人教版九上数学第二十三章第四节坐标与图形变化--旋转 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十三章第四节坐标与图形变化--旋转 专题训练，共21页。
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣2，3）C．（−3，1）D．（−3，2）
2．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC＝2，则这种变换可以是（ ）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
3．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，3）B．（2n﹣1，3）C．（4n+1，3）D．（2n+1，3）
4．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）
5．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
6．如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）
7．如图，Rt△ABO在平面直角坐标系中，∠OAB＝90°，OA在x轴上，OA＝5，AB＝3，将Rt△OAB绕点O旋转90°，则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣5，3）B．（﹣3，5）
C．（3，5）或（﹣5，3）D．（﹣3，5）或（3，﹣5）
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中点O（0，0），A（3，4）C（8，0），以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交AB于点D，再把线段OD绕点O逆时针旋转90°得到线段OD′，则点D′的坐标为（ ）
A．（﹣4，43）B．（﹣43，4）C．（43，﹣4）D．（4，﹣43）
9．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（−3，3）B．（﹣3，3）
C．（−3，2+3）D．（﹣1，2+3）
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝43，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（ ）
A．3B．62−4C．213−2D．2
二．填空题（共5小题）
11．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 ．
12．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是 ．
13．如图，直线y=−32x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ．
14．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．
15．如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝ ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△ABC的顶点坐标分别是A（3，6）、B（1，3）、C（4，2）．
（1）如果将△ABC沿x轴翻折得到△A′B′C′，写出△A′B′C′的顶点坐标；
（2）如果将△A′B′C′绕点C′按逆时针方向旋转90°得到△A″B″C″，写出点A″、B″的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，求点A'的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标 ；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出C2的坐标 ．
20．如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝4，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒3个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动．连接DE，交OA于点F，△OEF关于直线DE的轴对称图形为△OEF．设D，E两点的运动时间为t秒．
（Ⅰ）求点A的坐标及∠OED的度数；
（Ⅱ）若△OEO′绕点E逆时针旋转，得到△PEQ，点O，O′的对应点分别为P，Q，连接BP，BQ，AQ．①当t=3时，求△ABQ面积的最大值；②当t=835时，求△BPQ面积的最大值．并求出此时△OEO′至少旋转了多少度．
23.1.4坐标与图形变化--旋转
一．选择题（共10小题）
1．解析：作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，23），再利用旋转的性质得BC＝BA＝23，∠ABC＝60°，则∠CBH＝30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=12BC=3，BH=3CH＝3，所以OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，于是可写出C点坐标．
解：作CH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x＝2时，y=3x＝23，
∴A（2，23），
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC＝BA＝23，∠ABC＝60°，
∴∠CBH＝30°，
在Rt△CBH中，CH=12BC=3，
BH=3CH＝3，
OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，
∴C（﹣1，3）．
故选：A．
2．解析：观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：A．
3．解析：首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，3），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，3），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0−3=−3，
∴点A2的坐标是（3，−3），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（−3）=3，
∴点A3的坐标是（5，3），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0−3=−3，
∴点A4的坐标是（7，−3），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是3，当n为偶数时，An的纵坐标是−3，
∴顶点A2n+1的纵坐标是3，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，3）．
故选：C．
4．解析：由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′＝90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC＝A′C′，CO＝C′O，由A的坐标就可以求出结论．
解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′＝90°，
∴AO＝A′O．
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．
∵∠COC′＝90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC＝∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
∠ACO=∠A′C′O∠AOC=∠A′OC′AO=A′O，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC＝A′C′，CO＝C′O．
∵A（﹣2，5），
∴AC＝2，CO＝5，
∴A′C′＝2，OC′＝5，
∴A′（5，2）．
故选：B．
5．解析：分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
6．解析：先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．
解：∵△ABC绕P点顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，
作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），
∴旋转中心的坐标为（1，2）．
故选：B．
7．解析：进行分类讨论，即逆时针和顺时针两个情况，以及作图，再结合点所在的象限，即可作答．
解：如图：当将Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，得△OA′B′，
由全等可知A′O＝AO＝5，A′B′＝AB＝3，
∵点B′在第二象限，
∴B′（﹣3，5），
如图：当将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得△OA′B′，
由全等可知A′O＝AO＝5，A′B′＝AB＝3，
∵点B′在第四象限，
∴B′（3，﹣5），
综上：点B的对应点B′的坐标为（﹣3，5）或（3，﹣5），
故选：D．
8．解析：如图，延长BA交y轴于点E，过点D′作D′F⊥x轴于点F．证明△ODE≌△OD′F（AAS），推出D′F＝DE＝43，OF＝OE＝4可得结论．
解：如图，延长BA交y轴于点E，过点D′作D′F⊥x轴于点F．
由题意，可知DE⊥y轴，AE＝3，OE＝4．由旋转的性质，可知OD＝OC＝8，
∴DE=OD2−OE2=82−42=43，
∵OD＝OD′，∠DOD′＝90°，
∴∠EOD+∠EOD′＝90°，
∵∠D′OF+∠EOD′＝90°．
∴∠D′OE＝∠DOE，
∵∠DEO＝∠D′FO＝90°，
∴△ODE≌△OD′F（AAS），
∴D′F＝DE＝43，OF＝OE＝4．
∴点D′的坐标为（﹣4，43），
故选：A．
9．解析：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．
