河北省衡水市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷含答案

这是一份河北省衡水市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷含答案，文件包含广东省深圳市2025-2026学年下学期七年级数学期末冲刺模拟卷原卷版docx、广东省深圳市2025-2026学年下学期七年级数学期末冲刺模拟卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上．
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号．
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效．
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A．3xy ＝ 5B．3x + y ﹣ 2
C．y+1x=−7D．x ﹣ 7y ＝ 0
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．a^5 • a^2 ＝ a^10B．（a^2）^3 ＝ a^6
C．a^8 ÷ a^2 ＝ a^4D．（﹣2x）^2 ＝ ﹣4x^2
3．如图，在4×6正方形网格图中，位于点A南偏西60°的方向上，同时又在点B西北方向上的点可能是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
4．已知x ＝ 4﹣k，y ＝ k+3，则y与x的关系是（ ）
A．y ＝ x ﹣ 1B．x + y ＝ 1C．x ﹣ y ＝ 1D．x + y ＝ 7
5．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5D．∠2+∠4＝180°
6．下列命题为真命题的是（ ）
A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形
B．三角形的重心是三条中线的交点
C．三角形的角平分线、中线、和高线都是射线
D．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．计算6.99×10^7﹣6.98×10^7，结果用科学记数法表示为（ ）
A．0.1×10^5B．0.1×10^6C．1×10^5D．1×10^6
8．已知m＜n，下列式子不成立的是（ ）
A．m + 5＜n + 5B．20m＜20n
C．﹣3m＞﹣3nD．pm＜pn（p＜0）
9．光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线在水中的折射光线也是平行的．已知水面和杯底互相平行，若∠2＝58°，则∠1等于（ ）
A．122°B．112°C．58°D．32°
10．数形结合是初中数学重要的思想方法，如图所示的几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（ab）2＝a2b2
11．bp⋅bp⋅⋯⋅bp︷k个bp=（ ）
A．pbkB．bk ﹣ pC．bkpD．kpb
12．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°+∠ABD；
③∠CAB＝∠CBA；④∠ADB+∠ABC＝90°，其中正确的为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．计算：64×1212，正确结果是．
14．已知关于x，y的二元一次方程组4x−y=5m+2x+y=3m−7的解满足x﹣y ＝ 6，则m的值为．
15．在∠AOB与∠CDE中，OA∥CD，OB∥DE，若∠CDE的一半比∠AOB的14多15度，则∠AOB＝ ．
16．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 ．
三．解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：(−1)2026+(π−3.14)0+(13)−1．（2）计算：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+3）．（3）因式分解：（a﹣b）2﹣3（b﹣a）+94．（4）解不等式组：4(x+1)＞3x+6x3−1＜x−14．
18．已知关于x的方程3x﹣b ＝ 2．（1）若该方程的解满足x＞0，求b的取值范围；（2）若该方程的解是不等式2（x﹣1）+3＜3（x﹣1）的最小整数解，求b的值．
19．一次课堂练习，乐乐同学做了如下四道整式运算的题目：①x2﹣9y2＝ （x﹣3y）（x+3y）；②a3﹣9a ＝ a（a2﹣9）；③x2y﹣xy2＝ xy（x﹣y）；④3m2+6mn+3n2＝ （3m+3n）2．（1）乐乐做错的或不完整的题目是 （填序号）；（2）把你选出（1）题中题目的正确答案写在下面．
20．已知a，b，c是△ABC的三边．（1）a ＝ 3，b ＝ 5，则c的取值范围是；若c为偶数，则△ABC的最大周长为．（2）若△ABC是等腰三角形，a ＝ 3，周长为12，求另外两边长．
21．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②），同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．
