人教版九上数学第二十二章第二节二次函数的图象和性质 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十二章第二节二次函数的图象和性质 专题训练，共21页。试卷主要包含了关于抛物线y＝﹣2，二次函数y＝a，函数y＝ax﹣2与y＝ax2，已知抛物线解析式为y＝﹣，抛物线y＝ax2+bx+c，对于题目“已知一段抛物线L等内容，欢迎下载使用。
1．将二次函数y＝x2图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（ ）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2﹣2D．y＝（x﹣1）2+2
2．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+a和二次函数y＝﹣ax2+3x+2的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．关于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向向下
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．经过点（0，1）
4．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）自变量x与函数值y的对应关系如表，下列说法正确的是（ ）
A．1＜h＜1.5B．﹣1.5＜h＜﹣1C．1.5＜h＜2D．﹣2＜h＜﹣1.5
5．已知抛物线y＝﹣x2+12x+c，若点（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＞y3＞y1
6．函数y＝ax﹣2与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上B．对称轴为直线x＝2
C．与y轴交点为（0，﹣3）D．顶点为（﹣2，﹣3）
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＞0，b＜0，c＜0
9．对于题目“已知一段抛物线L：y＝﹣（x﹣1）2+4（0≤x≤3）与直线l：y＝k（x﹣1）+3有两个交点，试确定k的取值范围．”甲的结果是k＜−32，乙的结果是−32≤k≤0，则（ ）
A．甲的结果正确，乙的结果不正确
B．甲的结果不正确，乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果都不正确
10．小雨同学用计算机软件绘制函数y=12x2−x+12的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于x轴对称的图象，得到新的图象G（如图所示）．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在图象G上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（ ）
A．﹣1B．0C．12D．1
11．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），二次函数y＝﹣x2+2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最大值为（ ）
A．−158B．−3116C．−178D．−3316
12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②b2＞4ac；③9a﹣3b+c＞0；④7a+c＞0；⑤am2+b（m+1）＜a（m≠﹣1），其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题）
13．请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为﹣4．
14．点A（﹣4﹣m，p），点B（3﹣m，q）为二次函数y＝x2+2mx+2m2+n（m、n为常数）图象上两点，则p q（填“＞”、“＜”或“＝”）．
15．抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为直线x＝1，且经过P（3，y1）、Q（0，y2），且y1＞y2，则a 0．（填“＞”或“＜”）
16．如图，已知四个点A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，0），数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）对应的函数表达式有 个；
（2）所有函数表达式中a+b+c的最大值是 ．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．有下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③b2＞4ac；④a+b≤m（am+b）（m为实数）；⑤（a+c）2﹣b2＜0；其中正确结论的序号为 ．
三．解答题（共6小题）
18．已知二次函数y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值为0，求m的值．
19．已知二次函数y＝x2﹣4x+6．
（1）将y＝x2﹣4x+6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（3）当﹣1＜x＜3时，直接写出函数y的取值范围．
