专题07 一次函数与几何图形综合12大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版+答案

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题型一 一次函数几何动点动态问题
【典例1】（24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（ ）
A．12B．C．D．10
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理，读懂函数图象是解题关键．
结合图象求出，利用线段中点的性质得出，再结合图象得出，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：结合图象②可知，点，
当时，，
此时，，
∵点D是的中点，
∴，
由图②可知，，
在中，由勾股定理得，
，
故选：B．
【变式1】（24-25八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在长方形中，，，E为边上一点，且，动点从点出发，沿路径运动，则三角形的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题函数图象．求出的长，然后分三种情况讨论：①点P在上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式；②点P在上运动时，根据式整理得到y与x的关系式；③点P在上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系，根据解析式即可得到函数的图象．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
当点P在上运动，即时，，
，
∴；
当点P在上运动，即时，
，，
∴
，
∴；
当点P在上运动，即时，，
，
∴，
∴；
综上所述， 的面积与点经过的路径长之间的函数关系式为，
∴当时，；
当时，；
当时，．
∴选项D的图象符合题意．
故选：D．
【变式2】（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，正方形中，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，到A点停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间函数图象如右图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．正方形的边长为8
B．当时，
C．当时，
D．点P运动的路程越大，的面积越大
【答案】C
【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据点P在不同位置上时，边上的高的变化情况得到面积的变化情况是解决本题的关键．结合函数图象的拐点横坐标可知正方形的边长，当和时，只要找到对应图象上的两点坐标，利用待定系数法求出解析式即可判断正误，点P运动的路程越大即表示x越大，的面积即为y的情况，通过图形可知不是一直在增大的．
【详解】解：结合函数图象的两个拐点位置可知正方形的边长为4，故A选项错误；
如图，当时，图象经过和，
设直线的解析式为，
把代入，得，解得，
所以当时，，故B选项错误；
当时，图象经过和，
设直线的解析式为，
把和代入，得解得
所以直线的解析式为，故C选项正确；
根据函数图象可知，点P运动的路程越大，的面积是先增大，后不变，最后变小，故D选项错误．
故选：C．
【变式3】（2025·河南南阳·二模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（ ）
A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处
B．线段的长度为10
C．a的值为5
D．点D的坐标为
【答案】D
【分析】根据图象可知，，进而得到，设，勾股定理求出的值，进而求出的值，再进行判断即可．
【详解】解：∵点E的坐标为，
∴，此时点与点重合，
∴，
∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，且两个点同时出发，同时停止，
∴点的路程是点的2倍，
∴，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴当点运动到点时，点运动的路程为10，此时，
的面积最大为，
故点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处，，；
综上，只有选项D错误．
题型二 割补法求一次函数背景下的不规则图形面积
【典例2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形．
解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为．
由图形可知：．
整理得
．
故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中．
(1)【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求：
①的面积；
②的长．
(2)【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求：
①点和点的坐标．
②点到轴的距离．
【答案】(1)①7 ②
(2)①点，点 ②
【分析】此题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）①根据正方形网格的特点，分别求出，，，，进而根据可得出答案；
②由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求出的长；
（2）①对于，当时，，当时，，由此可得点和点的坐标；
②过点作轴于，由①得，，则，由三角形的面积公式可求出，再由勾股定理求出，然后再由三角形的面积公式即可求出的长．
【详解】（1）解：①如图2所示：
依题意得：四边形为正方形，且，
，
又，，，
，
，
，
，
②在中，由勾股定理得：，
是的边上的高，
，
；
（2）①对于，
当时，，
当时，，，
点，点；
由①可知：，，
在中，由勾股定理得：，
，垂足为，
，
，
在中，由勾股定理得：，
轴于，
，
，
．
【变式1】（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)求的面积；
(4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)5
(4)和
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）分别求解即可；
（2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可；
（3）先求出的长，再根据求解即可；
（4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当时，，即；
当时，，即．
（2）解：∵直线经过点，
，
，
设直线的解析式为，
∴，即，
∴直线的解析式为．
（3）解：∵，，
∴，
∴．
（4）解：∵直线的解析式为．
∴，
∴，
∴，
∴；
①如图，当点P在点D的上方，
设点P的坐标为，
∵，
∴，解得：，
∴；
②如图，当点P在点D的下方，
设点P的坐标为，
∵，
∴，解得：，
∴．
综上，点P的坐标为和．
【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接．
(1)方程组的解是________；
(2)求的面积；
(3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)10
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键．
（1）根据直线与直线的交点坐标即可得；
（2）设直线与轴的交点为点，先利用待定系数法求出，再分别求出点的坐标，然后根据的面积等于求解即可得；
（3）设直线与轴的交点为点，先求出点的坐标，从而可得，再根据的面积等于建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：方程组可转化为，
所以这个方程组的解为直线与直线的交点的横坐标、纵坐标，
即方程组的解是，
故答案为：．
（2）解：如图，设直线与轴的交点为点，
将点代入得：，解得，
∴，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，
∵，
∴的边上的高为，
∴的面积为．
（3）解：如图，设直线与轴的交点为点，
由（2）已得：，
当时，，解得，即，
设点的坐标为，则，
∵，，
∴的边上的高为，的边上的高为，
∵的面积与的面积相等，且的面积为10，
∴，
解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去），
所以点得坐标为．
【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为．
(1)求，两点的坐标；
(2)若的面积等于面积的一半，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）分别令、，求出对应的、，即可求解；
（2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，
当时，；当时，，
∴，；
（2）∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，
∴，
∵在射线上取点，使，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
，
∵的面积等于面积的一半，即，
∴，
