人教版九上数学第二十二章第四节图象法求一元二次方程的近似根 专题训练

这是一份人教版九上数学第二十二章第四节图象法求一元二次方程的近似根 专题训练，共14页。试卷主要包含了如图，以，已知y＝ax2+bx+c，有以下结论等内容，欢迎下载使用。
1．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6
2．观察表格，估算一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的近似解：
由此可确定一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个近似解x的范围是（ ）
A．1.4＜x＜1.5B．1.5＜x＜1.6C．1.6＜x＜1.7D．1.7＜x＜1.8
3．探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y＝2x2与一次函数y＝x+2的图象，求一元二次方程2x2＝x+2的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．小华的上述方法体现的数学思想是（ ）
A．公理化B．分类讨论
C．数形结合D．由特殊到一般
4．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＜0B．4＜x2＜5C．b2﹣4ac＜0D．ab＞0
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，结合图象给出下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＞0；
④对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0；
⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在﹣2和﹣1之间．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c−32=0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x=−12时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在1和32之间；③m+2n＜﹣10；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞34时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．②③④
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x=32时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜−203；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞13时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
二．填空题（共2小题）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是 ．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜c＜0）经过点（﹣1，m），其中m＞0．下列结论：①b＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣1到0之间；③当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；④分式a+b−3cb−2c的值小于2．其中正确的结论是 （填写序号）．
三．解答题（共1小题）
13．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
【任务】
（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 .（从以下选项中选2个即可）
A．数形结合
B．分类讨论
C．统计思想
D．转化思想
（2）先完成下表，并判断：
方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间．
（3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况．
22.2.1二次函数与一元二次方程（图象法求一元二次方程的近似根）
一．选择题（共10小题）
1．解析：先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
2．解析：分析表格数据即可求解．
解：由表格中数据可知，x逐渐增大，y也随着增大，
当x从1.6增大到1.7时，y从负数为整数，
∴使得y＝0的x在1.6到1.7之间．
故选：C．
3．解析：结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想．
解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想．
故选：C．
4．解析：利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x1+x22=2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；
∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，
∴﹣1＜4﹣x2＜0，
解得：4＜x2＜5，故选项B正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴−b2a=2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴ab＜0，故选项D错误；
故选：B．
5．解析：根据对称轴和抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值即可得到结论．
解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴−b2a=1，
∴2a+b＝0，
∴②正确；
当x＝﹣2时，函数值y＜0，即2a﹣2b+c＜0；
∴③错误，
∴当x＝1时，y＝a+b+c的值最大，
∴对于任意实数m，am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm﹣a﹣b≤0，
∴④错误；
∵对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴⑤错误，
故选：A．
6．解析：根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间，
∴与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，
∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣1和0之间，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=32有两个交点，
∴方程ax2+bx+c−32=0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，
∴a﹣b+c＜0，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c＝2，
∴a﹣b+2＜0，
∴b﹣a＞2．故④错误．
故选：B．
7．解析：由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由b＝﹣2a，x＝﹣1时y＜0可判断③，由x＝1时函数取最大值可判断④，由函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1及直线y＝﹣1的交点横坐标为方程|ax2+bx+c|＝1的解及抛物线的对称轴为直线x＝1可判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②错误．
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a=−b2，
∴−32b+c＜0，
∴2c＜3b，③正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确．
方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，
∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2，
抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2，
∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误．
故选：A．
8．解析：根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x=−1+32=1，故C错误，不合题意；
由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，
∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，
∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意；
由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间，
故对应的x的值在﹣1与0之间，
故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意．
故选：D．
9．解析：①根据表格数据可得对称轴为直线x=12，即a＝﹣b，c＝2＞0，即可判断；②根据题意得出抛物线开口向下，根据对称性可得当x=32时，y＜0，过点（1，2），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在1和32之间；③将x＝﹣1与x＝2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当x=−12时，对应的函数值y＜0，即可表示出m+2n的取值范围；④分类讨论，当P1在抛物线的右侧时，P1的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有y1＞y2，求出对应的t即可；当P1与P2在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当P1的横坐标到对称轴的距离小于P2到对称轴的距离时满足y1＞y2，求出对应的t即可．
解：∵当x＝0和x＝1时，y＝2，
∴对称轴为直线x=12，
∴x=−b2a=12，即a＝﹣b，
当x＝0时，y＝2，即c＝2＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵当x＝0和x＝1时，y＝2，当x=−12时，对应的函数值y＜0，
∴抛物线开口向下，根据对称性可得当x=32时，y＜0，
又∵过点（1，2），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在1和32之间；故②正确；
∵a＝﹣b，
∴将x＝﹣1与x＝2代入解析式得：m＝n＝2a+2，
则：m+2n＝6a+6，
∵当x=−12时，对应的函数值y＜0，
∴得：14a−12b+2＜0，即：34a+2＜0，
解得：a＜−83
∴m+2n＝6a+6＜﹣10，故③正确
④∵函数过点（1，2）且当x=32时，对应的函数值y＜0，
∴可以判断抛物线开口向下，
∵P1在抛物线的右侧时，P2恒在抛物线的右侧，此时y1＞y2恒成立，
∴P1的横坐标大于等于对称轴对应的x，即t−1≥12，解得t≥32时y1＞y2；
当P1与P2在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当P1的横坐标到对称轴的距离小于P2到对称轴的距离时满足y1＞y2，
即当t−1＜12t+1＞12时，12−(t−1)＜t+1−12满足y1＞y2，
∴当−12＜t＜23时，解得t＞12，即P1与P2在抛物线的异侧时满足y1＞y2，12＜t＜32，
∴综上当t＞12时，34＞12，y1＞y2．
故④正确．
故选：D．
10．解析：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得b=−ac=2，可得二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据当x=32时，对应的函数值y＜0，有a＜−83，b＞83，即得a＜0，b＞0，c＞0，故①不正确；由m＝2a+2，n＝2a+2，结合a＜−83，可得m+n＜−203，故②正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x=12，而当x=32时，对应的函数值y＜0，可知当x=−12时，对应的函数值y＜0，关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间，故③正确；由y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，知a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2时，t＞12，故④不正确，
解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：
2=c2=a+b+c，解得b=−ac=2，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x=32时，对应的函数值y＜0，
∴94a−32a+2＜0，
∴a＜−83，
∴﹣a＞83，即b＞83，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜−83，
∴m+n＜−203，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x=12，
又∵当x=32时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x=−12时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞12，故④不正确，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
11．解析：根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
12．解析：将点（﹣1，m）坐标代入抛物线解析式可得a+b+c＞0根据a＜c＜0即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴x=−b2a＜0，可以确定对称轴位置−b2a＜−12，即可判断③；将x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，裂项变形a+b﹣3c＞2b﹣4c即可判断④．
解：①将点（﹣1，m）坐标代入抛物线解析式得：m＝a﹣b+c＞0，
∵a＜c＜0，
∴b＜0，故结论①正确；
②令y＝0，则ax2+bx+c＝0，两根之和，x1+x2=−ba＜0，两根之积，x1•x2=ca＞0，
∴x1、x2均小于0，
当x＝﹣1时，y＝m＞0，a＜0，抛物线开口向下，
∴抛物线有1个根在﹣1到0之间，即ax2+bx+c＝0有1个根在﹣1到0之间，②正确；
③∵a﹣b+c＝m＞0，a＜c＜0，
∴a﹣b＞0，
∴﹣b＞﹣a，
∵a＜0，
∴−b2a＜−12，结论③错误；
④∵当x＝﹣1时，y＝m＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+b﹣3c＞2b﹣4c，
∵a＜c＜0，
∴c﹣b+c＞0，
∴b﹣2c＜0，
∴a+b−3cb−2c＜2，④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共1小题）
13．解析：（1）结合解答过程即可得出答案；
（2）观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值由正到负，故可判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1．
（3）根据抛物线的开口向下，与y轴的交点为（0，2），即可判断抛物线与x轴有两个交点，从而判断方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0．
解：（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是A，D．
故答案为：A，D；
（2）填表如下：
∴﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1．
（3）∵y＝ax2+bx+2，
∴当x＝0时，y＝2，
又∵a＜0，
∴方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0．
x
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
x2﹣x﹣1
﹣0.44
﹣0.25
﹣0.04
0.19
0.44
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
设计题SHEJITI
由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图1﹣20．若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1•y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解．
例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）．
解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察图1﹣20，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6．
x的值
﹣2
﹣1
0
1
3x2﹣x﹣1的值




题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
B
A
B
A
D
D
B
x的值
﹣2
﹣1
0
1
3x2﹣x﹣1的值
13
3
﹣1
1