人教版九上数学第二十二章第六节根据实际问题列二次函数关系式 专题训练

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1．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝2a（x﹣1）B．y＝2a（1﹣x）C．y＝a（1﹣x2）D．y＝a（1﹣x）2
2．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝7.9（1+2x）
B．y＝7.9（1﹣x）2
C．y＝7.9（1+x）2
D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）2
3．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（ ）
A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15）
B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6）
C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6）
D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5）
4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
5．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+50xB．y=−12x2+24x
C．y=−12x2+25xD．y=−12x2+26x
6．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2B．y＝（2+x）2C．y＝2+2x2D．y＝（1+2x）2
7．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA＝12m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，则抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=−15(x+6)2B．y=−536(x−6)2
C．y=−136(x+6)2+5D．y=−536(x−6)2+5
8．一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（1cm对应一个单位长度），AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，CH⊥AB且CH＝1cm，BD＝2cm．则轮廓线DFE所在抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=14(x+3)2B．y=14(x−3)2
C．y=14(x−4)2D．y=−14(x−4)2
二．填空题（共2小题）
9．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为 ．
10．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形DEMN的边MN在AB上，顶点D、E分别在边AC、BC上，设DE的长为x厘米，矩形DEMN的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．（不必写定义域）
三．解答题（共3小题）
11．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m．这时．拱高（点O到AB的距离）为4m．
（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？
（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？
12．某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，据统计，该村农户老王近五年的年度纯收入如表．
老王近五年的年度纯收入统计表
若记2018年度为第1年，在平面直角坐标系中分别用点A（1，2.5），B（2，4.5），C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）表示农户老王近五年的年度纯收入的变化情况，如图所示．
拟用下列三个函数模拟农户老王从2018年开始的年度纯收入变化趋势：
①y=mx(m＞0)，
②y＝kx+b（k＞0），
③y＝ax2+0.5x+c（a＞0），
以便估算农户老王2023年度的纯收入．
（1）你认为选用函数 （填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）农户老王准备在2023年底购买一台价值22万元的农机设备，根据（1）中你选择的函数表达式，预测农户老王2023年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．
13．根据以下素材，探索完成任务．
22.3.2实际问题与二次函数（根据实际问题列二次函数关系式）
一．选择题（共8小题）
1．解析：原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）＝a（1﹣x）2．
解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．
则函数解析式是y＝a（1﹣x）2．
故选：D．
2．解析：根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第三季度季度GDP总值约为7.9（1+x）元，第四季度GDP总值为7.9（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．
故选：C．
3．解析：根据各边之间的关系，可得出BC＝（20﹣2x）m，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式，再结合“墙长为15m，且平行于墙的一边长不小于8m”，即可求出x的取值范围．
解：∵篱笆的总长为20m，AB＝x m，
∴BC＝（20﹣2x）m．
根据题意得：S＝x（20﹣2x）．
∵墙长为15m，且平行于墙的一边长不小于8m，
∴20−2x≤1520−2x≥8，
∴2.5≤x≤6，
∴S与x之间的函数表达式为S＝x（20﹣2x）（2.5≤x≤6）．
故选：B．
4．解析：根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
5．解析：根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．
解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x•12（50+2﹣x）=−12x2+26x．
故选：D．
6．解析：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种传染病，即可得出y与x的函数关系式．
解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
7．解析：由OA的长度及点P到OA的距离，可得出点P的坐标，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式．
解：∵OA＝12m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，