∴，
∴，
当时，解得：；
当时，解得：；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题是一次函数综合运用，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形，三角形的面积等知识点，利用方程的思想解决问题是解题的关键．
题型三 已知面积反求一次函数解析式/坐标
【典例3】（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________．
【答案】或．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，关键是计算出的值，注意有两个值，不要漏解．
根据图象经过点，得出，再根据的面积为2，得出，进而算出的值，再计算出，然后把的值代入，即可得到的值，写出函数解析式即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴的交点是，
∴，
即，
∴，，
将，分别代入，
得，，
∴一次函数的表达式是或．
【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线与轴、轴分别交于点，．
（1）直线一定经过的点的坐标为______；
（2）若直线将的面积分为两部分，则的值为______．
【答案】 或－
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）通过重新整理直线方程，提取参数a，发现当时y恒为3，然后问题可求解；
（2）先求的面积，再根据直线与坐标轴的交点位置分两种情况讨论，利用三角形面积公式列出方程求解a的值．
【详解】解：（1）直线方程可化为，
当时，，与a的取值无关，
∴该函数一定经过点；
故答案为；
（2）令时，则有，解得：，
∴，
令时，则有，即，
∴，
∴的面积为，
当时，，
∴直线与直线交于点，
情况一：直线与x轴交于点A在线段上，如图所示：
当时，则有，即；当时，则有，即；
∴当直线与x轴交于点A在线段上时，则a的取值范围为或，
令时，则有，解得：，
∴点A坐标为，即，
∴，
∴，
∵直线将的面积分为两部分，
∴或，
∴或，
解得：或（不符合题意，舍去）；
情况二：直线与y轴交于点B在线段上，如图所示：
同理可得此时，
由可知：与y轴的交点B坐标为，
∴，
∴，
∴或，
解得：或（不符合题意，舍去）；
综上，a的值为或－．
【变式2】（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．
(1)求点坐标；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)12
(3)的坐标为或．
【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标；
（2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积．
（3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标．
【详解】（1）解：由直线可知：令，则，
∴；
（2）解：，
∴点与轴的距离是4，
∵，
的面积；
（3）解：存在；
∵直线，
∴，，
，
，
，
当点在延长线上时设，
，
，
，
的横坐标为或10(舍去），
代入直线得，，
的坐标为，
当点在线段延长线上时，设，
，
，
，
的横坐标为（舍去）或2，
代入直线得，，
的坐标为．
综上所述：的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想．
【变式3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将直线沿轴向右平移个单位长度交轴于点，交轴于点．
(1)求三角形的面积；
(2)如图1，若，求的值；
(3)如图2，当时，过点作轴的平行线交直线于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿射线运动，设运动时间为秒，连接交轴于点，若三角形的面积不大于三角形的面积的一半，求的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】（1）由可得，，故，用三角形面积公式得三角形的面积为6；
（2）用待定系数法求出直线AB解析式为，则平移后的解析式为， 把代入计算即可；
（3）先证明，得到，则，，，再根据三角形的面积不大于三角形的面积的一半，得到，解得，最后根据当在左侧或右侧分情况讨论，结合求出和直线解析式，再得点坐标，求出，根据计算即可．
【详解】（1）解：∵，满足，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∴三角形的面积为6；
（2）解：设直线解析式为，
把，代入得：，
解得，
∴直线解析式为，
∴将直线沿轴向右平移个单位长度后解析式为，
当时，，
把代入得，
解得；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵三角形的面积不大于三角形的面积的一半，
∴，
解得，
当在左侧，且时，
∵，
∴，
由，得直线解析式为，
令得，
∴；
此时，
∴（秒）；
当在右侧，且时，
∵，
∴，
由，得直线解析式为，
令得，
∴；
此时，
∴（秒）；
∴三角形的面积不大于三角形的面积的一半，t的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平移变换，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
题型四 一次函数与等腰三角形存在性问题
【典例4】（23-24八年级下·北京密云·期末）已知一次函数与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点，点的坐标；
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点的坐标．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形性质和勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解决问题的关键．
（1）按照求一次函数与坐标轴的交点解法解答即可得到答案；
（2）画出图形，由等腰三角形性质及勾股定理求解即可写出点的坐标．
【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，与轴交于点，
令，得，则；令，得，则；
∴；
（2）解：根据题意，作出等腰，如图所示：
当时，点与点关于轴对称，即；
在中，由勾股定理可知，
当时，分两种情况：
当点在轴负半轴上时，则，即；
当点在轴正半轴上时，则，即；
综上所述，点的坐标为或或．
【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，点为轴上一个动点．
(1)求直线的解析式；
(2)当最小时，直接写出点的坐标：__________；
(3)若以点，，为顶点的三角形为等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为
(2)
(3)点E的坐标为、或
【分析】本题属于一次函数综合题，结合几何与函数是解题的关键．
（1）结合直线，先求出点的坐标，再结合点，利用待定系数法求解直线的解析式；
（2）路径最短问题，利用轴对称将折现转化为线段，作出关于轴的对称点，解出直线的函数表达式，求该表达式与轴的交点即可；
（3）等腰三角形存在问题，分类讨论，利用两点之间的长度公式进行解题，列出对应方程并求解．
【详解】（1）解：∵点在直线：上，
∴当时，，即，解得，
故点的坐标为，
将点、代入直线：，
得，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，
则点的坐标为，
连接，与轴相交于点，此时最小，
假设直线的函数表达式为，
将点、代入，
得，解得，
直线的解析式为
当时，，解得，
∴与轴的交点为，
故点的坐标为 ．
（3）解：
以为腰时，，
∵，故，点在轴上，故不存在，
当时，假设点的坐标为，
则，
化简该方程得，解得、，
以为底时，即=，结合点
得，
故可得方程，解得，
综上，点E的坐标为、或
【变式2】（24-25八年级下·福建宁德·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与直线：相交于点．
(1)直接写出直线的表达式 ；
(2)若，直接写出x的取值范围 ；
(3)直线与y轴交于点M，在x轴上存在点P，使得是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标 ．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
（1）将点代入，确定点B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可；
（2）根据交点坐标的意义，结合图象解答即可；
（3）分为：及三种情形讨论得出结果．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
故
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴．
（2）解：根据题意，得图象交点为，
∵，
∴．
（3）解：根据题意，得，
故，，
同理可得，；
故；
当时，得到，此时，
当时，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
当时，设，则，，
根据勾股定理，得，
解得，
∴，
综上所述：点P的坐标为或或或．
题型五 一次函数与等腰直角三角形存在性问题
【典例5】（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为__________.
