期末综合测试题.2025-2026学年人教版数学七年级下册含答案

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一、单选题（每小题3分，共30分）
1．甲骨文是殷商时期刻在龟甲、兽骨上的文字，距今已有三千多年历史，是中国迄今为止发现最早的成熟汉字体系．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．非B．比C．立 D．鼎
【答案】B
【详解】解：平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，
∴观察四个选项，只有B选项中的图形是经过平移得到．
2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查全国年轻人喜欢的盲盒品类
B．调查上海市民对迪士尼烟花的燃放效果的满意情况
C．调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况
D．调查我校新购置桌椅调节器的使用寿命
【答案】C
【分析】根据普查的适用条件判断即可．
【详解】解：A、调查对象为全国年轻人，范围过大，适合抽样调查；
B、调查对象为全体上海市民，范围较大，适合抽样调查；
C、火箭各零件的合格情况事关发射安全，必须保证每个零件都合格，要求结果完全准确，适合全面调查；
D、调查调节器使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，适合抽样调查．
3．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．若实数a，b满足，则D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角概念，平行线的性质，平方的性质等初中知识点，逐一分析选项即可得到结论．
【详解】解：对于A选项，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，但同位角不是对顶角，∴A是假命题；
对于B选项，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不存在符合要求的平行线，∴B是假命题；
对于C选项，若，则或，例如满足但，∴C是假命题；
对于D选项，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题．
4．如图，直线AB、相交于点O，，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据平角的定义求出，再由角平分线的定义求出，则 ．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
5．在平面直角坐标系中，已知点，，，若三角形ABC的面积为12，则y的值为( )
A．B．C．或D．或9
【答案】D
【分析】B和C都在y轴上，可将BC作为三角形的底，点A到y轴的距离作为高，利用三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：点，点都在y轴上，
∴BC的长度为．
点A坐标为，
∴点A到y轴的距离即的高为4．
根据三角形面积公式得：
，
化简得，
∴或，
解得或．
6．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】D
【分析】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于a，b的关系式，直接变形即可求出的值．
【详解】解：∵是原方程组的解，
∴ 将代入原方程组，得：，
，得：
化简得：．
7．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，逐一判断即可．
【详解】解：A、由数轴可知，，故此选项错误；
B、由数轴可知，，∴，故此选项正确；
C、由数轴可知，，∴，，，故此选项错误；
D、由数轴可知，，∴，，∴，故此选项错误．
8．如图，下列条件中，①；②∠1=∠2；③；④．能判定的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：①由，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定；
②由∠1=∠2，可以根据内错角相等，两直线平行判定，不能判定；
③由，可以根据内错角相等，两直线平行判定；
④由，不能判定；
∴能判定的有①③，共2个．
9．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据解集中整数的个数确定整数解，进而推导参数a的取值范围．
【详解】解：解不等式得
，
解不等式得
，
∴不等式组的解集为：
，
∵解集中有且仅有3个整数，
∴满足条件的3个整数为，
由此可得的取值范围是：．
10．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先将方程变形，用x表示y，再根据均为正整数的条件，列举所有符合条件的解，即可得到正整数解的个数．
【详解】解：∵ 方程为，且为正整数，
∴ 变形得，
∵y是正整数，
∴，
解得，
又∵x是正整数，
∴x的取值为，对应得到：
当时，；
当时，；
当时，，均满足条件，
因此方程共有3个正整数解．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如果，那么____．
【答案】或/或
【分析】此题考查了平方根的应用，根据平方根的定义两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，解题的关键是能根据定义得出两个一元一次方程．
【详解】两边同时除以，,
两边开方得：，
∴或 ，
解得：或，
故答案为：或．
12．的平方根是，的立方根是2，则_______．
【答案】13
【分析】本题考查了平方根和立方根的定义．
根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，，
解得，
则．
故答案为：13．
13．已知x，y，满足，且，则__________．
【答案】9
【分析】此题考查三元一次方程组的解法，设，则整理得出，，，，代入求得t，进一步代入求得x的值．
【详解】解：设，
则，，，
代入得：
解得：，
，
故答案为：9．
14．如图，在中，，点D为AB边的中点，于E，若，则AC的长为__________．
【答案】2
【分析】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点F，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题．
【详解】解：作于点F，
于E，
∴，
，
点D为AB边的中点，
，
，
∴，
，
为等边三角形，
，，
，
．
故答案为：2．
15．设m、n是有理数，且满足等式则______．
【答案】1或
【分析】本题考查了实数的性质、利用平方根解方程，熟练掌握实数的性质是解题的关键．对等式整理得，结合m、n是有理数得出，，解出的值即可解答．
【详解】解：，
，
、n是有理数，
，，
解得：或，，
当时，，
当时，，
∴综上所述，或
故答案为：1或．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，，连接、BC交于点E，则三角形的面积为________．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标的特征，三角形的面积和差的关系，连接OE，设，由和的面积列出m、n的方程组求得m、n，再由和△ACE的面积差求得的面积便可．关键是求E点的坐标．
【详解】解：连接OE，如图，
，，，，
，，，，
设，
，
；
，
；
解方程组得，，
．
故答案为：．
三、解答题（每小题9分，共72分）
17．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根；
(3)求的立方根．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【详解】（1）解：的立方根是，
，
；
的算术平方根为3，
，
，且，
；
（2）解：由（1）可知：，，，
∴，
的平方根为；
（3）解：，
的立方根为.
