人教版九上数学第二十三章第二节旋转的性质 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十三章第二节旋转的性质 专题训练，共22页。
1．如图，已知线段AB＝4，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，在点P运动过程中线段AC的最大值是（ ）
A．2B．32C．4D．23
2．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠ADE＝24°，则∠B的度数是（ ）
A．66°B．69°C．71°D．72°
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，BD是AC边上的中线，把BD绕点D旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°），对应点为点B′；如果DB′与直角边平行，则点B′到点C的距离为（ ）
A．25B．10C．25或10D．10或45
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
5．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．150°
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）
A．5B．13C．4D．6
8．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
9．如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ACB＝∠ACDB．AC∥DEC．AB＝EFD．BF⊥CE
10．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．5B．23C．7D．29
二．填空题（共5小题）
11．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点F．若∠C＝40°，DE⊥AC，则∠DAC的大小为 ．
12．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，8），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 ．
13．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，若AB＝4，AE＝6，则CD＝ ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．
15．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE．
（Ⅰ）求证：DC平分∠ADE；
（Ⅱ）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若BE＝BD，求∠ABC的大小．（直接写出结果即可）
18．如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．
19．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
20．定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，我们称是△A′B′C′，△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 ．
猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
23.1.2旋转的性质
一．选择题（共10小题）
1．解析：以BO为直角边在BO上方作等腰直角三角形BOF，如图，连接CF、AF．证明△OBP∽△FBC，从而发现C点运动轨迹是以F为圆心，CF=2为半径的圆．最后根据三角形三边关系，可得AC最大值．
解：方法一：以BO为直角边在BO上方作等腰直角三角形BOF，如图，连接CF、AF．
∵将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴∠PBC＝45°，BC=2BP，
∴BFBO=BCBP=2，
∵∠OBF＝45°＝∠CBP，
∴∠OBP＝∠FBC，
∴△OBP∽△FBC．
∴CFOP=2，
∵OP＝1，
∴CF=2，
∴C点运动的轨迹是以F为圆心，CF=2为半径的圆，
∵O是AB中点，AB＝4，
∴OA＝OB＝OF＝2，
∴AF=OA2+OF2=22，
∵AC≤AF+FC，当且仅当A、F、C三点共线时取等，
∴AC最大值为22+2=32；
方法二：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作 PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，
∵AB＝4，O为AB的中点，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1，
∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB，
由旋转的性质可知：PC＝PB，
在△ECP和△FPB中，
∠ECP=∠FPB∠PEC=∠PFB，PC=PB
∴△ECP≌△FPB（AAS），
∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．
∴C（x+y，y+2﹣x），
∵AB＝4，O为AB的中点，
∴AC=(x+y+2)2+(y+2−x)2=2x2+2y2+8y+8，
∵x2+y2＝1，
∴AC=10+8y，
∵﹣1≤y≤1，
∴2≤AC≤32，
∴线段AC长的最大值是32；
故选：B．
2．解析：由旋转的性质可知，∠B＝∠DEC，DC＝AC，∠ACD＝90°，结合等腰三角形性质进而得到∠CAD，最后根据∠DEC＝∠CAD+∠ADE求解，即可解题．
解：由旋转的性质可知，∠B＝∠DEC，DC＝AC，∠ACD＝90°，
∴∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣∠ACD）=12×（180°﹣90°）＝45°，
∵∠ADE＝24°，
∴∠DEC＝∠CAD+∠ADE＝45°+24°＝69°，
∴∠B＝69°，
故选：B．
3．解析：当DB′∥BC时，当DB′∥AB时，两种情况先根据直角三角形的性质和勾股定理得到BD＝CD=12AC＝5，再由旋转的性质可得B'D＝BD＝5，解直角三角形得到cs∠ACB=BCAC=35，sin∠ACB=ABAC=45，然后通过平行线构造直角三角形求解即可．
解：如图所示，当DB′∥BC时，过点C作CH⊥B'D交B'D的延长线于H，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=AB2+BC2=10，
∵BD是AC边上的中线，
∴BD＝CD=12AC=5，
由旋转的性质可得BD＝B'D＝5，
在Rt△ABC中，cs∠ACB=BCAC=35，sin∠ACB=ABAC=45，
∵DB'∥BC，
∴∠HDC＝∠ACB，
∴sin∠HDC＝sin∠ACB，cs∠HDC＝cs∠ACB，
∴DH＝CD•cs∠CDH＝3，CH＝CD•sin∠CDH＝3，
∴B'H＝8，
∴B′C=B′H2+CH2=45，
如图所示，当DB′∥AB时，设DB'、BC交于H，
在Rt△CDH中，DH＝CD•sin∠DCH＝4，CH＝CD•cs∠DCH＝4，
∴B'H＝B'D﹣DH＝1，
∴B′C=B′H2+CH2=10，
综上所述，点B到点C的距离为10或45，