∴抛物线顶点P的坐标为（6，5），
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+5，
将O（0，0）代入y＝a（x﹣6）2+5得：0＝36a+5，
解得：a=−536，
∴抛物线的函数表达式为y=−536（x﹣6）2+5，
故选：D．
8．解析：根据题意可以求得点C、点B的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，从而可以求得点D和点F的坐标，然后设出右轮廓线DFE所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题．
解：∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，
∴点C的坐标为（﹣3，0），点B（﹣1，1），
∴点D（1，1），点F（3，0），
设轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣3）2，
则1＝a（1﹣3）2，
解得，a=14，
∴右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y=14（x﹣3）2，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
9．解析：根据题意，抛物线的顶点坐标是（20，16），并且过（0，0），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可．
解：设y＝a（x﹣20）2+16，
因为抛物线过（0，0），
所以代入得：
400a+16＝0，
解得a=−125，
故此抛物线的函数关系式为：
y=−125（x﹣20）2+16．
故答案为：y=−125（x﹣20）2+16．
10．解析：根据图中的几何关系先把EM表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形是DEMN矩形，
∴△BME、△AND是等腰直角三角形，
∴MN＝DE＝x厘米，BM＝EM＝DN＝AN=12（20﹣x），
∴y＝x•12（20﹣x）=−12x2+10x．
故答案为：y=−12x2+10x．
三．解答题（共3小题）
11．解析：（1）由函数图象可设该抛物线的解析式是y＝ax2，再结合图象，只需把（10，﹣4）代入求出a的值即可；
（2）由函数图象可设该抛物线的解析式是y＝ax2+c，再结合图象，只需把（10，0），（0，4）代入求出a、c的值即可．
解：（1）设该抛物线的解析式是y＝ax2，
由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得：
100a＝﹣4，
a=−125．
∴该抛物线的解析式是y=−125x2；
（2）设该抛物线的解析式是y＝ax2+c，
由图象知，点（10，0）（0，4）在函数图象上，代入得：
100a+c=0c=4，
解得：a=−125，c＝4．
∴该抛物线的解析式是y=−125x2+4，
与（1）抛物线比较，形状不变、表达式有变化．
12．解析：（1）由数据的变化可以直接判断不能用①②进行模拟，因此用函数③最合适，再把前两个点A（1，2.5），B（2，4.5）代入函数③，可求得函数表达式；
（2）根据（1）的函数关系时，可计算出2023年即第6年度的纯收入y，做比较可得结论．
解：（1）应选用函数③．
理由如下：∵1×2.5＝2.5，2×4.5＝9，2.5≠9，∴不能选用函数y=mx(m＞0)进行模拟．
由A（1，2.5），B（2，4.5），C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）可知，x每增大1个单位，y的变化不均匀，∴不能选用函数y＝kx+b（k＞0）模拟，
∴只能选用函数③模拟．
把A（1，2.5），B（2，4.5）代入y＝ax2+0.5x+c（a＞0）得，
a+0.5+c=2.54a+1+c=4.5，解得：a=0.5c=1.5，
∴y＝0.5x2+0.5x+1.5．
经检验，点C（3，7.5），D（4，11.5），E（5，16.5）也满足上述关系式，
故答案为：③；函数表达式为：y＝0.5x2+0.5x+1.5．
（2）由（1）得，y＝0.5x2+0.5x+1.5，
当x＝6时，y＝0.5×36+0.5×6+1.5＝22.5，
∵22.5＞22，
∴农户老王2023年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
13．解析：任务1：由直角三角形面积公式可得区块Ⅰ的面积12x2，区块Ⅱ的面积﹣10x+200，用正方形面积减去区块Ⅰ，区块Ⅱ的面积可得区块Ⅲ的面积−12x2+10x+200；
任务2：分两种情况分别画出图形，可得S乙=−12x2+20x或S乙＝200；
任务3：由乙的面积为130−20+20cm2范围内，可得110≤−12x2+20x≤150，即可解得20﹣65≤x≤10，结合x为整数，S乙也是整数，可得答案．
解：任务1：
区块Ⅰ的面积：12x2，
区块Ⅱ的面积：12×20×（20﹣x）＝﹣10x+200，
区块Ⅲ的面积：20×200−12x2﹣（﹣10x+200）=−12x2+10x+200；
故答案为：12x2；﹣10x+200；−12x2+10x+200；
任务2：
①如图1，连接DF，
∵AD＞AF，
∴△ADF不可能为等腰三角形，
∵DF＝DE，
∴△DFE为等腰三角形，
∴S乙＝S△DEF=(x+20)×202−12x2﹣（﹣10x+200）=−12x2+20x，
②如图2，连接AE，
∵AE＝DE，
∴E在AD的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴E为BC的中点，
∴S乙=12×20×20=200；
综上所述，S乙=−12x2+20x或S乙＝200；
任务3：
∵乙的面积为130−20+20cm2范围内，
∴面积范围为110≤S乙≤150，
∵S乙=S△DFE=−12x2+20x，
∴110≤−12x2+20x≤150，
∴100≤（x﹣20）2≤180，
∴10≤x﹣20≤65或﹣65≤x﹣20≤﹣10，
∴30≤x≤20+65（不符合题意，舍去）或20﹣65≤x≤10，
∵x为整数，
∴x可取7，8，9，10，
∵S乙也是整数，
∴x＝8或x＝10，
∴有2个最佳定位点E，分别为（8，0），（10，0）．
年度/年
2018
2019
2020
2021
2022
年度纯收入/万元
2.5
4.5
7.5
11.5
16.5
如何设计打印图纸方案？
素材1
如图1，正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝20cm，点E，F分别在BC和AB上，且BE＝BF，设BE＝x cm（0＜x＜20）．

素材2
为了打印精准，拟在图2中的BC边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案．

问题解决
任务1
确定关系
用含x的代数式表示：
区块Ⅰ的面积＝ 、区块Ⅱ的面积＝ 、区块Ⅲ的面积＝ ．
任务2
拟定方案
为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以DE为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式．
任务3
优化设计
经调查发现区域乙的面积为130−20+20cm2范围内的整数时，此时的E点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点E的坐标．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
B
D
A
D
B