人教版九上数学第二十四章第三节弧、弦、圆心角 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十四章第三节弧、弦、圆心角 专题训练，共22页。试卷主要包含了下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（ ）
A．随点C的运动而变化B．不变
C．在使PA＝OA的劣弧上D．无法确定
2．如图，OB，OC是⊙O的半径，∠D＝32°，则∠BOC等于（ ）
A．32°B．58°C．60°D．64°
3．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，AD=BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝ADB．BE＝CDC．BE＝ADD．AC＝BD
4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8B．10C．11D．12
5．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
6．如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．60°
7．如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，连接OC、OD、OE，当∠BOC＝35°时，∠BOE的度数为（ ）
A．35°B．75°C．80°D．105°
8．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．AB=BCB．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CDD．OC⊥BD
9．如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（ ）
A．23B．3C．32D．33
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
二．填空题（共5小题）
11．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
12．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，AE=AC，∠AOE＝32°，则∠COE＝ ．
13．如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝42°，BC=CD=DE，则∠AOE＝ °．
15．如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 （填序号）．
三．解答题（共5小题）
16．AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF，连接OA、OB．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：AC=BD．
17．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，AC=25，求⊙O的半径．
18．如图，弦AC，BD在⊙O上，分别连接OA，OB，OC，OD，∠AOB＝∠COD，AC与OB交于点E，⊙O半径为6．
（1）求证：AC=BD；
（2）若BD＝10，E为AC的中点，求OE的长．
19．如图所示，AB是圆O的一条弦，CD是圆O直径，CD⊥AB，垂足为E．
（1）若∠AOD＝48°，求∠DOB的度数；
（2）若AB=27，ED＝2，求圆O的半径长．
20．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，DE=BD，DF⊥AB于点H，交⊙O于点F，连接EF交AB于点G．
（1）求证：AE＝AG；
（2）若BH＝3，BD＝5，求EF的长．
24.1.3弧、弦、圆心角
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（ ）
A．随点C的运动而变化B．不变
C．在使PA＝OA的劣弧上D．无法确定
解析：因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP＝∠OCP，所以∠DCP＝∠OPC，则CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA＝PB．从而可得出答案．
解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠DCP＝∠OCP，
又∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC，
∴∠DCP＝∠OPC，
∴CD∥OP，
又∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP，
∴PA＝PB．
∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点，
∴当C在⊙O上运动时，点P不动．
故选：B．
2．如图，OB，OC是⊙O的半径，∠D＝32°，则∠BOC等于（ ）
A．32°B．58°C．60°D．64°
解析：利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可解得本题．
解：∵OB、OC是⊙O的半径，∠D＝32°，
∴∠BOC＝2∠D＝64°．
故选：D．
3．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，AD=BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝ADB．BE＝CDC．BE＝ADD．AC＝BD
解析：根据弧与弦的关系得出AC=BD，进而判断即可．
解：∵AD=BC，
∴AD+AB=BC+AB，
∴BD=AC，
∴AC＝BD，
故选：D．
4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8B．10C．11D．12
解析：作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．
解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴DE=BF，
∴DE＝BF＝6，
∴BC=CF2−BF2=8．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
∴CM=AC2−AM2=52−32=4，
∴BC＝2CM＝8．
故选：A．
5．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
解析：由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．
解：连接OC、OD，
∵BC＝CD＝DA，
∴AD=CD=CB，
∴弦BC、CD、DA三等分半圆，
∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，