20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标，并在平面直角坐标系xOy中画出函数图象；
（2）若1＜x＜4，直接写出y的取值范围．
21．已知抛物线y＝﹣x2+mx+1经过点（1，4）．
（1）求m的值及此抛物线的顶点坐标；
（2）试判断点P（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点（﹣2，﹣3），与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若∠PAB＝∠OCB，求点P的坐标；
（3）过点P作PD⊥y轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与AC相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形PNED的周长为C．
①求C关于m的函数解析式；
②当C随m的增大而增大时，求m的取值范围．
23．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜−12）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）填空：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）若点P为第一象限内该二次函数图象上一点，连接AP，交直线BC于点Q，试求PQAQ的最大值，并求出此时点P的横坐标．
（3）若过点M（1，1）的直线将△ABC分成一个三角形与一个梯形，并且分成的面积相等，求a的值．
22.1.2二次函数的图象和性质
一．选择题（共12小题）
1．解析：抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），
可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，
代入得：y＝（x+1）2﹣2．
∴所得图象的解析式为：y＝（x+1）2﹣2；
故选：C．
2．解析：根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题．
解：由题知，
一次函数y＝ax+a过定点（﹣1，0），
二次函数y＝﹣ax2+3x+2过定点（0，2）．
当a＜0时，一次函数中y随x的增大而减小，
此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧．
所以A和B都不正确．
当a＞0时，一次函数中y随x的增大而增大，
此时抛物线的开口向下．
所以C不正确．
故选：D．
3．解析：根据二次函数的性质对各选项分析判断即可．
解：A．∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，故A选项正确，不符合题意；
C．由解析式可知，对称轴为直线x＝﹣1，故C选项正确，不符合题意；
B．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故B选项错误，符合题意；
D．令x＝0，得y＝﹣2×1+3＝1，
∴抛物线经过点（0，1），故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
4．解析：把（0，2），（2，5），（4，0）代入y＝a（x﹣h）2+k中即可求出h，进而判断即可．
解：把（0，2），（2，5），（4，0）代入y＝a（x﹣h）2+k中得：
aℎ2+k=2a(2−ℎ)2+k=5a(4−ℎ)2+k=0，
解得a=−1ℎ=1.75k=8116，
∴1.5＜h＜2．
故选：C．
5．解析：根据题目中的函数解析式，可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到y1，y2，y3的大小关系．
解：∵抛物线y＝﹣x2+12x+c＝﹣（x−14）2+116+c，
∴该抛物线的对称轴为直线x=14，图象开口向下，
∵抛物线y＝﹣x2+x+c，点（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在该抛物线上，14−0=14，1−14=34，3−14=234，
∴y3＜y2＜y1，
故选：C．
6．解析：由题意分情况进行分析：当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限；当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限；据此判断即可．
解：∵在y＝ax﹣2，
∴b＝﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
当a＞0时，二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
当a＜0时，二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
7．解析：由二次函数的顶点式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，进而求解．
解：∵y＝﹣（x+2）2﹣3，
∴抛物线开口向下，顶点为（﹣2，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
将x＝0代入y＝﹣（x+2）2﹣3得y＝﹣7，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣7），
故选：D．