一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大；二组的同学们认为山西大院的占地面积更大．
为证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示．
（1）请用a，b分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简）
（2）若a＝40，b＝20，请判断哪个建筑物的占地面积更大．
22．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14．
（1）求证：AC是∠BAD的平分线．
（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．
23．阅读与思考
下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是 ．
A．分类讨论思想
B．转化思想
C．数形结合思想
（2）已知a+b＝﹣8，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求a2﹣b2﹣16b+22的值．
（3）已知a+b=4，求a−b+8b+1的值．
24．为响应“节能减排”的环保理念，某工厂同时购进A、B两种型号的节能设备，若购进2台A设备和3台B设备共需420万元；若购进3台A设备和2台B设备共需480万元．（1）求A设备和B设备每台进价分别为多少万元？（2）为创建节能减排示范工厂，工厂预计用不超过4000万元的资金购入两种设备共计60台，且A设备数量不少于B设备数量的70%，请求出共有几种购买方案？（3）为落实节能减排的环保理念，市政府对工厂采购设备进行补贴．每购买一台A设备和B设备，政府分别补贴p元和q元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求p与q之间的数量关系．
25．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝ °．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）
2025-2026学年河北省衡水市七年级（下）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A．3xy ＝ 5B．3x + y ﹣ 2
C．y+1x=−7D．x ﹣ 7y ＝ 0
【分析】本题考查二元一次方程的定义．二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．解题的切入点是根据定义逐一分析选项．
【解答】A选项：3xy ＝ 5中，xy的次数是2，不是二元一次方程，错误；B选项：3x+y﹣2不是等式，不是方程，错误；C选项：y+1x=−7中，1x不是整式，不是二元一次方程，错误；D选项：x﹣7y ＝ 0符合二元一次方程的定义，正确．
【点评】本题主要考查对二元一次方程定义的理解，关键是把握未知数的个数和次数以及整式方程这几个要点．
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．a^5 • a^2 ＝ a^10B．（a^2）^3 ＝ a^6
C．a^8 ÷ a^2 ＝ a^4D．（﹣2x）^2 ＝ ﹣4x^2
【分析】本题考查同底数幂的运算．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘．解题的切入点是根据这些运算法则逐一分析选项．
【解答】A选项：a^5•a^2 ＝ a^（5+2）＝ a^7，不是a^10，错误；B选项：（a^2）^3 ＝ a^（2×3）＝ a^6，正确；C选项：a^8÷a^2 ＝ a^（8﹣2）＝ a^6，不是a^4，错误；D选项：（﹣2x）^2 ＝ （﹣2）^2×x^2 ＝ 4x^2，不是﹣4x^2，错误．
【点评】本题考查同底数幂的基本运算规则，关键是要准确掌握和运用这些规则，计算时要细心．
3．如图，在4×6正方形网格图中，位于点A南偏西60°的方向上，同时又在点B西北方向上的点可能是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
【分析】根据方位角的含义绘制点A的南偏西60°方向和点B西北方向，即可得到答案．
【解答】解：如图，绘制点B西北方向：从点B的正北方，向西（左）偏转45°，
绘制点A的南偏西60°方向：从点A的正南方，向西（左）偏转60°的方向，两直线交于点P，
∴位于点A南偏西60°的方向上，同时又在点B西北方向上的点可能是点P．
故选：A．
【点评】本题考查方向角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．已知x ＝ 4﹣k，y ＝ k+3，则y与x的关系是（ ）
A．y ＝ x ﹣ 1B．x + y ＝ 1C．x ﹣ y ＝ 1D．x + y ＝ 7
【分析】本题考查解二元一次方程．通过将含k的式子相加，消去k，从而得到x与y的关系．解题的切入点是把x ＝ 4﹣k，y ＝ k+3两式相加．
【解答】将x ＝ 4﹣k，y ＝ k+3两式相加得：x+y ＝ 4﹣k+k+3 ＝ 7．逐一分析选项：A选项：y ＝ x﹣1不符合计算结果，错误；B选项：x+y ＝ 1不符合计算结果，错误；C选项：x﹣y ＝ 1不符合计算结果，错误；D选项：x+y ＝ 7符合计算结果，正确．
【点评】本题考查通过消元法找出两个未知数之间的关系，关键是合理对已知式子进行运算．
5．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断．
