人教版九上数学第二十四章第七节正多边形和圆 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十四章第七节正多边形和圆 专题训练，共18页。试卷主要包含了下列说法正确的有个等内容，欢迎下载使用。
1．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AE，HE，若S△AEH＝42，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．22C．23D．4
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（ ）
A．3B．3C．6D．23
3．半径为2的圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．33B．32C．63D．3
4．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是40°，则该正多边形边数是（ ）
A．6B．9C．10D．12
5．若一个正n边形的每个外角为30°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．11B．12C．13D．14
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的面积等于9π，则正六边形的边长为（ ）
A．3B．3C．6D．9
7．魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，把每段弧二等份，即可得到⊙O的内接正十二边形，取弧CD的中点G；连接FG．若AB＝2，则FG的长为（ ）
A．4B．22C．23D．2+6
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠COD＝（ ）
A．72°B．60°C．54°D．48°
9．如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（ ）
A．16°B．17°C．18°D．∴∠C＝19°
10．下列说法正确的有（ ）个．
①两点之间，直线最短；②各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；③若线段AB＝BC，则点B为线段AC的中点；④两点间的线段叫做两点间的距离．
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共5小题）
11．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，AB＝2，点M，N分别为△ACD，△AED的内心，则OM长为 ．
12．已知一个正多边形的一个外角为20°，则它的边数是 ．
13．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ．
14．如果正多边形的一个外角等于它的内角的23，那么正多边形的边数为 ．
15．正六边形的周长为6，则它的面积为 ．
三．解答题（共5小题）
16．根据以下素材，探索完成任务：
17．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P与点D不重合），求∠CPD的度数．
18．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．
（1）求∠CAD的度数．
（2）已知AB＝2，求DF的长．
19．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG．
（1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 ．
（2）求AG的长．
（3）求线段ME与EG的长，并比较大小．
20．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，⊙O的半径为6．
（1）求∠ADF的度数；
（2）求线段PD的长；
（3）若点M为FD上一点（不与点F，D重合），连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和．
24.3正多边形和圆
一．选择题（共10小题）
1．解析：连接HO，过点H作HM⊥AO于点M，设⊙O的半径为r，在正八边形ABCDEFGH中，∠AOH＝360°÷8＝45°，根据圆周角定理得到∠HMO＝90°，在Rt△HMO中，HM＝OH•sin45°=22r，得到AE＝2r，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接HO，过点H作HM⊥AO于点M，
设⊙O的半径为r，
在正八边形ABCDEFGH中，∠AOH＝360°÷8＝45°，
∵∠HMO＝90°，
在Rt△HMO中，HM＝OH•sin45°=22r，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE＝2r，
∴S△AEH=12AE•HE=12×2r•22r＝42，
解得r＝22或r＝﹣22（舍），
故选：B．
2．解析：连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC=360°6=60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．
解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径OB＝OC=6π2π=3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
故选：B．
3．解析：连接OA、OB，作OG⊥AB于G，利用半径求得OG即可求得面积．
解：如图：
连接OA、OB，作OG⊥AB于G，
∵等边三角形的边长是2，
∴高为22−(22)2=3，
∴等边三角形的面积为12×2×3=3，
∵正六边形由6个等边三角形组成，
∴正六边形的面积为6×3=63．
故选：C．
4．解析：根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可．
解：设这个正多边形为正n边形，由题意得，
360°n=40°，
解得n＝9，
经检验，n＝9是原方程的解，
所以这个正多边形是正九边形，
故选：B．
5．解析：由多边形的外角和为360°，结合每个外角的度数，即可求出n的值，此题得解．
解：∵一个正n边形的每一个外角都是30°，
∴n＝360°÷30°＝12，
故选：B．
6．解析：连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．
解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的面积等于9π，
