专题01 二次根式综合10大题型（培优版，期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版+答案

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知识点01 二次根式的性质
知识点02 二次根式的乘除法
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：
补充：1）积的算术平方根：
2）商的算术平方根：
注意点：1）结果要化为最简二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
知识点03 二次根式的加减法
法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即.
知识点04 最简二次根式与同类二次根式
最简二次根式定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
1）被开方数不含分母；
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
示例：都是最简二次根式，不是最简二次根式
同类二次根式定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式.
注意点：1）同类二次根式与根号外的因式无关．
2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如： ．
知识点05 二次根式的混合运算
解题关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号.
常见运算方法：（1）
（2）
题型一 二次根式的混合运算
【典例1】（25-26八年级下·重庆·期中）估计的值应在（ ）之间
A．3和4B．4和5C．5和6D．6和7
【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于任意实数a和b，定义新运算：，则的运算结果为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型二 与二次根式有关的化简求值问题
【典例1】（25-26八年级下·江西赣州·期中）若，则代数式的值是_______．
【典例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______．
【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知：，，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式3】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值．
解：∵
．
∴．
解答问题：已知．求：的值及的值．
【变式4】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法：
由得，则，即，∴，把作为整体，得：
请回答下列问题：(1)已知，求代数式的值．
(2)已知，求代数式的值．
(3)已知，求代数式的值．
题型三 比较二次根式的大小
【典例1】（25-26八年级下·全国·周测）比较下列两个数的大小：____________．
【变式1】（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知，
若，则；若，则；若，则
若，则；若，则；若，则．
若，则；若，则；若，则
(1)试比较：与大小关系
(2)试比较：与大小关系
【变式2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小．
(1)比较大小：______9；
(2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小．
题型四 二次根式的双重非负性的综合应用
【典例1】（25-26八年级下·广东潮州·期中）若，则______．
【变式1】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若，则的值是（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
【变式2】（2026九年级下·重庆·专题练习）若实数x，y满足，，则的值为________．
【变式3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值．
（2）已知实数满足，求的值．
题型五 含字母的二次根式化简
【典例1】（25-26八年级下·江西上饶·期中）若，则的取值范围为，那么□中的符号为（ ）
A．D．≥
【变式1】（25-26八年级下·河南安阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3】（25-26九年级下·重庆·月考）若m为正整数，且满足，则________．
【变式4】（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________．
题型六 分母有理化
【典例1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）规定，则的值是______．
【变式1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化．
例如：；．
观察上面解题过程，并回答下列问题：
(1)________；
(2)若a是的小数部分，化简；
(3)利用上面的解法，请化简：．
【变式2】（25-26八年级下·河南商丘·期中）先化简，再求值：，其中，．
【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：
．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)分母有理化：__________；
(2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空）
(3)已知，求的值．
题型七 复合二次根式化简
【典例1】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么．
例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________．
28．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践
【项目主题】八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简．
【项目准备】简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如：
，
．
【项目实施】帮助八年级同学完成如下任务：
(1)化简；
(2)化简．
【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；
【类比归纳】(1)填空：
(2)请你仿照小明的方法化简；
【拓展提升】(3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积．
【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
例如：化简．
解：因为，
所以．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ；
(2)化简：；
(3)已知，化简：．
题型八 与二次根式有关的规律探究问题
【典例1】（2025·云南文山·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（ ）
A．400B．200C．199D．20
【变式2】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程：
具体运算，发现规律．
等式1：．
等式2：．
等式3：．
（1）观察、归纳，得出猜想．
为正整数，猜想等式可表示为______．
（2）应用运算规律．
小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______．
【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______；
(2)用含n的等式表示上述规律，并证明；
(3)利用这一规律计算：．
题型九 二次根式与勾股定理综合（跨章节）
【典例1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）综合与实践
【问题背景】
“数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小．
(1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ；
(2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解）
(3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）．
【变式1】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题：
【几何模型】
如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．
【模型应用】
如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小．
(1)在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简）
(2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________．
【拓展应用】
(3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题：
①求出函数的最小值．
②已知，求的最小值__________．
【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且，求的最大值．
【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料：
材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）：
(1)图1中的面积为______；
(2)图2是一个的正方形网格．
①利用构图法在图2中画出格点，使，，；
②计算①中的面积为______；
(3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，
①与面积之间的关系为______；
②若，，，直接写出六边形的面积为______；
(4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______．
材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题：
(5)已知，计算的最小值为______；
(6)代数式的最小值为______．
题型十 二次根式的应用
【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）若（m，n为两个连续奇数，，），求证：p一定是偶数．
【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题．
(1)在中，已知，，，求的边上的高；
(2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积．
【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例如：已知，求代数式的最小值．
解：令， ，则由，得
当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值．
(2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ．
(3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶)
【变式3】（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）计算：．
2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）已知，求的值．
3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)
4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）化简
(1)若a、b、c分别是三角形的三边长，化简：．
(2)已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：．
5．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，．
(1)图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________；
(2)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
期末重难突破练（测试时间：15分钟）
1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）定义：若两个含有二次根式的代数式a，b满足，且m是有理数，则称a与b是关于m的“有理二次根式”．
(1)若n与是关于4的有理二次根式，则n的值为________．
(2)若与是关于6的有理二次根式，求q．
(3)已知，，若a与b是关于2的“有理二次根式”，且m，n为整数，请求出m，n的值．
2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：，
∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为1．
(1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____；
(2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
(3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值．
3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
(1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______．
(2)请你仿照上面的方法化简：；
(3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值．
期末综合拓展练（测试时间：20分钟）
1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料：
已知为非负实数，∵，
∴，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
2．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）【阅读材料】
像，，，…，
两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
(1)的有理化因式为______；
(2)化简：；
(3)①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______；
②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离．