解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cs60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=3，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（−3，3），
故选：A．
10．解析：由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
解：取OB中点N，连接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD＝43，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分别是BC、OB的中点，
∴MN=12OC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，
∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，
∴线段AM的最小值是3，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解析：根据旋转的性质“旋转不改变图形的大小和形状”以及直角三角形的性质解题．
解：由图易知A′B′＝AB＝b，OB′＝OB＝a，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，
∵点A'在第二象限，
∴A'的坐标为（﹣b，a）．
12．解析：由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′＝90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC＝A′C′，CO＝C′O，由A的坐标就可以求出结论．
解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′＝90°，
∴AO＝A′O．
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°．
∵∠COC′＝90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′＝∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC＝∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
∠ACO=∠A′C′O∠AOC=∠A′OC′AO=A′O，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC＝A′C′，CO＝C′O．
∵A（﹣2，5），
∴AC＝2，CO＝5，
∴A′C′＝2，OC′＝5，
∴A′（5，2）．
故答案为：A′（5，2）．
13．解析：根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据旋转性质可得△AOB≌△AO′B′，根据全等三角形对应边相等可得AO′、O′B′的长度，然后分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答．
解：当y＝0时，−32x+3＝0，解得x＝2，
当x＝0时，y＝3，
所以，点A（2，0），B（0，3），
所以，OA＝2，OB＝3，
根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，
∴AO′＝OA＝2，O′B′＝OB＝3，
①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），
②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2），
综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）或（5，2）．
14．解析：分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为：（1，1）或（4，4）．
15．解析：在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x 于点F，在 Rt△CEF 中，解直角三角形可得 EF=33ℎ，CE=233ℎ，再证明△CAE≌△ABD（AAS），则 AD=CE=233ℎ AE＝BD，求得 OD=3−233ℎ，在Rt△BOD中，得 BD=6−433ℎ AE=BD=6−433ℎ 3+6−433ℎ+33ℎ=7，解方程即可求得答案．
解：方法一：在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x轴于点F，
∵点C的坐标为（7，h），
∴OF＝7，CF＝h，
在Rt△CEF中，∠CEF＝180°﹣∠AEC＝60°，CF＝h，EF=CFtan60°=33ℎ，CE=CFsin60°=233ℎ，∠BAC＝120°，∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵AB＝CA，
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AD=CE=233ℎ，AE＝BD，
∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∴OD=OA−AD=3−233ℎ
在Rt△BOD中，∠BDO＝180°﹣∠ADB＝60°，BD=ODcs∠BDO=ODcs60°=2(3−233ℎ)=6−433ℎ，
∴AE=BD=6−433ℎ，
∵OA+AE+EF＝OF，
∴3+6−433ℎ+33ℎ=7，
解得 ℎ=233，
方法二：将△AOB绕点A顺时针旋转120度，得到三角形ACD，延长DC交x轴于点E，在直角三角形ADE中，∠DAE＝60°，则AE＝2AD＝2OA＝6，过点C作CF⊥x轴于点F，
则CF＝h，AF＝7﹣3＝4，
所以EF＝6﹣4＝2，
在直角三角形CEF中h＝EF•tan30°=233
.故答案为：233．
三．解答题（共5小题）
16．解析：（1）将△ABC沿x轴翻折得到△A1B1C1，根据关于x轴对称的点的坐标变化特点求解即可求得答案．
（2）根据网格结构找出点A″，B″的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A″，B″的坐标即可．
解：如图：
（1）A′（3，﹣6），B′（1，﹣3），C′（4，﹣2）；
（2）A″（8，﹣3），B″（5，﹣5）．
17．解析：作A'C⊥x轴于点C，由旋转的性质可得BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，进而求解．
解：作A'C⊥x轴于点C，
由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴OC＝OB+BC＝7，
∴点A'坐标为（7，4）．
18．解析：（1）根据性质的性质得到A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0），再描点；由于点A2的坐标为（0，﹣4），即把△ABC向下平移6个单位，再向右平移3个单位得到△A2B2C2，则B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4），然后描点；
（2）观察图象得到将△A1B1C1绕某一点旋转180°可以得到△A2B2C2，然后连接对应点可确定旋转中心的坐标．
解：（1）如图所示：A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0）；B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4）．
（2）将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心的P点坐标为（32，﹣1）．
19．解析：（1）根据三角形的面积等于长方形的面积减去三个小三角形的面积解答即可；
（2）根据平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位，即可得到顶点B1的坐标；
（3）根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
解：（1）△ABC的面积=2×4−12×1×2−12×1×4−12×2×2=3；
故答案为：3；
（2）∵△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0），
∴平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位，
∴顶点A1的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）；
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求，
C2的坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
20．解析：（Ⅰ）利用勾股定理求得OB的长，可求得点A的坐标，利用特殊角的三角函数值即可求得∠OED＝60°；
（Ⅱ）①由题意可知Q的轨迹是以E为圆心，以3为半径的圆，当Q在O时，△ABQ面积最大，即可求得△ABQ面积的最大值；
②由题意可知以E为圆心，r=EF=435为半径作圆，PQ为圆的切线，当PQ⊥OE时，△BPQ面积最大，进一步求得旋转的度数．
解：（Ⅰ）在 Rt△AOB 中，
∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OA＝4，
∴AB=12OA=2，
∴OB=OA2−AB2=23；
∴A(2，23)：
∵∠EOD＝90°，OE＝t，OD=3t，
∴tan∠OED=ODOE=3，
∴∠OED＝60°；
（Ⅱ）①如图，Q的轨迹是以E为圆心，以EO′=EO=3为半径的圆．
∴当Q在O时，△ABQ面积最大，
∴△ABQ面积的最大值为S=12×2×23=23．
②∵t=835，
∴EO′=EO=835，
∴PQ＝OO′＝2×32×835=245，
以E为圆心，r=EF=435为半径作圆，PQ为圆的切线，
当PQ⊥OE时，ℎmax=BE+r=235+435=635，
△BPQmax=12PQ×ℎmax=12×245×635=72325，
此时△OEO'至少旋转了300度．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
B
C
B
D
A
A
A