8．解析：根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点，对称轴，可得到结果．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，与y轴负半轴相交，
∴a＞0，c＜0，
∵抛物线的对称轴直线x=−b2a＞0，
∴b＜0，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
故选：D．
9．解析：先根据二次函数自变量取值范围求出相应点的坐标，结合一次函数性质求出范围即可．
解：当x＝0时，y＝3，
当x＝3时，y＝0，
当x＝1时，y＝4，
把（3，0）代入y＝k（x﹣1）+3得，
3＝k（0﹣1）+3，
解得：k=−32，
把（0，3）代入y＝k（x﹣1）+3得，
3＝k（0﹣1）+3，
解得：k＝0，
把（1，4）代入y＝k（x﹣1）+3得，
4＝k（1﹣1）+3，无解，
∵抛物线L：y＝﹣（x﹣1）2+4（0≤x≤3）与直线l：y＝k（x﹣1）+3有两个交点，
∴−32≤k≤0，
则甲的结果不正确，乙的结果正确，
故选：B．
10．解析：由图象可得，函数图象关于点（1，0）中心对称，结合题意可得y1+y2+y3+……+y19+y20＝y10+y20，求出y10＝0，y20=12×22−2+12=12，即可得解．
解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
∴0.1+1.92=0.2+1.82=⋯=0.9+1.12=1，
∴y1+y19＝0，y2+y18＝0，……，
∴y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20＝y10+y20，
∵A10（1，y10），A20（2，y20），
∴当x＝1时，y10＝0，当x＝2时，y20=12×22−2+12=12，
∴y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20=y10+y20=12，
故选：C．
11．解析：先用a，b表示出二次函数图象的顶点坐标，再结合该顶点在线段AB上即可解决问题．
解：∵二次函数解析式为 y＝﹣x2+2ax+b （a，b是常数），
∴顶点坐标为（a，a2+b），
又∵A（4，0），B（0，﹣2），
∴直线AB的函数解析式为y=12x﹣2，
∵二次函数图象的顶点在线段AB上，
∴a2+b=a2−2，且0≤a≤4，
则b＝﹣a2+a2−2=−(a−14)2−3116，
∴当a=14 时，b有最大值为−3116．
故选：B．
12．解析：依据题意，根据二次函数的性质可得a＜0，b＝2a＜0，c＞0，可判断结论①；由抛物线与x轴的交点可判断②；由抛物线的对称性可判断③；由9a﹣3b+c＝0，b＝2a，a＜0，可判断④；由x＝﹣1处的函数值可判断结论⑤．
解：抛物线y＝ax2+bx+c的图象开口向下，a＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
∴−b2a=−1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
b2＞4ac．故②正确；
由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴由函数图象可得x＝﹣3时，y＝0．
∴9a﹣3b+c＝0．故③错误．
∵9a﹣3b+c＝0，b＝2a，
∴3a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c+4a＜0，即7a+c＜0，故④错误；
∵x＝﹣1时，有最大值，
∴当m﹣1时，am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴m2+b（m+1）＜a（m≠﹣1），故⑤正确．
综上，正确的有：①②⑤3个．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
13．解析：依据题意，设函数为y＝ax2+bx+c，由图象过原点，从而c＝0，再由函数有最小值﹣4，可知a＞0，且−b24a=−4，进而可以得解．
解：由题意，设函数为y＝ax2+bx+c，
∵图象过原点，
∴c＝0．
又函数有最小值﹣4，
∴a＞0，且−b24a=−4．
∴若取a＝1，则b可取4．
综上，函数的表达式可以是y＝x2+4x．
故答案为：y＝x2+4x（答案不唯一）．
14．解析：先求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线开口方向向上、距对称轴距离越远的点的函数值越大即可解答．
解：由条件可知：该二次函数的抛物线开口向上，对称轴为x=−2m2=−m，
∵﹣m﹣（﹣4﹣m）＝4＞3﹣m﹣（﹣m），点A（﹣4﹣m，p），点B（3﹣m，q）为二次函数y＝x2+2mx+2m2+n（m、n为常数）图象上两点，
∴p＞q．
故答案为：＞．
15．解析：依据到对称轴的距离的大小与函数值大小的关系即可得到结论．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为直线x＝1，且经过P（3，y1）、Q（0，y2），
∴P（3，y1）在对称轴的右侧，Q（0，y2）在对称轴的左侧，
∵y1＞y2，
∴到对称轴的距离较大的点的函数值较大，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0．
故答案为：＞．
16．解析：（1）分别讨论①A（0，1），B（2，1），D（3，0），②A（0，1），C（4，1），D（3，0），③B（2，1），C（4，1），D（3，0）时的函数表达式，要注意，经过A、B、C三点不存在二次函数；