∴∠BCD=12（180°+60°）＝120°．
故选：C．
6．如图，在⊙O中，AB是直径，BC=CD=DE，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．60°
解析：由在同圆中等弧对的圆心角相等得∠BOC=13∠BOE，即可求解．
解：∵AB是直径，
∴∠AOB＝180°，
∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵BC=CD=DE，
∴∠BOC=13∠BOE=40°．
故选：B．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，连接OC、OD、OE，当∠BOC＝35°时，∠BOE的度数为（ ）
A．35°B．75°C．80°D．105°
解析：根据圆心角、弧、弦的关系计算即可．
解：∵D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝35°，
∴∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝35°，
∴∠BOE＝∠DOE+∠COD+∠BOC＝35°+35°+35°＝105°．
故选：D．
8．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．AB=BCB．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CDD．OC⊥BD
解析：分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可．
解：A、∵OB⊥AC，
∴AB=BC，故不符合题意；
B、∵AB=BC，
∴∠AOB＝∠COB，
∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；
C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD，
∵BD＜BC+CD＝2CD，
∴AC＜2CD，故符合题意；
D、∵OB＝OC，BC＝DC，
∴OC⊥BD，故不符合题意；
故选：C．
9．如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（ ）
A．23B．3C．32D．33
解析：连接BC，首先根据圆周角定理得到∠A＝∠D＝60°，然后得到∠ABE＝30°，AC＝AB＝2AE＝6，证明出△ABE≌△CBE（SAS），BD是圆的直径，最后利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接BC，
∴∠A＝∠D＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE＝6，
∵点A是优弧BC的中点，
∴AB＝AC，
∴AC＝2AE＝6，
∴AE＝CE，
∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6，
∵∠BDC＝60°，
∴∠BCD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2，
∴62+CD2＝（2CD）2，
∴CD=23，
∴BD=2CD=43，
∴圆的直径为43，
∴圆的半径为23．
故选：A．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
解析：根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可．
解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．
B、正确，本选项符合题意．
C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 42 ．
解析：连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF=12BC=12DF，从而求得BC＝DF，利用勾股定理即可求得AC．
解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF=12BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
∠DBE=∠BCE=90°∠DEF=∠BECDE=BE，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF=12DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
∴AC=AB2−BC2=62−22=42．
故答案为：42．
12．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，AE=AC，∠AOE＝32°，则∠COE＝ 64° ．
解析：根据等弦所对圆心角相等即可求解．
解：∵AE=AC，
∴∠AOE＝∠AOC，
又∵∠AOE＝32°，
∴∠AOC＝32°，
∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝32°+32°＝64°，
故答案为：64°．
13．如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 410−8． ．
解析：如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝8，由AE≥AT﹣ET＝410−8，可得结论．
解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．
∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，
∴AH＝AO+OH＝12，
∴AT=AH2+HT2=122+42=410，
∴∠OCT＝∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠RCE，
在△OCD和△TCE中，
CO=CT∠OCD=∠TCECD=CE，
∴△OCD≌△TCE（SAS），
∴ET＝OD＝8，
∴AE≥AT﹣ET＝410−8，
∴AE的最小值为 410−8．
故答案为：410−8．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝42°，BC=CD=DE，则∠AOE＝ 54 °．
解析：根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解．
解：∵BC=CD=DE，
∴∠COD＝∠DOE＝∠BOC＝42°，
∵AB是直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOE＝180°﹣42°×3＝54°．
故答案为：54．
15．如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 ①②③④ （填序号）．
解析：利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