【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b；
当∠4＝∠5时，a∥b；
当∠2+∠4＝180°时，a∥b．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6．下列命题为真命题的是（ ）
A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形
B．三角形的重心是三条中线的交点
C．三角形的角平分线、中线、和高线都是射线
D．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题考查命题与定理．需要根据四边形、三角形的相关概念和性质，以及垂线的性质来判断命题的真假．解题的切入点是对每个选项所涉及的知识点进行准确理解和判断．
【解答】A选项：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形，该选项表述不完整，错误；B选项：三角形的重心是三条中线的交点，正确；C选项：三角形的角平分线、中线、和高线都是线段，不是射线，错误；D选项：在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该选项缺少前提条件，错误．
【点评】本题考查对一些基本几何概念和定理的理解，关键是要准确掌握这些知识点的完整表述．
7．计算6.99×10^7﹣6.98×10^7，结果用科学记数法表示为（ ）
A．0.1×10^5B．0.1×10^6C．1×10^5D．1×10^6
【分析】本题考查科学记数法以及乘法分配律的应用．可先根据乘法分配律提取公因式10^7，再进行计算，最后将结果用科学记数法表示．解题的切入点是运用乘法分配律简化计算．
【解答】6.99×10^7﹣6.98×10^7 ＝ （6.99﹣6.98）×10^7 ＝ 0.01×10^7 ＝ 1×10^5．逐一分析选项：A选项：0.1×10^5错误；B选项：0.1×10^6错误；C选项：1×10^5正确；D选项：1×10^6错误．
【点评】本题考查科学记数法的计算，关键是掌握乘法分配律的应用以及科学记数法的表示形式．
8．已知m＜n，下列式子不成立的是（ ）
A．m + 5＜n + 5B．20m＜20n
C．﹣3m＞﹣3nD．pm＜pn（p＜0）
【分析】本题考查不等式的性质．不等式的性质有：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．解题时根据这些性质逐一分析选项．
【解答】A选项：根据不等式性质1，不等式m＜n两边同时加5，不等号方向不变，即m+5＜n+5，该选项成立；B选项：根据不等式性质2，不等式m＜n两边同时乘20，不等号方向不变，即20m＜20n，该选项成立；C选项：根据不等式性质3，不等式m＜n两边同时乘﹣3，不等号方向改变，即﹣3m＞﹣3n，该选项成立；D选项：因为p＜0，根据不等式性质3，不等式m＜n两边同时乘p，不等号方向应改变，即pm＞pn，该选项不成立．所以答案是D．
【点评】本题主要考查对不等式性质的理解和运用，关键是要清楚不同性质在不同运算下对不等号方向的影响．
9．光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线在水中的折射光线也是平行的．已知水面和杯底互相平行，若∠2＝58°，则∠1等于（ ）
A．122°B．112°C．58°D．32°
【分析】由题意知AB∥CD，AC∥BD，然后根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠2＝58°，
∵AC∥BD，
∴∠1+∠CDB＝180°，
∴∠1＝180°﹣58°＝122°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
10．数形结合是初中数学重要的思想方法，如图所示的几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（ab）2＝a2b2
【分析】分别表示出图中的阴影面积，二者相等，比较各选项，即可求解．
【解答】解：左图阴影面积为大正方形减小正方形，即 a2﹣b2．
右图阴影为两个梯形，总面积 2×½（a+b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．
两图面积相等，
故 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．
11．bp⋅bp⋅⋯⋅bp︷k个bp=（ ）
A．pbkB．bk ﹣ pC．bkpD．kpb
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方以及乘方的意义．乘方的意义是求n个相同因数乘积的运算．根据乘方的意义，k个bp相乘可以写成（bp）k，再根据幂的乘方运算法则（am）n ＝ amn进行计算．
【解答】根据乘方的意义，k个bp相乘可表示为（bp）k．根据幂的乘方运算法则，（bp）k ＝ bkp．逐一分析选项：A选项pbk不符合计算结果，错误；B选项bk﹣p不符合计算结果，错误；C选项bkp正确；D选项kpb不符合计算结果，错误．所以答案是C．
【点评】本题综合考查幂的乘方与积的乘方以及乘方的意义，关键是要理解乘方意义与幂的乘方运算法则，并准确运用．
12．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°+∠ABD；