（2）分别求出（1）中解析式a+b+c的值，得出最大值．
解：（1）①A（0，1），B（2，1），D（3，0），
设y＝ax（x﹣2）+1，
将D（3，0）代入，得：0＝3a+1，
∴a=−13，
∴y=−13x(x−2)+1=−13x2+23x+1；
②A（0，1），C（4，1），D（3，0），
设y＝ax（x﹣4）+1，
将D（3，0）代入，得：0＝3a（﹣1）+1，
∴a=13，
∴y=13x(x−4)+1=13x2−43x+1；
③B（2，1），C（4，1），D（3，0），
设y＝a（x﹣2）（x﹣4）+1，
将D（3，0）代入，得：0＝﹣a+1，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣2）（x﹣4）+1＝x2﹣6x+9；
综上所述：对应的函数表达式有3个，
故答案为：3；
（2）①y=−13x2+23x+1，
∴a+b+c=43；
②y=13x2−43x+1，
∴a+b+c＝0；
③y＝x2﹣6x+9，
∴a+b+c＝4；
综上所述：a+b+c的最大值为4，
故答案为：4．
17．解析：根据二次函数的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故结论①不正确，不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＞0，
∴3a+c＞0，
故结论②正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故结论③正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，图象开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值，即a+b+c，
∴当x＝m时，am2+bm+c≥a+b+c，
即am2+bm≥a+b，
∴a+b≤m（am+b），
故结论④正确，符合题意；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，
故结论⑤正确，符合题意，
综上所述正确的有：②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．
三．解答题（共6小题）
18．解析：先根据二次函数y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值，得出二次项系数m＞0，再根据最小值是0列式计算即可得解．
解：∵y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值0，
∴4m(m−1)−(m−1)24m=0，m＞0，
解得：m＝1．
19．解析：（1）用配方法将表达式化为顶点式即可；
（2）利用（1）得到的顶点式即可求解；
（3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围．
解：（1）y＝x2﹣4x+6
＝x2﹣4x+4+2
＝（x﹣2）2+2；
（2）∵y＝（x﹣2）2+2，a＝1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2）；
（3）∵y＝（x﹣2）2+2，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，2），
∴x＝2时函数最小值为2，
将x＝﹣1代入y＝x2﹣4x+6得y＝11，
∴当﹣1＜x＜3时，y的取值范围2≤y＜11．
20．解析：（1）先将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标，然后写出该函数图象上的几个点，再画出该函数的图象即可；
（2）根据（1）中的函数图象，可以写出当1＜x＜4时，y的取值范围．
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），
当x＝0时，y＝3，当x＝1时，y＝0，当x＝3时，y＝0，当x＝4时，y＝3，
该函数图象如下所示：
（2）由图象可得，
当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．
21．解析：（1）将（1，4）代入y＝﹣x2+mx+1，求出m的值，然后通过配方配成顶点式即可求解；
（2）将点P（﹣1，﹣4）代入解析式即可判断．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+1经过点（1，4）．
∴将（1，4）代入y＝﹣x2+mx+1，
得4＝﹣12+m+1，
∴m＝4，
则y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴顶点坐标为（2，5）；
（2）将x＝﹣1代入得，y＝﹣x2+4x+1＝﹣4，
∴点P（﹣1，﹣4）在函数图象上．
22．解析：（1）利用待定系数法即可求得a，c的值，利用配方法即可求得顶点坐标；
（2）根据题意求得∠OCB＝45°，即可得出∠PAB＝45°，过点P作PG⊥x轴于G，则PG＝AG，设A G＝P G＝n，则P（n﹣1，n），代入抛物线解析式求得n的值，即可求得P的坐标；
（3）①根据题意求得直线AC的解析式，设N（m，﹣m﹣3），则P（m，﹣m2+2m﹣3），分为当m＜﹣3时，当m＞1时，分别作图根据矩形的性质即可求得C；
②根据二次函数的性质即可求得．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点（﹣2，﹣3），（1，0）两点，
