数学八年级上册（2024）第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 等腰三角形优秀课件ppt

这是一份数学八年级上册（2024）第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 等腰三角形优秀课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了建立数学模型，ABAC，你能验证你的结论吗，等腰三角形的判定，∠1∠2，∠B∠C，ADAD，∴ABAC，则∠1∠2，等腰三角形的判定方法等内容，欢迎下载使用。
3.能运用定理和推论进行简单的推理和计算；（重点、难点）
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系?
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
在△ABD 与△ACD 中，
∴ △ABD≌△ACD(AAS).
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
∴ AC = AB ( )，即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
有两个角相等的三角形是等腰三角形.“等角对等边”
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
错，因为两角都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗?
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.∴ AB = AC (等角对等边)．
例2 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E. 求证：△AED 是等腰三角形.
证明：∵AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE = DE (等角对等边).
∴ △AED 是等腰三角形.
例3 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.求证：AB = AD.
证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB =∠DBC. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD =∠DBC. ∴∠ABD =∠ADB. ∴ AB = AD.
方法总结：平分角 + 平行 = 等腰三角形.
例4 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，AE 与 CD 交于点 F，求证：△CEF 是等腰三角形．
证明：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵ CD 是 AB 边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵ AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE.∴ CE＝CF，即△CEF 是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
证明推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°(或∠C = 60°) 呢？
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
例5 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例6 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．证明如下：∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS).∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ 是等边三角形.
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角 等于 60°.
知识点1 等腰三角形的判定1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)A.3个　　B.4个　　C.5个　　D.6个
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为　　　。海里.
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.(1)求证：∠BDF＝∠A；
【证明】∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.又∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED.∴DF∥AC.∴∠BDF＝∠A.
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
【点拨】∵∠A＝45°，∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°.又∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°.∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A.∴△ABC是等腰直角三角形.
【解】△ABC是等腰直角三角形.
知识点2 等边三角形的判定4.下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)A.AB＝BC＝ACB.∠A＝∠B＝∠CC.AB＝AC，∠A＝60°D.∠A＋∠B＝2∠C
5.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AC的长为　　　cm.
【点拨】∵直尺的两条对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.又∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形.∴AC＝BC＝3－1＝2(cm).
6.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数.
【解】∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°，∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°.∴△ACE是等边三角形.∴∠ACE＝60°.
知识点3 含30°角的直角三角形的性质7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝15°，D是AC上一点，连接BD，若∠ADB＝30°，AB＝4，则CD的长为(　　)A.8　　B.7　　C.6　　D.5
【点拨】在含特殊角的条件下求线段长的技巧：在一些特殊角，如15°，30°，60°，120°等的条件下，通常要联想到构造含30°角的直角三角形，然后利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段的长.
8. 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P移动了　　s.