18．如图，在中，点E、点G分别是边AB、AC上的点，点F、点是边BC上的点，连接EF、和DG、，若．
(1)求证：
(2)若DG是的角平分线，，求的度数．
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，推得，根据平行线的判定定理即可证明；
（2）先求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∵DG是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
19．如图，三角形ABC的三个顶点坐标分别是，，，将三角形ABC先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，C1）．
(1)在图中画出三角形；
(2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______；
(3)在平移过程中，求线段AC扫过的图形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)18
【分析】（1）根据平移的规律先确定，，C1，进而作出即可；
（2）根据垂线段最短求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小，
∴点P的坐标是；
（3）解：在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积为．
20．某中学开展航天知识竞答活动，随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理(满分为100分，将抽取的成绩在60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)学校抽取的八年级学生的人数是 ；
(2) ，请把频数分布直方图补充完整；
(3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数．
【答案】(1)40
(2)20，
(3)估计达到优秀等级的人数为80人
【分析】（1）根据数据来源判断即可，在频数分布直方图可得B组有12人，扇形图中可知组占，据此可计算总人数；
（2）根据（1）中总人数可得D组有8人，据此计算占比得到m的值，补充频数分布直方图即可；
（3）根据样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，B组有12人， 占，
∴(名)，
答：学校抽取的八年级学生的人数为40．
（2）解：D组有(人)，
占总人数的 ，
∴；
补全的频数分布直方图略．
（3）解：知D组占总人数的，
∴估计达到优秀等级的人数为(人)．
21．某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台．
(1)按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴______元，1台乙款手机可获得补贴______元；
(2)该店当天这两款商品各卖出多少台？
【答案】(1)300，500
(2)该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台
【分析】（1）根据补贴规则，列式计算即可；
（2）根据当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元，列出方程组进行求解即可．
【详解】（1）解：1台甲款平板可获得补贴元，
∵，
∴1台乙款手机可获得补贴500元．
（2）解：依题意，得
，
解得．
答：该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台．
22．年4月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵5元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．
(1)分别求喇叭和小红旗的单价；
(2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？
【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为10元
(2)元
【分析】（1）设小红旗单价为x元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解；
（2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设小红旗单价为x元，则喇叭的单价为元，
由题意得， ，
解得．
．
答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为10元．
（2）解：设一横排有人，
由题意得，，
即，即
为整数，且，
．
（元）．
答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元．
23．已知关于的方程组的解也是方程的解．
(1)求m的值及方程组的解．
(2)在（1）的条件下，方程组的解恰是平面直角坐标系中点P的坐标，请直接写出点P的坐标，并指出点P所在的象限．
【答案】(1)；方程组的解为
(2)，在第四象限
【分析】（1）先联立不含m的两个方程，求解出的值，由此可解m的值．
（2）根据方程组的解可得点P的坐标，由此可知所在的象限．
【详解】（1）解：∵方程组的解也是方程的解．
∴联立，
由可得，
将代入可得，解得，
将代入可得，
将，代入中，可得，解得，
∴m的值为3，方程组的解为．
（2）解：由（1）知，点P的坐标为，
横坐标，纵坐标，点P在第四象限．
24．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且、满足．点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动，设点P运动的时间为；
(1)点B的坐标为_________；当点P运动5秒时，点P的坐标为___________；
(2)在运动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P运动的时间；
(3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点P运动的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)为2秒或6秒
(3)存在，点P运动的时间为秒或秒
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，进而得，，再根据长方形的性质得，，即可得点B的坐标，当点P运动5秒时，，即此时点P与点B重合，；
（2）分两种情况：当点P在上时，；当点P在AB上时，；分别求出对应的时间即可；
（3）设点P的运动时间为t，三角形的面积是10，分两种情况：当点P在上时，；当点P在BC上时，，则；分别根据面积求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵、满足，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∵四边形为长方形，
∴，，
∴点B的坐标为；
当点P运动5秒时，，
即此时点P与点B重合，则；
（2）解：如图，
分两种情况：
当点P在上时，，
（秒）；
当点P在AB上时，，则，
∴，
（秒）．
综上，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P运动的时间为2秒或6秒；
（3）解：设点P的运动时间为t，三角形的面积是10，
分以下两种情况：
当点P在上时，，
∴，
∴，
解得；
当点P在BC上时，，则，
∴，
∴，
解得；
综上，当点P的运动时间为秒或秒时，三角形的面积是10．