沪科版（2024）八年级上册（2024）第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 等腰三角形优秀课件ppt

这是一份沪科版（2024）八年级上册（2024）第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 等腰三角形优秀课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了再由AC⊥BD，证明方法倍长法，证法1，证明方法截半法，第1题，第2题，第7题，第8题，第10题，第11题等内容，欢迎下载使用。
问题1 如图，将两个含30° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°，
从而△ABD 是一个等边三角形.
含 30° 角的直角三角形的性质
你还能用其他方法证明吗？
证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°．延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．又∵AC⊥BD，
证明2： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60°，BE = BC.∴ △BCE 是等边三角形.∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°.∴ AE = EC. ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　
解析：在 Rt△ABC 中，∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm. 在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是 (　　)A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
注意：运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　) A．3 B．2 C．1.5 D．1
解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E.∵ PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴ PD＝PE＝1.5.
方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形．
例3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由．
理由如下：∵ DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵ DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°，
∴ AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∵ AD 是∠BAC 的平分线，
又∵ DE＝DE，∴△AED≌△BED (ASA).
方法总结：含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质．
想一想：图中 BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例4 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30° ，立柱 BC、DE 要多长？
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
例5 如图，等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20，求 腰上的高.
解：过 C 作 CD⊥BA，交 BA 的延长线于点 D.
∵∠B =∠ACB = 15° (已知)，∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15° + 15° = 30°.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30° 角，利用含 30° 角的直角三角形的性质解决问题.
例6 如图，一艘船从 A 处出发，以每小时 10 海里的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30° 的方向上.如果这艘轮船上午 8∶00 从 A 处出发，10∶00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上.（1）画出礁石 C 的位置；（2）求出 B 处到礁石 C 的距离.
解：(1)如图，以 B 为顶点，向北偏西 60°作角， 这角一边与 AM 交于点 C，则 C 为礁石所在地.
(2)∵ ∠DBC =∠BAC +∠ACB， ∠BAC = 30°， ∠DBC = 60°， ∴ ∠ACB = 30°，即∠BAC =∠ACB， ∴ BC = AB ( 等角对等边)， 即 BC = AB = 10×(10 - 8) = 20 (海里).
答：B 处到礁石 C 的距离为 20 海里.
知识点1 等腰三角形的判定1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)A.3个　　B.4个　　C.5个　　D.6个
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为　　　。海里.
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.(1)求证：∠BDF＝∠A；
【证明】∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.又∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED.∴DF∥AC.∴∠BDF＝∠A.
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
【点拨】∵∠A＝45°，∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°.又∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°.∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A.∴△ABC是等腰直角三角形.
【解】△ABC是等腰直角三角形.
知识点2 等边三角形的判定4.下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)A.AB＝BC＝ACB.∠A＝∠B＝∠CC.AB＝AC，∠A＝60°D.∠A＋∠B＝2∠C
5.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AC的长为　　　cm.
【点拨】∵直尺的两条对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.又∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形.∴AC＝BC＝3－1＝2(cm).
6.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数.
【解】∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°，∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°.∴△ACE是等边三角形.∴∠ACE＝60°.
知识点3 含30°角的直角三角形的性质7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝15°，D是AC上一点，连接BD，若∠ADB＝30°，AB＝4，则CD的长为(　　)A.8　　B.7　　C.6　　D.5
【点拨】在含特殊角的条件下求线段长的技巧：在一些特殊角，如15°，30°，60°，120°等的条件下，通常要联想到构造含30°角的直角三角形，然后利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段的长.
8. 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P移动了　　s.
【点拨】设点P移动t s时，点D落在BC边上，如图所示，AP＝2t cm，BP＝(6－2t) cm.∵△PQD是等边三角形，∴PQ＝PD，∠DPQ＝60°.∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠BPD＝180°－∠APQ－∠DPQ＝180°－90°－60°＝30°.
9. 已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为(　　)A.14°　　B.16°　　C.24°　　D.26°
【点拨】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，AC＝BC.∵PD∥AB，∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，∴∠ADP＝120°，△CDP为等边三角形，∴CP＝DP＝CD，∴AD＝BP.∴△ADP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形.∵∠APC＝104°，∴∠APD＝∠APC－∠CPD＝44°，∠CAP＝180°－∠APC－∠C＝16°，∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°，44°，120°，∴最小内角的大小为16°.
10. ［华师一附中自主招生］如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，若BE＝3，DE＝1，则BC＝　　.
【点拨】如图，延长AD交BC于点N，延长ED交BC于点M，∵∠EBC＝∠BED＝60°，∴EM＝BM，∴△BEM是等边三角形，∴BE＝EM＝3＝BM，∠EMB＝60°.∵DE＝1，∴DM＝3－1＝2.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，
11. 如图，AC＝DC＝3，BD垂直于∠BAC的平分线AD，E为AC的中点，AD与BE交于点O，则图中两个阴影三角形(△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为　　　.
【点拨】如图，延长BD，AC交于点H.∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH.∵AD⊥BH，∴BD＝DH.∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD.
12. ［2025福建］如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G.(1)求∠DCE的大小；
【解】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
(2)求证：△CEG是等边三角形.
【证明】由平移可知，CD∥EF，∴∠EAC＝∠DCA＝30°.又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°.
13. 如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD.(1)求证：△OCD是等边三角形.
【证明】∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC.∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形.
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由.
【解】△AOD是直角三角形.理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°.∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD是直角三角形.
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解】∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°.∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO ＝∠ADC－∠ODC＝α－60°，
∴∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.①当∠AOD＝∠ADO时，190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②当∠AOD＝∠OAD时，190°－α＝50°，∴α＝140°；③当∠ADO＝∠OAD时，α－60°＝50°，∴α＝110°.综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.