人教版九上数学第二十四章第五节点和圆的位置关系 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十四章第五节点和圆的位置关系 专题训练，共21页。试卷主要包含了下列四个结论，不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．已知⊙O的半径为3，OA＝2，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不能确定
2．如图，⊙O的半径为23，AB为直径，过AO中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，点P为半圆AmB上一动点，连接PD，过点D作DE⊥PD，交PB的延长线于点E．有如下描述
①∠ADB＝90°；
②当点P由点A向点B运动时，DE的长增大；
③∠E＝30°；
④DE最长时为6．
以上描述正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①③④
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，BC＝2cm，则⊙O直径为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
4．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（ ）
A．d＞3B．d＝3C．0＜d＜3D．无法确定
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点P，M均在⊙A内
B．点P，M均在⊙A外
C．点P在⊙A内，点M在⊙A外
D．以上选项都不正确
6．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
7．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A．△ACEB．△ABDC．△ACDD．△BCE
8．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
9．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．下列四个结论，不正确的是（ ）
①过三点可以作一个圆；
②圆内接四边形对角相等；
③平分弦的直径垂直于弦；
④相等的圆周角所对的弧也相等．
A．②③B．①③④C．①②④D．①②③④
二．填空题（共5小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且AP⊥BP，连接CP，则线段CP长的最小值为 ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝43，则⊙O的半径是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标为 ．
14．已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．
15．当A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．A，E，B三点在一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若DE=3且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P，使得四边形CPDE的周长最大，并求出周长的最大值．
17．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 ；
（2）请通过计算判断点D（﹣3，﹣2）与⊙M的位置关系．
18．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
20．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．
（1）求证：∠AEB＝∠AFD；
（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长．
24.2.1点和圆的位置关系
一．选择题（共10小题）
1．已知⊙O的半径为3，OA＝2，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不能确定
解析：由⊙O的半径为3，OA＝2，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案．
解：∵⊙O的半径为3，OA＝2，
∴点到圆心的距离小于半径，
∴点A在圆内，
故选：C．
2．如图，⊙O的半径为23，AB为直径，过AO中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，点P为半圆AmB上一动点，连接PD，过点D作DE⊥PD，交PB的延长线于点E．有如下描述
①∠ADB＝90°；
②当点P由点A向点B运动时，DE的长增大；
③∠E＝30°；
④DE最长时为6．
以上描述正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①③④
解析：根据连接AP，OD，根据直径所对的圆周角得到∠ADB＝90°，故①正确，再由CD⊥AB，半径长为23，利用锐角三角函数求∠COD＝60°，再由圆周角定理求出∠DPA＝∠ABD＝30°，由圆内接四边形的知识证明∠DAP＝∠DBE得到△DAP∽△DBE，推出ADDP=DBDE，∠E＝∠APD＝30°，故③正确，进而推出DE=3DP，判断②④错误，则问题可解．
解：连接AP，OD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，故①正确，
∵CD⊥AB，半径长为23，
∴CO=3，
∴cs∠COD=323=12，
∴∠COD＝60°，
∴∠DPA＝∠ABD＝30°，
∴AD=23，BD＝6，
∵CD⊥AB，
∴∠PDE＝90°，
∴∠ADP＝∠BDE，
由题意得，A，P，B，D四点共圆，
∴∠DAP+∠DBP＝180°，
∵∠DBE+∠DBP＝180°，
∴∠DAP＝∠DBE，
∴△DAP∽△DBE，
∴ADDP=DBDE，∠E=∠APD=30°，故③正确，
DE=DB⋅DPAD=3DP，
∴当点P由点A向点B运动时，当DP过圆心O时，DE的长最大，
此时，DE=3×23=6，故④错误，
随着点P继续向运动，DE的长度逐渐减小，故②错误，
故选：C．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，BC＝2cm，则⊙O直径为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
解析：作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，因为∠D＝∠A＝30°，所以BD＝2BC＝4cm，于是得到问题的答案．
解：作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A＝30°，BC＝2cm，
∴BD＝2BC＝4cm，
∴⊙O的直径为4cm，
故选：C．
4．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（ ）
A．d＞3B．d＝3C．0＜d＜3D．无法确定
解析：根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
解：∵点P在⊙O外，
∴d＞3．
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线．如果⊙A是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点P，M均在⊙A内
B．点P，M均在⊙A外
C．点P在⊙A内，点M在⊙A外
D．以上选项都不正确
解析：先利用勾股定理求得AB的长，再根据面积公式求出CP的长，根据勾股定理求出AP的长，根据中线的定义求出AM的长，然后由点P、M到A点的距离判断点P、M与圆A的位置关系即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵CP、CM分别是AB上的高和中线，
∴12AB•CP=12AC•BC，AM=12AB＝5，
∴CP＝4.8，
∴AP=AC2−CP2=3.6，
∵AP＝3.6＜4，AM＝5＞4，
∴点P在圆A内、点M在圆A外，
故选：C．
6．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
解析：先根据垂径定理得出AD＝BD=12AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，设OD＝x，则OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OA的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论．
解：设AB与OC交于点D，
∵弦AB的长为43，OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB＝23，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝2∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴OA＝2OD，
设OD＝x，则OA＝2x，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（23）2＝（2x）2，
解得x＝±2（负值舍去），
∴OA＝2x＝4，
∵OP＝5，
∴OP＞OA，
∴点P在圆外．
故选：C．
7．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A．△ACEB．△ABDC．△ACDD．△BCE
解析：由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断．
解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB=32+12=10，
∴P到B、C、E的距离相等，
∴P是△BCE的外心．
故选：D．
8．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
