
6．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE＝3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．10cm
解析：由在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE＝3cm，根据垂径定理的即可求得AE的长，然后由勾股定理求得答案．
解：∵在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE＝3cm，
∴AE=12AB＝4cm，
∴OA=AE2+OE2=5cm．
故选：C．
7．如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连结OA、OB，分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连结OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB⊥OQB．AQ＝BQ
C．∠ABO＝60°D．∠AOB＝2∠AOQ
解析：利用基本作图得到OQ⊥AB，则可对A选项进行判断；再根据垂径定理可对B选项进行判断；由于AB为任意一条弦，则△OAB不一定为等边三角形，所以∠ABO不一定为60°，于是可对C选项进行判断；利用等腰三角形的“三线合一”得到OQ平分∠AOB，从而可对D选项进行判断．
解：由作法得OQ⊥AB，所以A选项不符合题意；
∴AQ＝BQ，所以B选项不符合题意；
∵AB不一定等于OA，
∴△OAB不一定为等边三角形，
∴∠ABO不一定为60°，所以C选项符合题意；
∵OA＝OB，OQ⊥AB，
∴OQ平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOQ，所以D选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）
A．(4+5) cmB．9 cmC．45cmD．62cm
解析：连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD＝OC，设AD＝a，则OD=12a，由勾股定理求出OA＝OB＝OE=52a，求出EF＝FC＝4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案．
解：
连接OA、OB、OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°，
∵在Rt△ADO和Rt△BCO中
∵OA=OBAD=BC，
∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL），
∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
设AD＝a cm，则OD＝OC=12DC=12AD=12a cm，
在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OE=52a cm，
∵小正方形EFCG的面积为16cm2，
∴EF＝FC＝4cm，
在△OFE中，由勾股定理得：(52a)2=42+(12a+4)2，
解得：a＝﹣4（舍去），a＝8，
52a＝45（cm），
故选：C．
9．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝23，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．2
解析：过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，再根据勾股定理求出OC即可．
解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，AB＝23，
∴AC＝BC=3，∠OCA＝90°，
由勾股定理得：OC=OA2−AC2=22−(3)2=1，
即圆心O到弦AB的距离为1，
故选：A．
10．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（ ）
A．4B．3C．3.5D．2.5
解析：连接OB，作OM⊥AB于M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断；
解：连接OB，作OM⊥AB于M．
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM=12AB＝4，
在直角△OBM中，∵OB＝5，BM＝4，
∴OM=OB2−BM2=52−42=3．
∴3≤OP＜5，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．将一个底面半径为5cm的圆柱形玻璃水杯横放在桌面上，杯内水面宽度为8cm，则水面到桌面距离为 2或8 cm．
解析：分两种情况：（1）杯内水的高度在球形容器的球心下面；（2）杯内水的高度在球形容器的球心上面；根据垂径定理和勾股定理计算即可求解．
解：如图为圆柱形玻璃水杯横截面，点O为横截面圆心，过O作OC⊥AB于C，
∴AC=BC=12AB=4cm．
在Rt△OCA中，
OC=OA2−AC2=52−42=3cm．
分两种情况讨论：
（1）容器内水的高度在球形容器的球心下面时，如图①，延长OC交⊙O于D，
杯内水面到桌面距离为CD＝5﹣3＝2cm；
（2）容器内水的高度在球形容器的球心是上面时，如图②，延长CO交⊙O于D，
杯内水面到桌面距离为CD＝5+3＝8cm；
综上，杯内水面到桌面距离为2cm或8cm．
故答案为：2或8．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 45 ．
解析：连接OD，根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．
解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴DE=12CD＝4，
∴OD=DE2+OE2=42+32=5，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD=AE2+DE2=82+42=45，
故答案为：45．
13．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 26 寸．
解析：连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE=12CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，
则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴AB＝26寸，
故答案为：26．
14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为 8 cm．
解析：由垂径定理得AC=BC=12AB，再由勾股定理得AC＝4cm，即可得出结论．
解：由题意得：OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB，∠OCA＝90°，
∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm，
∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：AC=OA2−OC2=52−32=4（cm），
∴AB＝2AC＝8cm．
故答案为：8．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，OE＝6，那么弦CD的长为 16 ．
解析：连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．
解：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴CE＝DE=12CD，
∵AB＝20，
∴OC=12AB＝10，
在Rt△COE中，OE＝6，
∴CE=OC2−OE2=102−62=8，
∴CD＝16，
故答案为：16．
三．解答题（共5小题）
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，求⊙O的半径．
解析：连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，CE=12CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE=12CD=12×6＝3，
设⊙O的半径为x，
则OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣1，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，
∴⊙O的半径为5，
17．瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为⊙O上的两点，连接AC，AC∥l（桌面），⊙O的半径OA＝26cm，AB，CD分别与直线l垂直于B，D两点，AB＝CD＝3cm，AC＝20cm，过点O作OE⊥l于点E，交AC于点F，求圆心O到桌面l的距离OE．
解析：先根据AC∥l，OE⊥l，可得OF⊥AC，EF＝AB＝CD＝3cm，再根据垂径定理得AF=CF=12AC=10cm，然后根据勾股定理得OF=AO2−AF2=24，即可得出答案．
解：由条件可知：OF⊥AC，EF＝AB＝CD＝3cm．
∵AC＝20cm，
∴AF=CF=12AC=10cm．
在Rt△AOF中，根据勾股定理得OF=AO2−AF2=24，
∴OE＝OF+EF＝24+3＝27（cm）．
18．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
解析：连接OB，构建Rt△OBD，利用勾股定理求出轮子的直径．
解：依题意，得OC⊥AB，AD＝BD＝3m，
如图，连接OB，设轮子的直径为d m，则其半径为d2 m．
则在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，
∴(d2−1.5)2+32=(d2)2，
解得d＝7.5m，
故答案为该桨轮船的轮子直径为7.5m．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．
（1）求桥拱的半径；
（2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
解析：（1）设桥拱的半径是r m，由垂径定理求出AN＝AB＝8（m），而ON＝（r﹣4）m，由勾股定理得到r2＝（r﹣4）2+82，求出r＝10；
（2）由垂径定理求出DM的长，由勾股定理求出OM的长，即可求出CM的长即可得解．
解：如图半径OC⊥AB，OC⊥DE，
（1）设桥拱的半径是r m，
∵OC⊥AB，
∴AN=12AB=12×16＝8（m），
∵拱高CN为4m，
∴ON＝（r﹣4）m，
∵OA2＝ON2+AN2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴桥拱的半径是10m；
（2）不需要采取紧急措施，理由如下：
如图，连接OD，
∵CO⊥DE，
∴DM=12DE=12×12＝6（m），
∴OM=OD2−DM2=102−62=8（m），
∵CM＝OC﹣OM＝10﹣8＝2（m），
∵2m＞1.5m，
∴不需要采取紧急措施．
20．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm，AB＝6cm，CD＝8cm．请你帮忙计算纸杯的直径．
解析：由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+42＝（7﹣x）2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
解：由题意得：MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，
∴MN＝7cm，
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD，
∴DM=12CD=12×8＝4（cm），BN=12AB=12×6＝3（cm），
设OM＝x cm，
∴ON＝MN﹣OM＝（7﹣x）cm，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+42＝（7﹣x）2+32，
∴x2+16＝49﹣14x+x2+9，
∴14x＝49+9﹣16，
∴14x＝42，
∴x＝3，
∴OM＝3（cm），
∴OD=32+42=5（cm），
∴纸杯的直径为5×2＝10（cm），
答：纸杯的直径为10cm．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
D
A
C
C
C
A
D