【答案】，或
【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征及等腰三角形的性质.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.
对点的位置及直角顶点进行分类讨论即可.
【详解】解：由题知，设点，
当，且点在点A左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点A右侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点A左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
综上所述，点的坐标为，或.
故答案为：，或.
【变式1】（2022八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结．
(1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式．
(2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标．
(3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)6，
【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、与等腰直角三角形有关的全等问题，构造“一线三垂直”型全等是解题关键.
（1）作轴于轴于，证得即可求解；
（2）由的面积为可得，分类讨论当点的横坐标小于3时，当点的坐标大于3时，两种情况即可求解；
（3）分类讨论①当时，②当时，③当时，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：如图，作轴于轴于，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，将代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解： 的面积为，
，即，
，
当点的横坐标小于3时，
分别过点作直线的垂线，垂足分别为，
同理可证，
点的横坐标为，
，
，
点的坐标为，
，解得，
；
当点的坐标大于3时，如图，
同理可得，点的坐标为，
，解得，
点的坐标为：．
（3）解：①当时，由（2）可知与重合，
点的坐标为或，
当点落在直线上时，或，解得：或（舍去）；
②当时，过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点，
同理可证明，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
当点落在直线上时，，
解得：；
③当时，如图，
设点的坐标为，
则，
，
显然，故此时不成立；
综上可知， 或．
【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标：_____；
(2)点为轴上一动点，且使得周长最小，则点的坐标为_____；
(3)点是直线上方第二象限内的动点，当为以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，三角形全等的判定和性质，平面直角坐标系中的点，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，作出对应点的位置．
（1）作出点、、三个顶点的对称点、、，然后顺次连接，最后根据平面直角坐标系写出点关于轴的对称点的坐标即可；
（2）连接，先求出的解析式，从而求出点；
（3）分两种情况：当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，作出点、、三个顶点的对称点、、，顺次连接，则即为所求；
点关于轴的对称点的坐标为；
故答案为：；
（2）解：连接交y轴于点P，则点即为所求．
∵点关于轴的对称点，
∴，
∴，
∴当、、在同一直线上时，最小，
∴此时最小，
∴此时的周长最小，
设直线为：，把，代入得
解得
∴直线为：，
当时，得，
∴．
故答案为：；
（3）解：当点C为直角顶点时，过点C作轴，过点Q作于点D，过点B作于点E，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴此时点Q的坐标为；
当点B为直角顶点时，过点B作轴，过点Q作于点D，过点C作于点E，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴此时点Q的坐标为；
综上分析可知：点Q的坐标为或．
题型六 一次函数与直角三角形存在性问题
【典例6】（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求的值；
(2)当为直角三角形时，求直线的表达式．
【答案】(1)12
(2)
【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，点的坐标，熟练掌握角三角形的性质，点的坐标，以及待定系数法求出一次函数的表达式是解决问题的关键．
（1）依题意得点在轴的正半轴上，，再由勾股定理得，由此可得出的值；
（2）根据点在轴的正半轴上得，因此当为直角三角形时，只有，由勾股定理得，则，由此解出，进而得点，然后利用待定系数法求出直线的表达式即可．
【详解】（1）解：∵点，点，点，
∴点在轴的正半轴上，，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）解：∵点在轴的正半轴上，
，
∴当为直角三角形时，只有，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知：，
，
解得：（不合题意，舍去），
，
设直线的表达式为：，
将点，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：．
【变式1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数的图象经过点和点．
(1)用含k的代数式表示m．
(2)若，求k的取值范围．
(3)已知，C为x轴上一点．当为直角三角形时，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题为一次函数综合题，涉及到直角三角形的性质、解不等式等，分类求解是解题的关键．
（1）把和代入计算即可；
（2）由结合（1）中结论列不等式求解即可；
（3）由为直角三角形结合勾股定理列方程计算即可．
【详解】（1）解：把和代入得：，
整理得：，；
（2）
解：∵，
∴，
∴；
（3）
解：当时，，
设，
∵，
∴，，，
当为斜边时，，则，解得
则（与重合舍去）或，即点；
当为斜边时，，则，解得
则，即点；
当为斜边时，，则，解得
则（与重合舍去）；
综上，或．
【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上．
(1)求m，n的值；
(2)已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)，；
(2)或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质以及勾股定理，分及两种情况，求出点M的坐标是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线l的解析式及点A，P的坐标，分及两种情况考虑：①当时，轴，结合点P的坐标可得出点M的坐标；②当时，设点M的坐标为，利用勾股定理，可求出a的值，进而可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵直线交y轴于点，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为．
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为；
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
即，；
（2）分两种情况考虑：
①当时，轴，
∴点M的坐标为；
②当时，设点M的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为．
综上所述，点M的坐标为或．
题型七 一次函数与平行四边形存在性问题
【典例7】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，直线与坐标轴交于两点．
(1)求的面积；
(2)点为平面内一点，以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合要求的点的坐标．
【答案】(1)12
(2)点P的坐标为
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）分别求出、点坐标，再求的面积即可；
（2）设，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
的面积；
（2）解：设，
当为对角线时，，，
；
当为对角线时，，，
；
当为对角线时，，，
；
综上所述：点坐标为或或．