解析：根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．
解：根据题意可知，点D是△ABC外心．
故选：A．
9．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ）
A．①B．②C．③D．④
解析：根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；
⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．
故选：D．
10．下列四个结论，不正确的是（ ）
①过三点可以作一个圆；
②圆内接四边形对角相等；
③平分弦的直径垂直于弦；
④相等的圆周角所对的弧也相等．
A．②③B．①③④C．①②④D．①②③④
解析：根据确定圆的条件、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
解：①过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，符合题意；
②圆内接四边形对角互补，错误，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故原命题错误，符合题意．
错误的有①②③④，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且AP⊥BP，连接CP，则线段CP长的最小值为 13−2 ．
解析：首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
解：如图，
∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝3，OB=12AB＝2，
∴OC=BC2+OB2=13，
∴PC＝OC﹣OP=13−2，
∴线段CP长的最小值为13−2．
故答案为：13−2．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝43，则⊙O的半径是 4 ．
解析：作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．
解：作直径CD，如图，连接BD，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A＝60°，
∴BD=33BC=33×43=4，
∴CD＝2BD＝8，
∴OC＝4，
即⊙O的半径是4．
故答案为：4．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标为 （1，﹣2） ．
解析：根据网格作AB，BC的垂直平分线，两条线交于点D，可得点D（1，﹣2）是△ABC的外心．
解：如图，根据网格作AB，BC的垂直平分线，两条线交于点D，
∴点D（1，﹣2）是△ABC的外心，
∴△ABC的外心的坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
14．已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 能 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．
解析：先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线AB上，然后根据确定圆的条件进行判断．
解：能．理由如下：
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，﹣1），B（﹣2，5）代入得
k+b=−1−2k+b=5，
解得k=−2b=1，
所以直线AB的解析式为y＝﹣2x+1，
当x＝4时，y＝﹣2x+1＝﹣8+1＝﹣7，
所以点C（4，﹣6）不在直线AB上，
即点A、B、C不共线，
所以过A、B、C这三个点能确定一个圆．
15．当A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 5m+2n≠9 ．
解析：能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴k+b=23k+b=−3
解得：k=−52，b=92，
∴直线AB的解析式为y=−52x+92，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
三．解答题（共5小题）
16．如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．A，E，B三点在一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若DE=3且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P，使得四边形CPDE的周长最大，并求出周长的最大值．
解析：（1）由已知条件得出∠ADE＝∠BEC，即可证明△ADE≌△BEC；
（2）连接CD，过点E作EF⊥CD于点F，EF交CD于点P'，即为所求点P，用垂径定理、勾股定理即可求解．
（1）证明：∵∠A＝∠DEC＝60°，
∴在△ADE中，∠ADE+∠AED＝120°，∠BEC+∠AED＝120°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B＝60°，BE＝AD，
∴△ADE≌△BEC（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ADE≌△BEC，
∴DE＝EC，
∵C四边形CPDE＝CP+PD+DE+EC＝CP+PD+2DE，
连接CD，过点E作EF⊥CD于点F，EF交CD于点P'，即为所求点P，
∵E点在CD所在的圆上，
∴EP'是直径，CD是弦，
∴∠EDP'＝∠ECP'＝90°，
∵DE＝EC，∠DEC＝60°，EF⊥CD，
∴∠DEP'＝∠CEP＝30°，
∴DP'＝CP'，
在Rt△EDP'中，
设DP'＝x，则EP′＝2x，
由勾股定理得x2+(3)2=(2x)2，
解得，x＝1，
∴DP'＝CP'＝1，
最大值为CP+PD+2DE=1+1+23=2+23，
综上所述，周长最大值为2+23．
17．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 （1，﹣2） ；
（2）请通过计算判断点D（﹣3，﹣2）与⊙M的位置关系．
解析：（1）连接AB，AC，过A，B，C三点的圆的圆心M为线段AB、AC的垂直平分线的交点，则M（1，﹣2），于是得到问题的答案；
（2）连接MD、MA，可求得MD＝4，MA=10，则MD＞MA，所以点D（﹣3，﹣2）在⊙M外．
解：（1）连接AB，AC，
过A，B，C三点的圆的圆心M为线段AB、AC的垂直平分线的交点，
观察图形可知，点M的坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
（2）连接MD、MA，
∵M（1，﹣2），D（﹣3，﹣2），A（﹣2，﹣1），
∴MD＝1﹣（﹣3）＝4，MA=[1−(−2)]2+[(−2)−(−1)]2=10，
∵4＞10，
∴MD＞MA，
∵点D到圆心M的距离大于⊙M的半径，
∴点D（﹣3，﹣2）在⊙M外．
18．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
解析：（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R=253cm，
∴圆片的半径R为253cm．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
解析：（1）证明∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，即可得到∠CDE＝90°，由此得出CD⊥AB；
（2）求出AB和BC的长，即可求出AC的长．
（1）证明：∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠AEF，
∵∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∵AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝2，AE＝4，
∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3，
∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=62−22=42．
20．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．
（1）求证：∠AEB＝∠AFD；
（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长．
解析：（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点F作FM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，通过证明△AMF∽△ABE可得AMMF=ABBE=105=2，设MF＝x，则AM＝2x，利用勾股定理可求解MF的值，再结合角平分线的性质可求解．
（1）证明：∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD+∠FAD＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFD；
（2）解：如图，过点F作FM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，
∴∠BFE＝∠AEB，
∴BF＝BE＝5，
∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF，
∴△AMF∽△ABE，
∴AMAB=MFBE，
即AMMF=ABBE=105=2，
设MF＝x，则AM＝2x，
∴BM＝10﹣2x，
∵BM2+MF2＝BF2，
∴（10﹣2x）2+x2＝52，
解得x＝3，
即MF＝3，
∵AE平分∠ABD，AD⊥BC，
∴DF＝MF＝3．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
A
C
C
D
A
D
D