故选：D．
4．解析：由旋转的性质可得∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，即可求解．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．
故选：C．
5．解析：由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，由等腰三角形的性质可求∠B＝70°，由三角形内角和定理可求解．
解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，
∴∠B＝70°，
∴∠C＝∠E＝55°，
∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
故选：B．
6．解析：根据直角三角形两锐角互余求出∠A＝60°，根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′＝60°，然后根据旋转角的定义解答即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，
∴AC＝A′C，
∴△A′AC是等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
∴旋转角为60°．
故选：B．
7．解析：根据旋转的性质得出AC＝AC1，∠BAC1＝90°，进而利用勾股定理解答即可．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，
∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴∠BAC1＝90°，
∴在Rt△BAC1中，BC1=32+22=13．
故选：B．
8．解析：连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心．
解：
连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．
故选：A．
9．解析：先根据旋转性质得∠BCE＝∠ACD＝60°，结合∠B＝30°，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC∥DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
解：设BF与CE相交于点H，如图所示：
∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝30°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°，
∴BF⊥CE，故D选项正确；
设∠ACH＝x°，
∴∠ACB＝60°﹣x°，
∵∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°，
∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°，
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，
∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；
∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，
∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝ED＝EF+FD，
∴BA＞EF，故C选项不正确；
故选：D．
10．解析：利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=29．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解析：由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，∠E＝∠C＝40°、AB＝AD，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE＝50°，进而得到∠BAD＝∠CAE＝50°，然后根据等腰三角形的性质进而得∠ADB＝∠ABC＝65°，最后根据三角形外角的性质求解即可．
解：由题意可得：∠BAC＝∠DAE，∠E＝∠C＝40°，AB＝AD，
∵DE⊥AC，
∴∠CAE＝90°﹣∠E＝50°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE＝50°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB=∠ABC=180°−∠BAD2=65°，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，
∴65°＝40°+∠DAC，解得：∠DAC＝25°．
故答案为：25°．
12．解析：如图所示，以AO为边，在AO左边作等边三角形AOD，连接BD，证明△ABD≌△ACO（SAS），得到OC＝BD，当BD⊥OB时，BD的值最小，根据等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解．
解：如图所示，以AO为边，在AO左边作等边三角形AOD，连接BD，
∴AO＝AD，∠OAD＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠OAD＝∠OAD，
∴∠OAD﹣∠OAB＝∠BAC﹣∠OAB，即∠DAB＝∠OAC，
在△ABD和△ACO中，
AD=AO∠DAB=∠OACAB=AC，
∴△ABD≌△ACO（SAS），
∴OC＝BD，
∴BD的值最小时，OC的值最小，
当BD⊥OB时，BD的值最小，
∵点A的坐标是（0，8），
∴OA＝8，
∵△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝OD＝8，∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BOD中，BD=12OD=12×8=4，即BD的长为4，
所以在运动过程中，OC的最小值为4，
故答案为：4．
13．解析：由旋转得AE＝AC＝6，AD＝AB＝4，而点B落在AC边上的点D处，则CD＝AC﹣AD＝2，于是得到问题的答案．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AE＝AC＝6，AD＝AB＝4，
∵点B落在AC边上的点D处，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
14．解析：由“SAS”可证△DHE≌△DBF，可得EH＝BF，则当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，即可求解．
解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝3，
∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，
∴DN＝BN=32，DB＝DH，∠HDB＝60°，
∴CN=72，
∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠HDB，
∴∠EDH＝∠FDB，
在△DHE和△DBF中，
DE=DF∠EDH=∠FDBDH=DB，
∴△DHE≌△DBF（SAS），
∴EH＝BF，
∴当EH有最小值时，BF有最小值，