【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，若，点为轴上一点，且点的坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)点为轴上一个动点，点为直线上一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点坐标为或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）首先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，，分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
设直线的解析式为，
将、点代入，
，
解得，
；
（2）解：设，，
当为平行四边形的对角线时，如下图：
，
，由平行四边形的性质得：和互相平分
∴，，
解得，，
；
当为平行四边形的对角线时，如下图：
同理可得，，，
解得，，
；
综上所述：点坐标为或．
【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、．
(1)点坐标为________，点坐标为________；
(2)求直线的表达式；
(3)若的面积为4，求点坐标；
(4)在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标；
（2）根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定法可以计算出直线的解析式；
（3）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可；
（4）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可．
【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
时，，
点，
当时，，
，
，
故答案为：，；
（2）解∶∵点，
，
∵点C为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式：，
将点，点代入直线解析式
得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为；
（3）解：设点，
， ，
的面积，
， ，
的面积，
的面积，
的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
，
解得，
，
∴点E坐标为 ；
（4）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴设点，点，
①当四边形以， 为对角线时，
∵点，，
∴，
解得，
，
∴点；
②当四边形以， 为对角线，
∵点，，
，
解得，
，
∴点，
③当四边形以， 为对角线，
，
解得，
，
∴点，
综上，满足条件的点Q坐标为或或；
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，图象上点的坐标特征，三角形的面积，平行四边形的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
题型八 一次函数与特殊四边形
【典例8】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点，一次函数的图象与y轴交于点D、与边交于E，并且平分矩形的周长．
(1)_______，_______；
(2)点P是一次函数图象上一动点，且点P在第二象限，点Q是x轴上一个动点，点T是平面内一点，若以B、P、Q、T为顶点的四边形是正方形，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。
（1）根据解析的性质可得；再求出，，则，，再根据直线平分矩形的周长可得，解方程可得，则可得到，据此利用两点距离计算公式求解即可；
（2）分为两种情况讨论，当四边形是正方利时和当四边形是正方形时，用一线三直角证明三角形全等，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵直线平分矩形的周长，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：分两种情形：
①如图，当四边形是正方形时，过点作于，
四边形是正方形，
，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
，
，，
∵，
∴轴
点的横坐标是，
将代入得：，
点的坐标是；
②如图，当四边形是正方形时，过点作轴于．
四边形是正方形，
，，
∵，
∴，
∴
，
，．
设，则，
∴，
点的坐标是，
，
，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或．
【变式1】（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E．
(1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ；
(2)当四边形为平行四边形时，求b的值；
(3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，或0或
【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解；
（2）四边形为平行四边形时，，即可求解；
（3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、，
直线，令，则，当时，，
故点、的坐标分别为：；；
（2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；；
点、的坐标分别为：、；
则，，
四边形为平行四边形时，则，即，
解得：；
（3）①当是菱形的边时，
点对应的点为：或，
在菱形中，，即，
解得：，
当时，点，不在边上，故该值舍去，
故；
当四边形为菱形时；
同理可得：；
②当是菱形的对角线时，
则，即，
解得：，
综上：或0或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，且，．点为的中点，连接，为的平分线，交于点．
(1)求点B和点E的坐标；
(2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点，
①连接，若，请求出点P的坐标；
②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)P；存在，P
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到的坐标，再由角平分线以及平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标；
（2）利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可；
（3）要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查了待定系数法求一次函数、一次函数上点的坐标特征、矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
【详解】（1）解： 四边形为矩形，
，，，，
，
，，
，，
，
为的平分线，
，
，
，
为中点，
，
，
由勾股定理可得，
，
．
（2）解：①四边形为矩形，点为的中点，
，
，
延长，交轴于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，．
②存在，
点是射线上的动点，
设，
，，
，
，
，
要使四边形是矩形，则为直角三角形，，
，即，
解得，
，．
题型九 一次函数与将军饮马最值问题
【典例9】（23-24八年级下·山东济南·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小．
解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且．
【模型应用】
问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点．
（1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标；
（2）请直接写出的最小值．
【模型迁移】
问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值．
【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：．
【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可．
问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解；
（2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解；
问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解．
【详解】问题1：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是BE长度，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
故答案为：；
问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，
∵点．
∴，
设直线的解析式为，
∵点，点．
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标；
（2）的最小值；
问题3：如图5，过A作，交于P，连接，