3．（24-25八年级上·福建三明·期末）设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式：
（秦九韶公式）；
（海伦公式），其中．
如图1，在中，，，．

(1)求的面积．
(2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
①证明：；
②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标．
专题01 二次根式综合（期末复习讲义）
内 容 导 航
明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径
记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区
破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲
题型一 二次根式的混合运算★★
题型二 与二次根式有关的化简求值问题★★★
题型三 比较二次根式的大小★★★
题型四 二次根式的双重非负性的综合应用★★★
题型五 含字母的二次根式化简★★★
题型六 分母有理化★★
题型七 复合二次根式化简★★★
题型八 与二次根式有关的规律探究问题★★★
题型九 二次根式与勾股定理综合（跨章节）★★★
题型十 二次根式的应用★★
过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点
复习目标
考情规律
二次根式的概念与有意义的条件
能准确判断二次根式有意义的条件，确定自变量的取值范围
基础必考点，常出现在选择题 / 填空题，常与分式、零指数幂结合考查
二次根式的性质
能根据二次根式的性质对式子进行化简，尤其是含字母的化简
高频易错点，易忽略绝对值的非负性，需注意字母的取值范围
二次根式的化简与运算
能熟练进行二次根式的加减、乘除及混合运算，掌握分母有理化
计算类核心考点，常出现在计算题、化简求值题中，是后续勾股定理计算的基础
二次根式的非负性应用
能利用的性质，解决 “几个非负数和为 0” 的问题
中档常考点，多与绝对值、平方的非负性结合考查，常出现在填空题
二次根式的化简求值
能结合整体代入、因式分解等方法，对含二次根式的代数式进行化简求值
高频中档题，常结合勾股定理、代数式变形考查，易出现计算错误
性质
文字语言
示例
一个非负数的算术平方根是非负数
若a+b=0，则a=b=0
a2=aa≥0
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身
正用公式：32=3
逆用公式：12=122
一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值
正用公式：
逆用公式：
解｜题｜技｜巧
二次根式混合运算的“四注意”
1）确定运算顺序：先算__________，再算__________，最后算加减，有括号先算__________的；
2）灵活运用__________.
3）正确使用__________.
4）有些运算中__________可使运算简便.
答｜题｜模｜板
对于复杂的代数式求值，一般不宜直接代入已知数求值，而是先将代数式化简，然后代入求值.
易｜错｜点｜拨
运算顺序错误；乘法公式展开时符号出错；整体代入时未先化简代数式
答｜题｜模｜板
例如：比较和的大小．
方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方．
因为，，，所以．
方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小．
如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即．
答｜题｜模｜板
x−a2+y−b+z−c=0（其中a，b，c为常数），则x=a，y=b，z=c.
答｜题｜模｜板
在解决二次根式的有关问题时，如果被开方数能化成一个代数式的平方的形式，就可以利用这一性质进行化或求值.在解题过程中一定要注意a的取值范围.
易｜错｜点｜拨
直接去掉绝对值符号，不分类讨论；忽略字母的隐含取值范围。
答｜题｜模｜板
易｜错｜点｜拨
分子漏乘该有理化因式.
答｜题｜模｜板
通过对中的进行配方，得到完全平方式，再开方化简.