∴⊙O的半径OB＝OC=9ππ=3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°6=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
故选：B．
7．解析：连接并且延长GO交AF于点H，连接OA、OF，由六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，得AB=BC=FE=ED，而CG=DG，则AG=FG，所以AG＝FG，可证明△AOG≌△FOG，得∠AGO＝∠FGO，所以GH⊥AF，再证明△AOF是等边三角形，则OG＝OF＝AF＝AB＝2，求得FH＝AH＝1，则OH=3，所以GH＝2+3，由勾股定理得FG=FH2+GH2=2+6，于是得到问题的答案．
解：连接并且延长GO交AF于点H，连接OA、OF，则∠FHG＝90°，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AB=BC=FE=ED，
∵点G为CD的中点，
∴CG=DG，
∴AB+BC+CG=FE+ED+DG，
∴AG=FG，
∴AG＝FG，
∵OA＝OF，OG＝OG，
∴△AOG≌△FOG（SSS），
∴∠AGO＝∠FGO，
∴GH⊥AF，
∵OA＝OF，∠AOF=16×360°＝60°，
∴△AOF是等边三角形，
∴OG＝OF＝AF＝AB＝2，
∴FH＝AH=12AF＝1，
∴OH=OF2−FH2=22−12=3，
∴GH＝OG+OH＝2+3，
∴FG=FH2+GH2=12+(2+3)2=(2)2+2×2×6+(6)2=2+6，
故选：D．
8．解析：根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
故选：A．
9．解析：连接AC，AD，首先，由正五边形内角和公式求出内角∠BAE的度数，进而得到∠B和∠BAE的度数，然后，根据等腰三角形性质求出∠BAC和∠DAE的度数，求出∠CGD的度数，最后通过∠CGD=12∠CAD，求出∠CGD的度数．
解：如图，连接AC，AD，
∴∠CAD＝2∠CGD，∠CGD=12∠CAD，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∠B=∠BAE=180°×(5−2)5=540°5=108°，
在等腰△ABC中，AB＝BC，
∠BAC=180°−108°2=36°，
同理：∠EAD＝36°，
∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠DAE＝36°，
∴∠CGD=12∠CAD=12×36°=18°，
故选：C．
10．解析：根据线段的性质，正多边形的定义，线段中点定义，两点间的距离的定义判断即可．
解：①两点之间，线段最短；不符合题意；
②各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，符合题意；
③若线段AB＝BC，点B在线段AC上，则点B为线段AC的中点，不符合题意；
④两点间的线段的长度叫做两点间的距离，不符合题意．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解析：连接OC，CM，DM，过M作MG⊥CD于G，由正六边形ABCDEF得到AB＝CD＝BC＝2，OC＝OD，∠COD＝60°，∠B＝∠BCD＝120°，即可得到△COD是等边三角形，∠ACD＝90°，再由点M为△ACD的内心，得到∠MCG＝45°，∠CDM＝30°，根据勾股定理和直角三角形的性质得到DM＝2GM，GM＝CG，CM=2GM，GD=3GM，由CD＝CG+DG，求得GM=3−1，最后证明△CDM≌△ODM（SAS），根据OM=CM=6−2求解即可．
解：连接OC，CM，DM，过M作MG⊥CD于G，
由题意可得：AB＝CD＝BC＝2，OC＝OD，∠COD＝60°，∠B＝∠BCD＝120°，
∴△COD是等边三角形，
∴OD＝CD＝2，∠COD＝∠CDO＝60°，
∵AB＝BC，∠B＝120°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°，
∵点M为△ACD的内心，
∴CM平分∠ACD，DM平分∠CDO，
∴∠MCG=12∠ACD=45°，∠CDM=∠ODM=12∠CDO=30°，
∴DM＝2GM，GM＝CG，
∴CM=GM2+CG2=2GM，GD=DM2−GM2=3GM，
∵CD＝CG+DG，
∴3GM+GM=2，
解得GM=3−1，
∴CM=2GM=6−2，
∵OD＝CD＝2，∠CDM=∠ODM=12∠CDO=30°，OM＝OM，
∴△CDM≌△ODM（SAS），
∴OM=CM=6−2，
故答案为：6−2．
12．解析：根据正多边形每一个外角都相等，且外角和是360°进行计算即可．
解：由正多边形的外角和为360°，所以这个正多边形的边数为360÷20＝18（条），
故答案为：18．
13．解析：根据正十二边形的性质以及中心角的计算方法求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出OB边上的高AM，进而求出三角形OAB的面积，再求出正十二边形的面积即可．
解：如图，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M，
∵AB是正十二边形的一边，
∴∠AOB=360°12=30°，
在Rt△AOM中，OA＝3，AM=12OA=32，
∴S△AOB=12OB•AM=12×3×32=94，
∴S正十二边形＝12S△AOB＝12×94=27．
故答案为：27．
14．解析：根据正多边形的内角和外角的关系列方程求解即可．
解：设这个正多边形为正n边形，由题意得，
(n−2)×180°n×23=360°n，
解得n＝5，
经检验，n＝5是原方程的解，
即这个正多边形是正五边形，
故答案为：五．
15．解析：根据题意画出示意图，再由正六边形的周长得出边长，据此可求出其面积．
解：因为正六边形的周长为6，
所以它的边长为1．
如图所示，
连接OA，OB，过点O作AB的垂线，垂足为M，
因为∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB，
所以△OAB是等边三角形，
所以OA＝AB＝1，AM=12AB=12，
则OM=12−(12)2=32，
所以S△OAB=12×1×32=34，
所以S六边形=6S△OAB=332．
故答案为：332．
三．解答题（共5小题）
16．解析：任务1：由点B（10，0）在抛物线y2=−16x2+43x+c上，得−16×102+43×10+c＝0，求得c=103，则OP的长为103m；
任务2：当y=116时，则−16x2+43x+103=116，求得符合题意的x值为9，所以该农作物种植的最大半径为9m；
任务3：连接OD，OF，作OH⊥DF于H，因为DF＝123m，∠E＝60°，FH＝DH＝63m，∠FOD＝2∠E＝120°，求得∠OFH＝∠ODH＝30°，则OH=12OF，由FH=32OF＝63，求得OF＝12m，将（12，0）代入y2=−16x2+43x+c，得−16×122+43×12+c＝0，求得c＝8，则8−103=143（m），所以喷水口P应至少上升143米．