∴4a−4+c=−3a+2+c=0，
解得 a=1c=−3．
∴此抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当y＝0时，即x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1．
∴A（﹣3，0），B（1，0），即OA＝3，OB＝1．
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），B（1，0），即OC＝3，
∴OA＝OC．
当点P在x轴上方抛物线上时，如图1所示，设直线AP交y轴于点Q，
∵∠PAB＝∠OCB，OA＝OC，∠AOQ＝∠COB＝90°，
∴△AOQ≌△COB（ASA），
∴OQ＝OB＝1，
∴Q（0，1）．
设直线AQ的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，0），Q（0，1）代入，得：
−3k+b=0b=1，
解得k=13b=1，
∴直线AQ的解析式为y=13x+1，
联立直线AQ与抛物线的解析式得y=13x+1y=x2+2x−3，
∴13x+1=x2+2x−3，
解得 x1=−3，x2=43．
∵点P在第一象限，
∴x=43，
此时y=13×43+1=139，
∴P(43，139)．
（3）①过点P作PD⊥y轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与AC相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形PNED的周长为C．
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b，得−3k+b=0b=−3，
解得k=−1b=−3，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
设P（m，m2+2m﹣3），则N（m，﹣m﹣3），
当m＜﹣3时，如图2，
∴PD＝0﹣m＝﹣m，PN＝m2+2m﹣3﹣（﹣m﹣3）＝m2+3m，
∴C＝2（PD+PN）＝2（﹣m+m2+3m）＝2m2+4m，
当m＞1时，如图3，
∴PD＝m，PN＝m2+2m﹣3﹣（﹣m﹣3）＝m2+3m，
∴C＝2（PD+PN）＝2（m+m2+3m）＝2m2+8m，
∴C=2m2+4m(m＜−3)2m2+8m(m＞1)；
②∵C=2m2+4m(m＜−3)2m2+8m(m＞1)，
当C＝2m2+4m（m＜﹣3）时，m=−42×2=−1，
故当m＞﹣1时，C随m的增大而增大，而m＜﹣3，不符合题意，舍去；
当C＝2m2+8m（m＞1）时，m=−82×2=−2，
故当m＞﹣2时，C随m的增大而增大，
又∵m＞1，
∴当m＞1时，C随m的增大而增大．
23．解析：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解方程求得结果；
（2）作PD⊥y，交BC于D，可推出△PDQ∽△ABQ，从而得出PQAQ=PDAB=PD4，从而当PD最大时，PQAQ最大，可求出设BC的解析式，进而设P（m，am2﹣2am﹣3a），进而得出点D坐标，从而表示出PD的关系式，进一步得出结果；
（3）分三种情形：当过点M的直线EF∥AB时，设EF交OC于N，根据△CAEF∽△CAB得出S△CEFS△CAB=(EFAB)2=(CNOC)2=（−3a−1−3a)2=12，进而得出a的值，同样求出当过d点M的直线GH∥BC时H点坐标，进而根据kGH＝kAC得出关于a的方程11−22=3a4，从而得出a的值，同样求出当过点M的直线WV∥AC时的结果．
解：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；
（2）如图1，
作PD⊥y，交BC于D，
∵OB⊥y轴，
∴PD∥OB，
∴△PDQ∽△ABQ，
∴PQAQ=PDAB=PD4，
∴当PD最大时，PQAQ最大，
设BC的解析式为：y＝kx+b，
∴b=−3a3k+b=0，
∴k=ab=−3a，
∴y＝ax﹣3a，
设P（m，am2﹣2am﹣3a），
由ax﹣3a＝am2﹣2am﹣3a，
∴x＝m2﹣2m，
∴PD＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣（m−32）2+94，
∴当m=32时，PD最大=94，
∴（PQAQ）最大=916，
当m=32时，y＝a⋅(32)2−2a⋅32−3a=−154a，
∴P（32，−154a）；
（3）如图2，
当过点M的直线EF∥AB时，设EF交OC于N，
∴△CAEF∽△CAB，
∴S△CEFS△CAB=(EFAB)2=(CNOC)2=（−3a−1−3a)2，
∵S△CEF＝S梯形ABFE，
∴S△CEF=12S△CAB，
∴(−3a−1−3a)2=12，
∴a=−2+23，
当过M的直线GH∥BC时，
同理可得，
(AHAB)2=2，
∴AH4=12，
∴AH＝22，
∵kGH＝kAC，
∴11−22=3a4，
∴a=−22+121，
当过点M的直线WV∥AC时，
BVAB=12，
∴BV4=12，
∴BV＝22，
∴V（3﹣22，0)，
∵kWV＝kAC，
∴11−(3−22)=−3a1，
∴a=−2+16，
综上所述：a=−2+23或−22+121或−2+16．
x
﹣1
0
1
2
4
y
﹣2.5
2
4.5
5
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
B
C
C
A
D
D
B
C
B
题号
12
答案
C