③∠CAB＝∠CBA；④∠ADB+∠ABC＝90°，其中正确的为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得12∠BAC＝∠BDC，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求∠ECD＝90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得AD为△ABC外角∠MAC的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明∠ADB＝∠ACE，再利用平行线的性质可得结论④．
【解答】解：∵CD平分∠ACF，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ACD＝∠DCF=12∠ACF=12∠ABC+12∠BAC．
∵∠DCF＝∠DBC+∠BDC=12∠ABC+∠BDC，
∴12∠BAC＝∠BDC，即∠BAC＝2∠BDC，①错误；
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，
∴∠ACE+∠ACD＝90°，即∠ECD＝90°，
∴∠BEC＝∠ECD+∠CDB＝90°+∠CDB，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴∠BEC＝90°+∠ABD，故②正确；
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBA＝2∠ABD＝2∠CDB，
∵∠BAC＝2∠BDC，
∴∠CAB＝∠CBA，故③正确；
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴AD为△ABC外角∠MAC的平分线，
∴∠MAC＝2∠MAD，
∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，∠MAD＝∠ABD+∠ADB，∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴∠ADB＝∠ACE，
∵CD∥AB，
∴∠ABC＝∠DCF＝∠ACD，
∵∠ACE+∠ACD＝90°，
∴∠ADB+∠ABC＝90°，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
13．计算：64×1212，正确结果是．
【分析】本题考查有理数的乘方运算．先将64转化为以2为底的幂的形式，再根据同底数幂的运算法则进行计算．
【解答】因为64 ＝ 26，所以原式可化为26×1212．根据同底数幂的除法法则am÷an ＝ am﹣n（a≠0，m、n为正整数，m＞n），26×1212 ＝ 26÷212 ＝ 26﹣12 ＝ 2﹣6 ＝ 126 ＝ 164．所以答案是164．
【点评】本题关键在于将数字转化为合适的幂的形式，然后运用同底数幂的运算法则进行计算，要注意指数的运算．
14．已知关于x，y的二元一次方程组4x−y=5m+2x+y=3m−7的解满足x﹣y ＝ 6，则m的值为．
【分析】本题考查二元一次方程组的解以及整体代入思想．可以通过将方程组中的两个方程相减得到x﹣y的表达式，再结合已知条件x﹣y ＝ 6来求解m的值．
【解答】方程组4x−y=5m+2x+y=3m−7，用第一个方程4x﹣y ＝ 5m+2减去第二个方程x+y ＝ 3m﹣7，可得：（4x﹣y）﹣（x+y） ＝ （5m+2）﹣（3m﹣7）4x﹣y﹣x﹣y ＝ 5m+2﹣3m+73x﹣2y ＝ 2m+9进一步变形为（x﹣y）+（2x﹣y） ＝ 2m+9，观察发现可先求出x﹣y的表达式．将两个方程相减：（4x﹣y）﹣（x+y） ＝ 4x﹣y﹣x﹣y ＝ 3x﹣2y ＝ （5m+2）﹣（3m﹣7）＝ 2m+9，即3x﹣2y ＝ 2m+9．又因为x﹣y ＝ 6，将其代入上式无法直接求解，重新考虑，用第一个方程减去第二个方程：（4x﹣y）﹣（x+y） ＝ 3x﹣2y ＝ 2m+9，而（4x﹣y）﹣（x+y） ＝ 3（x﹣y），所以3（x﹣y） ＝ 2m+9．把x﹣y ＝ 6代入3（x﹣y） ＝ 2m+9，得到3×6 ＝ 2m+9．即18 ＝ 2m+9，移项可得2m ＝ 18﹣9 ＝ 9，解得m ＝ 92．
【点评】本题综合考查二元一次方程组的解以及整体代入思想，关键是要通过对方程组的变形找到与已知条件的联系，运用整体代入简化计算．
15．在∠AOB与∠CDE中，OA∥CD，OB∥DE，若∠CDE的一半比∠AOB的14多15度，则∠AOB＝ 60°或100° ．
【分析】根据角的两边分别平行的两个角相等或互补进行解答即可．
【解答】解：因为在∠AOB与∠CDE中，OA∥CD OB∥DE，
所以∠AOB＝∠CDE或∠AOB+∠CDE＝180°，
所以当∠AOB＝∠CDE时，设∠AOB为x，
可得：12x=14x+15，
解得：x＝60，
当∠AOB+∠CDE＝180°时，设∠AOB为x，可得：
12(180°−x)=14x+15°，
解得：x＝100，
故答案为：60°或100°
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据角的两边分别平行的两个角相等或互补列出方程解答．
16．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 64° ．
【分析】作FH⊥FE交AC用H．想办法证明∠DEF＝∠DHF＝58°＝∠FEB即可解决问题；
【解答】解：作FH⊥FE交AC用H．