此时线段最小，且，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
即：
∴的最小值是．
【点睛】本题考查了轴对称最短问题，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式1】（22-23八年级下·江苏盐城·阶段检测）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”．
【问题描述】
如图，在直线上找一点使得最小？
【问题解决】
作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短）
【应用模型】
（1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？
（2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？
（3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？
【拓展延伸】
如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________．
【答案】（） ；（） ；（） ；【拓展延伸】:．
【分析】（）作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，，求出直线的解析式为，联立求解即可；
（）点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小，要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于，设，则，利用相似三角形的判定与性质即可求解；
（）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，由勾股定理和两点之间线段最短即可求解；
【拓展延伸】：直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为，由勾股定理即可求解．
【详解】（）∵在中，，，
∴，，
∵，点为的中点，
∴，，
∴，，
作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，，
∵直线经过点，
∴直线的解析式为,
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
联立，解得，
∴；
（）解：点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小，
∴，，，
∴要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于，
设，则，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得：，
∴，
故点的坐标为：，
故答案为：；
（）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为；
【拓展延伸】：如图所示，
直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为，
∵，，
∴最小（垂线段最短），
∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称——最短问题，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形度角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式2】（24-25八年级下·河南新乡·期末）【问题导入】如图①，在直线上找一点，如何使得最小？
小华同学的思路：作点关于直线的对称点，连接，与直线交于点．由对称可得，所以，当、、三点共线的时候，，此时最小．
如图②，在直线上找一点，如何使得最大？
小明同学的思路：作点关于直线的对称点，连接并延长交直线交于点．由对称可得，所以，当、、三点共线的时候，，此时最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线上有点、，点在轴上运动，点在直线下方的轴上运动．
①当最小时，求点的坐标；
②当最大时，求点的坐标．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足，当的值最大时，若点、分别是线段、上的动点，且，连接、，当最小时，求点的坐标．
【答案】（1）①②；（2）．
【分析】（1）①把代入，求出，再把代入解析式，求出的值，作点B关于x轴对称点，连接，则与轴的交点即为点，求出的解析式，令，求出点的坐标即可；
②由①可得的最小值，作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长，求出点坐标，进行求解即可；
（2），得到当最大，最小时，t有最大值，过点P，作，，连，证明，得到，进而得到，得到当在线段上时，的值最小，求出的解析式，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：（1）①将点代入，得，
∴
将点代入，得；
故，；
作点B关于x轴对称点，连接，
则与轴的交点即为点，
此时的值最小为的长，
∵，
∴设直线的解析式为，
则：，
解得：
∴，
令，则，
解得，
∴；
②作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长，
设的解析式为
把，分别代入
得
解得
∴
令，则，
∴，
（2）依题意，，
当最大，最小时，t有最大值，且，
∵，
∴，
∴；
过点P作，使得，连，

则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
把，分别代入，
得，
解得，
∴，
令，则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握将军饮马是解题的关键．
题型十 一次函数与折叠、对称变换综合
【典例10】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式．
小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；
小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式．
在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究：
【解决问题】
（1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为
（2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线；
【拓展应用】
（3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式．
【答案】（1）；（2），下，6；（3）
【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，轴对称，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点．
（1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解；
（2）平移后的直线的解析式的不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移 3 个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得，也就求得了所求的直线解析式；
（3）根据上述方式在直线上找两点，求出其关于y轴对称的坐标，再根据待定系数法直线解析式即可．
【详解】解：（1）点向上平移 3 个单位后的点的坐标为，
设平移后的直线解析式为，
代入得，则，
所以过点的直线的解析式为；
故答案为：；
（2）可设平移后的直线解析式为，
∵原直线经过点，
∴点向左平移 3 个单位后点，
代入新直线解析式得：，
，
∴平移后直线的解析式为：，
由（1）可知，另外直接将直线向下平移 6 个单位也能得到直线；
故答案为：，下，6；
（3）当时，，直线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，直线与轴的交点坐标为，
点关于轴的对应点的坐标分别为，
把分别代入得，
解得，
∴直线的表达式为．
【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．

(1)点的坐标为_____；点的坐标为_____；
(2)求，的值；
(3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，矩形的性质，坐标与图形，函数解析式的确定等，理解题意，根据题意作出相应图象求解是解题关键．
（1）根据的坐标即可求得的坐标，根据函数图象可知：当时，直线经过点，将平移个单位后得到，令，即可得出的坐标，进而求得的坐标，即可求解．
（2）先求得的坐标为，则，即可得出，当直线经过点时，直线交轴于点，进而求得平移后的直线的解析式为，得出点的坐标为，即可得出
（3）过点作，过点作．得直线的解析式为，进而求得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵点坐标为，四边形是矩形，边在轴上，
∴，则，
由函数图象可知：当时，直线经过点，
沿轴的负方向平移个单位后与矩形相交于点，
∵沿x轴的负方向平移个单位后直线的解析式是：，
∴当时，，
∴点的坐标为．