解：在⊙O中，AB=CD，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴AC=BD故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共5小题）
16．AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF，连接OA、OB．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：AC=BD．
解析：（1）过O作OM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质求出AM＝BM，EM＝FM，再求出答案即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，求出∠AOC＝∠BOD，再求出答案即可．
（1）证明：过O作OM⊥AB于M，
∵OA＝OB，OE＝OF，
∴AM＝BM，EM＝FM，
∴AM﹣EM＝BM﹣FM，
∴AE＝BF；
（2）证明：∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF，
∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，
∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC⌢=BD⌢．
17．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，AC=25，求⊙O的半径．
解析：（1）连接OA，OB，OC，由C是AB的中点可知AC=BC，故∠AOC＝∠BOC，再由OA＝OB可得出结论；
（2）由（1）知，OC垂直平分AB科打得出AD的长，根据勾股定理求出CD的长，设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r的值即可．
（1）证明：连接OA，OB，OC，
∵由C是AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴OC垂直平分AB；
（2）解：由（1）知，OC垂直平分AB，
∵AB＝8，AC=25，
∴AD=12AB＝4，
∴CD=AC2−AD2=(25)2−42=2，
设⊙O的半径为r，
则OD＝r﹣2，OA＝r，
在Rt△AOD中，
AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5．
18．如图，弦AC，BD在⊙O上，分别连接OA，OB，OC，OD，∠AOB＝∠COD，AC与OB交于点E，⊙O半径为6．
（1）求证：AC=BD；
（2）若BD＝10，E为AC的中点，求OE的长．
解析：（1）根据圆心角、弧、弦的关系证明即可；
（2）根据圆心角、弧、弦的关系证明AC＝BD，再由等腰三角形的性质及垂径定理求出AE，在Rt△AEO中利用勾股定理求出OE即可．
（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴AB=CD，
∵AC=AB+BC，BD=CD+BC，
∴AC=BD．
（2）∵AC=BD，
∴AC＝BD＝10，
∵OA＝OC，E为AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴AE=12AC＝5，
在Rt△AEO中利用勾股定理，得OE=OA2−AE2=62−52=11，
∴OE的长是11．
19．如图所示，AB是圆O的一条弦，CD是圆O直径，CD⊥AB，垂足为E．
（1）若∠AOD＝48°，求∠DOB的度数；
（2）若AB=27，ED＝2，求圆O的半径长．
解析：（1）根据垂径定理得AD=BD，再根据圆心角、弧、弦的关系即可得出答案；
（2）先利用垂径定理得到AE＝BE=12AB=7，设圆O的半径为r，则OE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△OAE中，根据勾股定理得（r﹣2）2+（7）2＝r2，然后解关于r的方程即可．
解：（1）∵AB为圆O的弦，CD为圆O直径，且CD⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠DOB＝∠AOD＝48°；
（2）∵AB=27，
由（1）得：AE=BE=7，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
设⨀O半径为r，则OE＝r﹣2，
在Rt△OAE中，根据勾股定理得（r﹣2）2+（7）2＝r2，
解得：r=114，
∴圆O的半径长为114．
20．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，DE=BD，DF⊥AB于点H，交⊙O于点F，连接EF交AB于点G．
（1）求证：AE＝AG；
（2）若BH＝3，BD＝5，求EF的长．
解析：（1）由垂径定理得BD=BF，AD=AF，FH＝DH，根据DE=BD得∠F＝∠BDF，则EF∥BD，进而得∠AGE＝∠B，再根据弧AD＝弧AF可得∠B＝∠E，则∠AGE＝∠E，由此可得出结论；
（2）连接AD交EF于M，连接OD，设⊙O的半径为r，先求出FH＝DH＝4，r=256，则AB=253，证明△FHG和△DHB全等得FG＝BD＝5，GH＝BH＝3，则AG=73，再根据AD⊥BD，EF∥BD及（1）的结论得AE＝AG，则GE＝2GM，证明△AGM∽△ABD得GM=75，由此可得EF的长．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，且DF⊥AB于点H，
∴BD=BF，AD=AF，FH＝DH，
∵DE=BD，
∵DE=BD=BF，
∴∠F＝∠BDF，
∴EF∥BD，
∴∠AGE＝∠B，
∵AD=AF，
∴∠B＝∠E，
∴∠AGE＝∠E，
∴AE＝AG；
（2）连接AD交EF于M，连接OD，设⊙O的半径为r，如图所示：

∴OB＝OA＝OD＝r，AB＝2r，
∵DF⊥AB，BH＝3，BD＝5，
∴在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH=BD2−BH2=4，
∴FH＝DH＝4，
∴在Rt△ODH中，OD＝r，OH＝OB﹣BH＝r﹣3，DH＝4，
由勾股定理得：OD2＝OH2+DH2，
即r2＝（r﹣3）2+42，
解得：r=256，
∴AB＝2r=253，
在△FHG和△DHB中，
∠F=∠BDFFH=DH∠FHG=∠DHB=90°，
∴△FHG≌△DHB（ASA），
∴FG＝BD＝5，GH＝BH＝3，
∴AG＝AB﹣GH﹣BH=253−3−3=73，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
又∵EF∥BD，
∴AD⊥EF，
由（1）的结论得：AE＝AG，
∴GM＝EM，即GE＝2GM，
∵EF∥BD，
∴△AGM∽△ABD，
∴GM：BD＝AG：AB，
即GM：5=73：253，
∴GM=75，
∴GE＝2GM=145，
∴EF＝GE+FG=145+5=395．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
A
C
B
D
C
A
B