∵∠AFC＝∠EFH＝90°，
∴∠AFH＝∠CFE＝13°，
∵∠A＝∠FCE＝45°，FA＝FC，
∴△FAH≌△FCE，
∴FH＝FE，
∵∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝13°+32°＝45°，
∴∠DFH＝∠DFE＝45°，∵DF＝DF，
∴△DFE≌△DFH，
∴∠DEF＝∠DHF＝∠A+∠AFH＝58°，
∵∠FEB＝∠CFE+∠FCE＝58°，
∴∠DEC＝180°﹣58°﹣58°＝64°，
故答案为64°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三．解答题（共9小题）
17．（1）计算：(−1)2026+(π−3.14)0+(13)−1．（2）计算：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+3）．（3）因式分解：（a﹣b）2﹣3（b﹣a）+94．（4）解不等式组：4(x+1)＞3x+6x3−1＜x−14．
【分析】本题考查实数的运算、整式的运算、因式分解以及解一元一次不等式组．（1）根据乘方的意义、零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算；（2）根据多项式乘多项式以及单项式乘多项式的运算法则进行计算；（3）先将式子变形，再根据完全平方公式进行因式分解；（4）分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分．
【解答】（1）(−1)2026+(π−3.14)0+(13)−1因为（﹣1）2026 ＝ 1（负数的偶次幂是正数），（π﹣3.14）0 ＝ 1（任何非零数的0次幂都为1），(13)−1 ＝ 3（一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数），所以原式 ＝ 1+1+3 ＝ 5．（2）（a+4）（a﹣2）﹣a（a+3）根据多项式乘多项式法则：（m+n）（p+q） ＝ mp+mq+np+nq，可得：a2﹣2a+4a﹣8﹣（a2+3a）＝ a2+2a﹣8﹣a2﹣3a＝﹣a﹣8．（3）（a﹣b）2﹣3（b﹣a）+94将式子变形为（a﹣b）2+3（a﹣b）+94，令t ＝ a﹣b，则原式变为t2+3t+94，根据完全平方公式（a+b）2 ＝ a2+2ab+b2，这里t2+3t+94 ＝ （t+32）2，再把t ＝ a﹣b代回，得到（a﹣b+32）2．（4）解不等式组4(x+1)＞3x+6x3−1＜x−14解不等式4（x+1）＞3x+6，去括号得4x+4＞3x+6，移项得4x﹣3x＞6﹣4，解得x＞2．解不等式x3−1＜x−14，去分母得4x﹣12＜3（x﹣1），去括号得4x﹣12＜3x﹣3，移项得4x﹣3x＜﹣3+12，解得x＜9．所以不等式组的解集为2＜x＜9．
【点评】本题综合考查多个知识点，关键是要准确掌握和运用各个知识点的运算法则，在计算和求解过程中注意细心．
18．已知关于x的方程3x﹣b ＝ 2．（1）若该方程的解满足x＞0，求b的取值范围；（2）若该方程的解是不等式2（x﹣1）+3＜3（x﹣1）的最小整数解，求b的值．
【分析】（1）先求解方程3x﹣b ＝ 2得到x表达式，再根据x＞0求解b的范围．（2）先求解不等式2（x﹣1）+3＜3（x﹣1），得到最小整数解，再代入方程求b的值．
【解答】（1）解方程3x﹣b ＝ 2，得x ＝ （b+2）/3．因为x＞0，所以（b+2）/3＞0，解得b＞﹣2．（2）解不等式2（x﹣1）+3＜3（x﹣1），2x﹣2+3＜3x﹣3，2x+1＜3x﹣3，移项得3x﹣2x＞1+3，解得x＞4，其最小整数解为x ＝ 5．把x ＝ 5代入方程3x﹣b ＝ 2，得3×5﹣b ＝ 2，15﹣b ＝ 2，解得b ＝ 13．
【点评】本题考查一元一次方程与一元一次不等式的综合应用，关键是准确求解方程和不等式，注意不等式求解时的移项变号等规则．
19．一次课堂练习，乐乐同学做了如下四道整式运算的题目：①x2﹣9y2＝ （x﹣3y）（x+3y）；②a3﹣9a ＝ a（a2﹣9）；③x2y﹣xy2＝ xy（x﹣y）；④3m2+6mn+3n2＝ （3m+3n）2．（1）乐乐做错的或不完整的题目是 （填序号）；（2）把你选出（1）题中题目的正确答案写在下面．
【分析】（1）逐一分析各整式运算是否正确或完整．（2）对错误或不完整的进行正确运算．
【解答】（1）②中a（a2﹣9）还可继续分解为a（a﹣3）（a+3），④中3m2+6mn+3n2＝ 3（m2+2mn+n2）＝ 3（m+n）2，所以做错或不完整的是②④．（2）②：a3﹣9a ＝ a（a2﹣9）＝ a（a﹣3）（a+3）；④：3m2+6mn+3n2＝ 3（m2+2mn+n2）＝ 3（m+n）2．
【点评】本题考查整式的因式分解，要熟练掌握平方差公式、完全平方公式等，注意分解要彻底．
20．已知a，b，c是△ABC的三边．（1）a ＝ 3，b ＝ 5，则c的取值范围是；若c为偶数，则△ABC的最大周长为．（2）若△ABC是等腰三角形，a ＝ 3，周长为12，求另外两边长．
【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求c的取值范围，再结合c为偶数求最大周长．（2）分情况讨论等腰三角形的腰长，结合周长求解．