∵，
∴；
故答案为：，．
（2）解：令得：，
解得：，
∴点的坐标为．
∵点的坐标为．
∴，
∴当直线经过点时，；
如图所示，当直线经过点时，直线交轴于点．
∵点的坐标为，点的坐标为．
设平移后的的解析式为，
将代入得：，解得．
∴平移后的直线的解析式为．
当时，得，解得．
∴点的坐标为．
∴；
（3）∵矩形的面积；
∴当直线扫过矩形部分的面积为时，，
如图，过点作．
设直线的解析式为，
将点的坐标代入得：，
∴，
∴直线的解析式为．
将代入得：，解得，
∴点的坐标为．
∴，
∴；
即，
解得：．
【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．
(1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点F的坐标；
(2)如图②，点D是中点，点E在上，求的最小值；
(3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边上的点为，折痕为，点M在边上，求直线的函数解析式．
【答案】(1)
(2)15
(3)
【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得解出可解答；
（2）作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答；
（3）过作轴于，设，根据勾股定理列方程得求得点，然后利用待定系数法求得的解析式．
【详解】（1）解：由折叠得：，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
；
（2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即，
过作轴于，
，
是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值是15；
（3）解：如图③，过作轴于，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
．
设的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
的解析式为．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．
【变式3】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．
(1)求a的值；
(2)求直线的解析式；
(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可；
（2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可．
（3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）设，
根据折叠的性质，得，，
由（1）得，
∵，
∴，
解得，
故，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为．
（3）由（1）得：，
∴直线与直线的交点在直线的左侧，
如图所示：
当时，，
∴，
∵直线与直线的交点在直线的左侧，
∴直线经过点N时恰好是临界点，
∴，
解得：，
∴t的取值范围为．
题型十一 一次函数与网格几何综合
【典例11】（24-25八年级下·福建莆田·期末）根据以下思考，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：40
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解二元一次方程组，解一元一次不等式，正方形的判定，勾股定理及其逆定理，正确理解题意是解题的关键．
任务1：根据题意画出满足题意的正方形和正方形，根据得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案；
任务2：根据任务1所求可得，则S随b的增大而增大，再求出该多边形外部的格点数为个，据此列出不等式求出b的范围即可得到答案．
【详解】解：任务1：如图，在正方形的内部有4个格点，在正方形的边上有12个格点，且其面积为
如图，在正方形的内部有4个格点，在正方形的边上有4个格点，且其面积为，
∴ ，
解得，
∴；
任务2：∵该多边形内部有18个格点，
∴，
∴，
∴S随b的增大而增大，
∵共110个格点，
∴该多边形外部的格点数为个，
∵格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，
∴，
∴，
∴当时， 有最大值，最大值为．
【变式1】（24-25八年级下·上海浦东新·期中）解决以下问题：
(1)借助网格，用无刻度直尺作；
(2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且．
①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标；
②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)①；②或．
【分析】（1）以为直角顶点，构造等腰直角三角形即可；
（2）①根据，得到，进而求出点坐标即可；
②以为直角顶点，构造等腰直角三角形，进而求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由图易得，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把，代入，得，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴；
②以为直角顶点，在直线的下方构造等腰直角三角形，如图，过点作轴，作于点，作于点，则，，
∴，，
∴点在射线上，，
∴，
由①知：，
∴，
∴，即，
同①法可得：直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
以为直角顶点，在直线的上方构造等腰直角三角形，如图，作轴，轴，
同法可得，直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
综上：或．
【变式2】（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．
(1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”．
(3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，
【分析】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识．
（1）分别作，，垂足为E，F，利用证明，得到即可证明直线是点A、B的一条等距线；
（2）根据两点等距线的定义作图，连接中点与组成的直线或者过作的平行线即可；
（3）由可得A、B两点到直线的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标．
【详解】（1）证明：分别过A，B两点作，垂足分别为E，F．
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
即直线是点A，B的一条等距线；
（2）如图，直线就是所有的直线，
（3）设直线的解析式为，
，
∴解得：
∴直线的解析式为．
，
两点到直线的距离相等，
∴或过中点，
如图，当时，可设直线的解析式为，代入得，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与坐标轴的交点为；
②当直线过中点时，
，
∴中点E的坐标为，
∴设直线的函数解析式为，
代入，得，解得：，
∴直线的函数解析式为，
∴直线与坐标轴的交点为．
综上所述，满足条件的点P的坐标为．
题型十二 一次函数与全等三角形综合
【典例12】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，．
(1)如图1，求点A点坐标；
(2)如图2，直线交x轴负半轴于C，点，交线段于D，点D的横坐标为t，的面积是S，用含t的式子表示S．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点E在线段上，连接并延长至F，连接并延长，交x轴于点G，时，求G点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）可利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长度，进而得到点A坐标．
（2）先确定的长度，再根据点D的横坐标t，结合直线的解析式求出点D的纵坐标，最后利用三角形面积公式构建关于t的表达式．
（3）因为已知S的值，所以先代入（2）的表达式求出t的值，确定点D坐标，进而得到直线的解析式；因为、，所以可通过构造全等三角形，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，再根据全等性质得到线段长度，从而求出点G坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）解：设直线的解析式为，
代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵，
∴，
点横坐标为，则的纵坐标，这是中边上的高．
∴．
（3）解：当时，代入得，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