解：任务1：∵OB＝10，
∴B（10，0），
点B（10，0）在抛物线y2=−16x2+43x+c上，
∴−16×102+43×10+c＝0，
解得c=103，
∴OP的长为103m．
任务2：抛物线y2=−16x2+43x+103，当y=116时，则−16x2+43x+103=116，
解得x1＝9，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），
答：该农作物种植的最大半径为9m．
任务3：连接OD，OF，作OH⊥DF于H，则OF＝OD，∠FGO＝90°，
∵DF＝123m，∠E＝60°，
∴FH＝DH=12DF＝63m，∠FOD＝2∠E＝120°，
∴∠OFH＝∠ODH=12×（180°﹣120°）＝30°，
∴OH=12OF，
∴FH=OF2−OH2=OF2−(12OF)2=32OF＝63，
∴OF＝12m，
∴覆盖四边形CDEF农田的圆半径为12m，
将（12，0）代入y2=−16x2+43x+c，得−16×122+43×12+c＝0，
解得c＝8，
∴8−103=143（m），
答：喷水口P应至少上升143米．
17．解析：由正多边形的中心角相等求出∠COD，由圆周角定理即可求出∠CPD的度数．
解：连接OC，OD，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠COD=360°5=72°，
∴∠CPD=12∠COD＝36°．
18．解析：（1）根据五边形ABCDE是正五边形，判断出AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE＝108°．即可得到∠BAC=∠CAD=∠DAE=13×108°=36°；
（2）证明△DCF∽△DAC，推出CD2＝DF×AD，设DF＝x，则AD＝x+2，列出方程，解方程即可求出DF的长．
解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE=15(5−2)×180°=108°．
∴四边形ABCF是菱形，
∴∠BAC＝∠CAD，
同理可求：∠CAD＝∠DAE，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=13×108°=36°；
（2）∵四边形ABCF是菱形，
∴CF＝AF＝AB＝2．
∵∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°，
同理∠DCE＝36°，
∴△DCF∽△DAC，
∴CDDF=ADCD，即CD2＝DF×AD，
设DF＝x，则AD＝x+2，
∴22＝x（x+2），即x2+2x﹣4＝0，
解得x=5−1（舍去负值）．
∴DF的长是5−1．
19．解析：（1）根据八个方位将圆形八等分，由此可得相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为360°8=45°；
（2）根据圆周角定理及其推论可得∠AGE＝90°，∠GAE＝∠AEG＝45°，然后解直角三角形即可；
（3）根据切线的性质得出△AEM是等腰直角三角形，从而求出EM＝20，再根据圆周角定理求出∠AGE＝90°，利用等腰三角形的性质求出EG＝102，然后比较大小即可．
解：（1）由题意可知：八个方位将圆形八等分，
∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为360°8=45°，
故答案为：45°；
（2）∵AE为⊙O的直径，
∴∠AGE＝90°，
∵AG=EG，
∴∠GAE＝∠AEG＝45°，
∴AG=AE⋅cs∠GAE=20×22=102．
答：AG的长是102；
（3）∵ME为⊙O的切线，
∴∠AEM＝90°，
由（2）知：∠GAE＝45°，
∴ME＝AE＝20．
如图所示，连接OG，
∵AE是直径，
∴∠AGE＝90°，
∵∠GAE＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴EG=202=102，
∵20＞102，
∴ME＞EG．
答：线段ME＞EG．
20．解析：（1）连接FO，根据内接正六边形的性质可得答案；
（2）由切线的性质及圆周角定理得∠ADP＝90°，通过解直角三角形可得答案；
（3）通过解直角三角形可得AF、DF的长，然后利用三角形面积公式可得答案．
解：（1）如图，连接FO，
∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∴AD为⊙O的直径，∠AFD＝90°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ADF=12∠AOF=30°；
（2）∵PD与⊙O相切，AD为⊙O的直径，
∴∠ADP＝90°，
∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，
∠PAD＝60°，
在Rt△PAD中，AD＝12，
∴PD=AD⋅tan60°=12×3=123；
（3）S△AFM+S△CDM＝S△AFM+S△AMD＝S△AFD，
在Rt△AFD中，
AF＝AD•cs∠FAD＝12×cs60°＝6，
DF＝ADsin∠FAD＝12×sin60°＝63，
∴S△AFD=12×6×63=183，
∴S△AFM+S△CDM=183．
如何确定灌溉方案
素材1
图1是一种360°自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面，图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为x轴，喷枪底座中心为原点建立平面直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线y1=−16x2−43x+c和y2=−16x2+43x+c的一部分，量得OB＝10m.

素材2
现有一块四边形CDEF农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在⊙O上，如图3，DF=123m，∠E=60°，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田．

问题解决
任务1
确定喷枪的高度
求OP的长
任务2
拟定方案1
一种高为116m的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径．
任务3
拟定方案2
要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田，喷水口P应至少上升多少米．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
B
B
B
D
A
C
A