初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）4.2 命题与证明优秀ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）4.2 命题与证明优秀ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了举反例，假命题，证实其他命题的正确性，推理的过程叫证明，基本事实或定义，一些条件，反证法，故假设不成立，2与假设矛盾，答案不唯一等内容，欢迎下载使用。
3.掌握反证法证明的基本步骤和格式.
如：0 的绝对值是 0，不是正数.
1. 有理数的绝对值是正数.
判一判：下列命题是真命题还是假命题？
2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b.
如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b.
例1 命题“如果 ab = 0，那么 a = 0”是真命题还是假命题？
解：1×0 = 0，但是 1≠0，因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题.
一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
探究1：如何判断一个命题是假命题呢？
用举反例的方法说明下列命题是假命题.(1) 若 a² = b²，则 a = b；(2) 一个角的余角大于这个角；(3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |；(4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角.
解：(1) (2)2 = (-2)2 = 4，但是 2≠-2，因此“若 a² = b²，则 a = b”是假命题.
(2) 一个角是 60°，它的余角是 30°，但是 30°＜60°，因此“一个角的余角大于这个角”是假命题.
(3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |；(4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角.
(3) |a+b| = |1+(-1)| = |0| = 0，|a| + |b| = |1|+|-1| = 1+1 = 2，但是 0≠2，因此“若a，b是有理数，则 |a+b| = |a|+|b|”是假命题.
(4) 在一个等腰三角形中，两个底角∠A 和∠B相等，比如等腰三角形的两个底角都为 50°，但这两个角并不是对顶角.因此“如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角”是假命题.
探究2：如何判断一个命题是真命题呢?
判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明.
真命题证明的一般过程：
例2 证明：如果实数 a≠0 或实数 b≠0， 那么 a²+b²≠0.
证明：若a≠0，则 a² 为正数.
又 b² 为正数或 0，从而 a² + b² 是正数，因此 a²+b²≠0.同理可得，若b≠0，则 a²+b²≠0.
例3 证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
分析：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论.
证明：假设△ABC 的三个内角中没有一个角大于或等于 60°，
则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
从而∠A +∠B +∠C＜60° + 60° + 60°＝180°.
这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾，
因此，△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
像上例这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法.
反证法基本步骤：(1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论.
应用反证法的情形：(1) 直接证明困难；(2) 需分成很多类进行讨论；(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题； (4) 结论为“唯一”类命题.
用反证法证明时，导出矛盾的几种可能：
（1）与原命题的条件矛盾；
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（4）与客观事实矛盾.
1. 能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是( )
A. B. C. D.
2.判断下列各命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一个反例．(1)若a2>1，则a>1；
【解】假命题．当a＝－2时，满足a2＞1，但a＜1(举反例不唯一)．
(2)锐角小于它的余角；(3)如果AB＝2BC，那么点C是AB的中点．
【解】假命题.45°的余角为45°，但45°＝45°(举反例不唯一)．
【解】假命题．当点C在AB的延长线上，且AB＝2BC时，点C不是AB的中点(举反例不唯一)．
3．完成下面的推理填空：已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G.求证：AB∥CD.证明：因为AF⊥CE(已知)，所以∠CGF＝90°(垂直的定义)．因为∠1＝∠D(已知)，所以______∥______(______________________________)，
同位角相等，两直线平行
所以∠4＝∠CGF(__________________________)，所以∠4＝90°.又因为∠2＋∠3＋∠4＝180°，所以∠2＋∠3＝________°.又因为∠2与∠C互余(已知)，所以∠C＝∠3(同角的余角相等)，所以AB∥CD(____________________________)．
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
4．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是(　　)A．三角形中最少有一个角是直角或钝角B．三角形中没有一个角是直角或钝角C．三个角全是直角或钝角D．三角形中有两个(或三个)角是直角或钝角
5.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
6．[北京市中考]能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组数a，b的值为a＝________，b＝_________________.
7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线_____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线_____________，一对内错角的平分线_______________，一对同旁内角的平分线_______________；
共线(或在一条直线上)
【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性；
【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的．
因为OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是一对对顶角，所以根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的．