【解答】（1）因为a ＝ 3，b ＝ 5，所以5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．因为c为偶数，所以c可能为4、6，当c ＝ 6时，△ABC的周长最大，最大周长为3+5+6 ＝ 14．（2）当a ＝ 3为腰长时，则底边长为12﹣3﹣3 ＝ 6，因为3+3 ＝ 6，不满足三角形三边关系，舍去．当a ＝ 3为底边长时，则腰长为（12﹣3）÷2 ＝ 4.5，此时另外两边长均为4.5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，要注意分类讨论，同���判断三边能否构成三角形．
21．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②），同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．
一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大；二组的同学们认为山西大院的占地面积更大．
为证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示．
（1）请用a，b分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简）
（2）若a＝40，b＝20，请判断哪个建筑物的占地面积更大．
【分析】（1）根据题意，用含a，b的代数式表示出两个建筑物的面积即可；
（2）根据题意，将a和b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
回字形福建土楼的占地面积为：（3a+2b）（2a+b）﹣（a+2b）（a+b）＝5a2+4ab，
山西大院的占地面积为：（4a+b）（2a+b）﹣（2a+b）（a+b）＝6a2+3ab；
（2）当a＝40，b＝20时，
5a2+4ab＝5×402+4×40×20＝11200，6a2+3ab＝6×402+3×40×20＝12000，
因为11200＜12000，
所以山西大院的占地面积更大．
【点评】本题主要考查了代数式求值及列代数式，能根据题意用含a，b的代数式表示出两个建筑物的面积及准确的计算是解题的关键．
22．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14．
（1）求证：AC是∠BAD的平分线．
（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论．
【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示：
∵△ADC的面积为14，AD＝7，
∴12AD•CF＝14，
∴CF=2×14AD=287=4，
∵CE＝4，
∴CF＝CE＝4，
又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部，
∴点C在∠BAD的平分线上，
∴AC是∠BAD的平分线；
（2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示：
∵AB＝13，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6，
∵AB﹣AD＝2BE，
∴2BE＝6，
∴BE＝3，
∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵CE⊥AB，垂足为E，
∴CE是线段BH的垂直平分线，
∴HC＝BC，
由（1）可知：AC是∠BAD的平分线，
∴∠HAC＝∠DAC，
在△HAC和△DAC中，
AH=AD∠HAC=∠DACAC=AC，
∴△HAC≌△DAC（SAS），
∴HC＝CD，
∴CD＝BC．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
23．阅读与思考
下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是B ．
A．分类讨论思想
B．转化思想
C．数形结合思想
（2）已知a+b＝﹣8，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求a2﹣b2﹣16b+22的值．
（3）已知a+b=4，求a−b+8b+1的值．
【分析】（1）根据转化思想解答即可；
（2）仿照材料中的例题解答过程解答即可；
（3）仿照材料中的例题解答过程解答即可．
【解答】解：（1）材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想；
故选：B．
（2）a2﹣b2﹣16b+22
＝（﹣4+m）2﹣（﹣4﹣m）2﹣16×（﹣4﹣m）+22
＝16﹣8m+m2﹣（16+8m+m2）+64+16m+22
＝16﹣8m+m2﹣16﹣8m﹣m2+64+16m+22
＝86；
（3）a−b+8b+1
＝（2+m）2﹣（2﹣m）2+8（2﹣m）+1
＝4+4m+m2﹣（4﹣4m+m2）+16﹣8m+1
＝4+4m+m2﹣4+4m﹣m2+16﹣8m+1
＝17．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键．
24．为响应“节能减排”的环保理念，某工厂同时购进A、B两种型号的节能设备，若购进2台A设备和3台B设备共需420万元；若购进3台A设备和2台B设备共需480万元．（1）求A设备和B设备每台进价分别为多少万元？（2）为创建节能减排示范工厂，工厂预计用不超过4000万元的资金购入两种设备共计60台，且A设备数量不少于B设备数量的70%，请求出共有几种购买方案？（3）为落实节能减排的环保理念，市政府对工厂采购设备进行补贴．每购买一台A设备和B设备，政府分别补贴p元和q元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求p与q之间的数量关系．