由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，
此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，
∴四边形CNHE是矩形，
∴HE＝CN=72，
故答案为：72．
15．解析：根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以求出BE的长，本题得以解决．
解：
法一：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
AG=AF∠EAG=∠EAFAE=AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2，
法二：设BE＝x，连接GF，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠GCF＝90°，
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAF＝90°，GA＝FA，
∴△GAF为等腰直角三角形，
∵∠EAF＝45°，
∴AE垂直平分GF，
∴∠AEB+∠CGF＝90°，
∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CGF，
∴△BAE∽△CGF，
∴BECF=ABGC，
∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，
∴x3=69，
∴x＝2，
即BE＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共5小题）
16．解析：（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．
（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
AB=AE∠BAC=∠EAFAC=AF，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
17．解析：（Ⅰ）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可．
（Ⅱ）结论：AB⊥BE．证明∠DBE+∠DCE＝180°，即可解决问题．
（Ⅲ）连接AF．想办法证明△ACF是等腰直角三角形，FA＝FB即可解决问题．
（Ⅰ）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE，
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE．
（Ⅱ）解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠CBE＝∠CEB，
∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB＝180°，
∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE＝180°，
∴∠DCE+∠DBE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB．
（Ⅲ）如图，连接AF，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于H，作BT⊥CE于T，
∵∠H＝∠BTC＝∠HCT＝90°，
∴∠HBT＝∠DBE＝90°，
∴∠DBH＝∠EBT，
∵BD＝BE，∠H＝∠BTE＝90°
∴△BHD≌△BTE（AAS），
∴BH＝BT，
∵BH⊥CH，BT⊥CE，
∴∠DCO＝∠DEB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵CD＝CD，∠ADC＝∠FDC，
∴△ACD≌△FCD（ASA），
∴AC＝FC，
∴∠AFC＝∠CAF＝45°，
∵∠ADF＝135°，
∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AFC＝∠FAB+∠ABF，
∴∠FAB＝∠ABF＝22.5°．
18．解析：（1）根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE＝∠B＝45°，从而得出答案；
（2）利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和即可说明∠FPD＝∠FDP，从而DF＝PF．
解：（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
（2）DF＝PF．理由如下：
由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，
∴DF＝PF．
19．解析：（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA＝P′A，旋转角∠P′AP＝∠BAC＝60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；
（2）由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB＝90°，可求∠APB的度数．
解：（1）连接PP′
由题意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，
∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，
所以∠PBP′＝60度．故△BPP′为等边三角形，
所以PP′＝BP＝BP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
20．解析：（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′＝BC，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E＝AC′，∠BAC′+∠AB′E＝180°，根据全等三角形的性质得到AE＝BC，得到答案．
解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′＝120°，AB＝AB′，AC＝AC′，
∴AB′＝AC′，
∴∠AB′D＝30°，
∴AD=12AB′，
∴AD=12BC，
故答案为：12；
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，AB＝AB′，AC＝AC′，
在△AB′C′和△ABC中，
A′B′=AB∠B′A′C′=∠BACA′C′=AC，
∴△AB′C′≌△ABC（SAS），
∴B′C′＝BC＝8，
∵∠B′AC′＝90°，AD是△ABC的“旋补中线”，
∴AD=12B′C′＝4，
故答案为：4；
（2）猜想AD=12BC．
证明：如图，延长AD至点E使得AD＝DE，连接B′E、C′E，
∵AD是△AB′C’的中线，
∴B′D＝C′D，
∵DE＝AD，
∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴B′E＝AC′，∠B′AC′+∠AB′E＝180°，
∵α+β＝180°，
∴∠B′AC′+∠BAC＝180°，
∴∠EB′A＝∠BAC，
在△EB′A和△CAB中，
BA=AB∠EBA=∠BACBE=AC，
∴△EB′A≌△CAB（SAS），
∴AE＝BC，
∴AD=12BC．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
B
B
B
A
D
D