又∵直线过点，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
如图，过点E作，过点B作射线交x轴于点M，且，过点G作于点，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
∴G点坐标为．
【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：．
【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D．
①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
②求直线的函数表达式．
【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．
【答案】【模型呈现】证明见解析
【模型应用】①，；②
【模型迁移】点Q的坐标为或
【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质；
【模型呈现】利用证明即可
【模型应用】过C作轴于K，求出，，得到，，同理，所以，，即得，然后利用待定系数法解答即可；
【模型迁移】过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况，结合模型呈现，利用全等三角形对应边相等列方程组即可求解．
【详解】【模型呈现】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【模型应用】①过C作轴于K，如图2：
一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，即，解得：，
当时，即，
∴，，
∴，，
由【模型呈现】可得：，
∴，，
∴，
∴，
②设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为．
【模型迁移】如图，过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况：
①如图，当在点左侧时，
∵点是点C关于y轴的对称点，
∴，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
由【模型呈现】可得，
∴，
∴，解得：，
∴，
②如图，当在右侧时，
，解得：，
∴，
综上：点Q的坐标为或．
【变式2】（25-26八年级上·甘肃白银·期末）如图1，直线与轴、轴分别交于，两点，是的中点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若是轴正半轴上一点，过点作于点，且，依题意补全图1，并求点的坐标；
(3)如图2，若是上一点，且，连接，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)直线的函数表达式为；
(2)；
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质．
（1）求出，设直线的函数表达式为，解方程组得到直线的函数表达式为；
（2）如图，即为所画的线段，过点D作轴于点H，则，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，解方程得到，于是得到；
（3）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，由（1）得，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由，令，得；令，得，
∴，
∵C是的中点，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图，即为所画的线段，
过点D作轴于点H，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由，令，得；
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
证明：在上截取，连接．
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
期末重难突破练（测试时间：20分钟）
1．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动．到达点停止运动，设点的运动路程为，的面积为，请解答下列问题：
(1)直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)根据函数图象，写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过）．
【答案】(1)，画图见解析
(2)当时，取得最大值，最大值为．（答案不唯一）
(3)或
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质：
（1）分两种情况：当点在边上时和当点在边上时；
（2）观察函数图象即可求得答案；
（3）将代入函数表达式即可．
【详解】（1）
（Ⅰ）如图所示，当点在边上时，．
根据题意可知，则
，即
．
（Ⅱ）如图所示，当点在边上时，．
根据题意可知，则
，即
．
综上所述，与之间的函数表达式为．
画出函数的图象如图所示．
（2）当时，取得最大值，最大值为．
（3）将代入，得
和．
分别解得
和．
所以，或
2．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为
(1)求直线的表达式．
(2)若y轴上有一点M，且三角形的面积为12，求M点的坐标；
(3)如图，把直线以每秒2个单位的速度向右平移，问经过几秒后，该直线与y轴交于点？（直接写答案）
【答案】(1)
(2)或
(3)2秒
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据待定系数法求得直线的解析式，
（2）设，则，根据，求得m的值，可求得M的坐标；
（3）根据平行直线的解析式的k值相等设出平移后直线的解析式为，然后把点代入求出t，即可得解．
【详解】（1）解：依题意，设直线的表达式为，
把代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：依题意，设，
由（1）得直线的表达式为；
令，则，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，
∵三角形的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：设经过t秒后，该直线与y轴交于点，
则平移后的解析式为，
把代入，
得，
∵，
∴，
故经过2秒后，该直线与y轴交于点．
3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，点是线段上的一个动点(不与点和点重合)，过作轴交线段于点，使，设点的横坐标为．
(1)求点、点的坐标；
(2)如图2，当时，求的值；
(3)如图3，连接，，在点运动的过程中，当时，的值为___________．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
（1）分别令、代入一次函数中计算求解即可；
（2）根据题意得出，进而得到，根据列方程计算求解即可；
（3）过点作于点，结合图象表示出，根据直角三角形面积公式，列出方程计算求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
令得，，解得，则点的坐标为，
令得，，则点的坐标为，
答：点、点的坐标为，；
（2）解：根据题意得，点的横坐标为，则
当时，
则、
因此
由得：
解得，
答：的值为；
（3）解：过点作于点，如图：
则
由于
则
即
解得：
故答案为：．
期末综合拓展练（测试时间：25分钟）
1．（广东省深圳市深圳实验光明学校2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点．
(1)求出点和点的坐标．
(2)点的坐标是，求证：是直角三角形．
(3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由．
(4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)存在，的面积为或
(4)点E的坐标为或
【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，三角形的面积．
（1）分别令，，即可求出函数图形与坐标轴交点的坐标；
（2）根据两点间距离公式求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）当时，是等腰直角三角形．分点D在线段上和当点D在线段的延长线上两种情况求解即可；
（4）根据，得到点E在的延长线上，或在的延长线上，分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：对于一次函数，
令，则，解得，
∴，
令，则，
∴．
（2）证明：∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：由（2）可知是直角三角形，，
∴当时，是等腰直角三角形．
如图，当点D在线段上时，
∵，
，
∴．
如图，当点D在线段的延长线上时，
．
综上所述，直线存在点，使得是等腰直角三角形，的面积为或．
（4）解：∵，，
∴点E在的延长线上，或在的延长线上，
①如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点G，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∴点E的纵坐标为6，