【分析】（1）设未知数，根据两种购买情况列方程组求解．（2）设购买A设备x台，根据资金限制和数量关系列出不等式组求解购买方案．（3）根据补贴后费用相同列出等式，找出p与q的关系．
【解答】（1）设A设备每台进价为x万元，B设备每台进价为y万元．则有方程组2x+3y=4203x+2y=480，将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，得到4x+6y=8409x+6y=1440，两式相减得5x ＝ 600，解得x ＝ 120，把x ＝ 120代入2x+3y ＝ 420，得2×120+3y ＝ 420，3y ＝ 180，y ＝ 60．所以A设备每台进价120万元，B设备每台进价60万元．（2）设购买A设备x台，则购买B设备（60﹣x）台．由题意得120x+60(60−x)≤4000x≥0.7(60−x)，解第一个不等式：120x+3600﹣60x≤4000，60x≤400，x≤20/3；解第二个不等式：x≥42﹣0.7x，1.7x≥42，x≥420/17．因为x为整数，所以x可以取25、26，共2种购买方案．（3）设补贴后总费用为W万元，W ＝ （120﹣p）x+（60﹣q）（60﹣x） ＝ （120﹣p）x+3600﹣60x﹣60q+qx ＝ （60﹣p+q）x+3600﹣60q．因为（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，所以60﹣p+q ＝ 0，即p﹣q ＝ 60．
【点评】本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及补贴费用问题，需要学生具备较强的分析和计算能力，注意对条件的准确理解和运用．
25．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝ 105 °．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 75或255 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）
【分析】（1）在△CEN中，依据三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（3）当CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；当CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可．
【解答】解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，
∴∠CEN＝105°．
故答案为：105°．
（2）∵OD平分∠MON，
∴∠DON=12∠MON=12×90°＝45°，
∴∠DON＝∠D＝45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；．
（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFD＝∠M＝60°，
在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，
＝180°﹣45°﹣60°，
＝75°，
当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO＝∠M＝60°，
在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴旋转角为75°+180°＝255°，
综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．
故答案为：75或255．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/22 11:05:44；用户：刘亚；邮箱：13473813351；学号：39630194构造和差对偶式解决复杂代数问题
对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如ax+by和ax﹣by的和差对偶形式、具体探究如下：
探究：例题：已知a+b＝10，求a2﹣b2+20b+8的值．
解：我们从a+b＝10这个式子的结构出发，构造a＝5+m，b＝5﹣m（m为实数）的对偶式．
a2﹣b2+20b+8
＝（5+m）2﹣（5﹣m）2+20×（5﹣m）+8
＝25+10m+m2﹣（25﹣10m+m2）+100﹣20m+8
＝25+10m+m2﹣25+10m﹣m2+100﹣20m+8
＝108．
应用：…
构造和差对偶式解决复杂代数问题
对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如ax+by和ax﹣by的和差对偶形式、具体探究如下：
探究：例题：已知a+b＝10，求a2﹣b2+20b+8的值．
解：我们从a+b＝10这个式子的结构出发，构造a＝5+m，b＝5﹣m（m为实数）的对偶式．
a2﹣b2+20b+8
＝（5+m）2﹣（5﹣m）2+20×（5﹣m）+8
＝25+10m+m2﹣（25﹣10m+m2）+100﹣20m+8
＝25+10m+m2﹣25+10m﹣m2+100﹣20m+8
＝108．
应用：…