把代入一次函数，得，
解得，
∴点E的坐标为．
②如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点H，
∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∴点E的纵坐标为，
把代入一次函数，得，
解得，
∴点E的坐标为．
综上所述，点E的坐标为或．
2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图1，直线为，分别与坐标轴交于点．点O关于直线的对称点C在直线上．
(1)求直线、的解析式．
(2)若交于点E，在线段上是否存在一点F，使与的面积相等？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图 2，过点D的直线，当它与直线的夹角为时，请直接写出相应m的值．
【答案】(1)直线解析式为，直线解析式为
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）由，得直线解析式为，求出，得，设，可得，解得，，可得直线解析式为，
（2）存在点F，使，连接并延长交y轴于G，连接，得，得，证明，得，点G，F关于对称，由， ，得 ，由，得，解得，得，由G，F关于点B对称得；
（3）设直线与直线夹角等于，即为等腰直角三角形．作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N．证明．得．由，得直线l的解析式为．设点H坐标为，得I点坐标为．得．解得．得．当直线l过H点时， ．当直线l过I点时，．
【详解】（1）解：∵，
∴设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴；
（2）解：存在点F，使．
连接并延长交y轴于G，连接，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G，F关于对称，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
化简，得，
解得，
∴，
∵，
∴，，
∴．
（3）解：如下图，设直线与直线夹角等于，
即为等腰直角三角形．
∴．
作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N．
则，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵直线l过，
∴．
解得．
∴直线l的解析式为．
设点H坐标为，
则．
∴I点坐标为．
∵I点在直线上，
∴．
解得．
∴．
当直线l过H点时， ．
解得．
当直线l过I点时， ．
解得．
故或．
【点睛】查考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定行数法求一次函数解析式，一次函数的图象的性质，轴对称性质，面积法求三角形的高，勾股定理，三角形全等的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点．
(1)求两点的坐标；
(2)如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标．
(3)如图，若，过点，交轴于点，此时在轴上存在点，使，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（）根据题意列方程即可得出结论；
（）由（）可得，求得，过点作轴于点，易证，则有，进而根据勾股定理可求解；作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与轴的交点即为点，进而求出的解析式，最后求解即可；
（）根据题意得到点的坐标，如图，当点在点的左侧，根据全等三角形的性质得到，当点在点的右侧时，根据三角形的面积即可得出结论．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于两点，
令，得，故，
令，得，故；
（2）解：过点作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，如图所示：
由轴对称的性质可得垂直平分，则有点到点的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与轴的交点即为点，
由（）可得，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点与点重合，
∴点，则点，
设解析式为，
将，代入得

∴解析式为：
解得：
∴点，
设的解析式为，
则有：
解得：
∴解析式为，
令时，则，
解得：，
∴当为最小值时，点的坐标为；
（3）解：∵
∴直线：，
∵，
∴设的解析式为，把代入得，
，
所以直线的解析式为，
当时，即
解得：
∴
如图，当点在点的左侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
当点在点的右侧时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为或
专题07 一次函数与几何图形综合（期末复习讲义）
内 容 导 航
明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径
破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲
题型一 一次函数几何动点动态问题
题型二 割补法求一次函数背景下的不规则图形面积
题型三 已知面积反求一次函数解析式/坐标
题型四 一次函数与等腰三角形存在性问题
题型五 一次函数与等腰直角三角形存在性问题
题型六 一次函数与直角三角形存在性问题
题型七 一次函数与平行四边形存在性问题
题型八 一次函数与特殊四边形
题型九 一次函数与将军饮马最值问题
题型十 一次函数与折叠、对称变换综合
题型十一 一次函数与网格几何综合
题型十二 一次函数与全等三角形综合
过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点
复习目标
考情规律
一次函数几何动点动态问题
能根据动点的运动规律，建立面积、线段长度关于时间的函数关系
区分度最高的压轴题型，需分阶段讨论动点位置，分析图形变化
割补法求一次函数背景下的不规则图形面积
能利用坐标法、割补法计算一次函数背景下的复杂图形面积
中档高频考点，常出现在解答题，易错点是底和高的确定
已知面积反求一次函数解析式/坐标
能根据图形面积条件，列方程求解一次函数中的参数值
培优拔高考点，常与绝对值、分类讨论结合考查
一次函数与等腰三角形存在性问题
能根据两点坐标，在一次函数上找到满足等腰三角形条件的点
期末压轴常考题，需按顶点分类讨论，易漏解
一次函数与直角三角形存在性问题
能根据两点坐标，在一次函数上找到满足直角三角形条件的点
高频压轴考点，需按直角顶点分类讨论，常结合勾股定理列方程
一次函数与平行四边形存在性问题
能根据三点坐标，求构成平行四边形的第四个顶点坐标
区分度高的培优题型，需利用平行四边形对边平行且相等的性质
一次函数与特殊四边形（矩形、菱形、正方形）综合
能结合特殊四边形的性质，利用一次函数求顶点坐标、边长或高
中档偏上考点，需综合几何性质与函数知识，常出现在解答题中
一次函数与将军饮马最值问题
能利用轴对称的性质，求一次函数上的点到两定点距离和的最小值
培优压轴考点，考查数形结合与模型应用能力
一次函数与折叠、对称变换综合
能利用折叠的对称性，结合勾股定理求折痕所在直线的解析式或线段长度
高频易错考点，易忽略折叠前后的边、角对应关系
一次函数与网格几何综合
能在网格中利用一次函数的斜率判定平行、垂直，并求解格点图形问题
创新题型，常作为压轴题的背景，考查坐标与几何的综合应用
解｜题｜技｜巧
一看图：注意函数图像横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图像的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图像相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
答｜题｜模｜板
问题：已知A，B，C三点坐标，求△ABC的面积.
图示：
解题方法：
1)利用割补法求解.如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，AE⊥y轴于点E，则
答｜题｜模｜板
1）设出动点坐标，通常用含字母的代数式表示；
2）表示三边长度：利用两点间距离公式变式出AB,AC,BC；
3）分类讨论+计算：分三种情况
4）列出方程求解．
皮克公式的探索与应用
问题
背景
在单位面积为1的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．
素材1
如图，探索格点多边形的面积时，把多边形分割成小正方形和三角形，分别计算各个面积并相加，可求出多边形的面积．
素材2
奥地利数学家皮克证明格点多边形的面积公式，格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有关，面积公式可表示为（其中为常数）．
问题解决
任务1
探索皮克公式
在素材2中的两个网格图中，分别画出两个边长不同，且内部只含有4个格点的格点正方形，并根据所画的格点正方形，直接写出应满足的数量关系；
任务2
应用皮克公式
在单位面积为1的正方形网格纸（共110个格点）中，画一个内部有18个格点的格点多边形，满足格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，求该格点多边形的最大面积．