（人教版）数学八年级下册期中复习练习专题1.1二次根式精讲精练（10大易错题型）（2份，原卷版+解析版）

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【知识梳理】
1.二次根式的定义
形如 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为 ．
2.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 ．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证 ．
3.二次根式的性质：
（1），（双重非负性）．
（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
4.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数 ；被开方数中不含 ．
5.二次根式的运算：
（1）二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的 .
推广：
（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的 .
（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再把被开方数相同的二次根式进行 ，合并方法为系数 ，根式 ．
二次根式的加减步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
6.二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．
①与实数的混合运算一致，运算顺序 ，最后 ，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．
（2）二次根式的运算结果要化为 ．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7.二次根式的应用：
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【典例剖析】&【变式训练】
考点1 二次根式的定义
【例1】（2022春•会东县校级月考）下列各式中，是二次根式的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．
A．4个B．5个C．6个D．7个
【变式训练】
【变式1.1】（2022秋•德惠市期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1.2】（2022春•利州区校级月考）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1.3】（2022秋•高陵区期中）二次根式中a的最小值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
考点2 二次根式的有意义的条件
【例2】（2022秋•新华区校级期末）代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
【变式训练】
【变式2.1】（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．xD．x
【变式2.2】（2022秋•双牌县期末）当x＝2时，下列各式中，没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2.3】（2022春•利州区校级月考）若，则x﹣y的值为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
考点3 二次根式的性质与化简
【例3】（2022秋•市北区校级期末）下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3.1】（2022秋•海港区期末）若，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3
【变式3.2】（2020秋•弥勒市校级月考）当x时，的值为（ ）
A．B．C．±D．
【变式3.3】（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
考点4 最简二次根式与同类二次根式
【例4】（2022秋•漳州期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式4.1】（2022秋•娄底期末）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4.2】（2022秋•卧龙区校级期末）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4.3】（2022•天津模拟）若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7B．9C．2D．1
考点5 二次根式的乘除
【例5】．计算：
（1）（）；
（2）．
【变式5.1】计算：
（1）•
（2）•（）．
【变式5.2】计算
（1）4（﹣5）
（2）（）（a＞0，b＞0，c＞0）
【变式5.3】．计算：
（1）（）；
（2）（）．
考点6 二次根式的加减
【例6】计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式训练】
【变式6.1】计算：
（1）23
（2）
（3）
（4）93．
【变式6.2】计算下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【变式6.3】若a、b为有理数，且，求ba的值．
考点7二次根式的混合运算
【例7】（2022秋•历城区期末）计算：
（1）；
（2）．
【变式训练】
【变式7.1】（2023•义乌市校级开学）计算：
（1）；
（2）．
【变式7.2】（2022秋•深圳期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式7.3】（2022秋•高新区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【方法技巧】
二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
③二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
考点8二次根式的化简求值
【例8】（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣2，b＝4+2．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【变式训练】
【变式8.1】（2022春•高昌区月考）已知x，y，
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+2xy+y2的值．
【变式8.2】（2022春•殷都区校级月考）已知a2，b2，求a2+ab+b2的值．
【变式8.3】（2022秋•永年区期末）已知x，y，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
考点9二次根式的应用
【例9】（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．
【变式训练】
【变式9.1】（2022春•亭湖区校级月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）加高度h（单位：m）近似满足公式t（不考虑风速的影响）．
（1）求从40m高空抛物到落地时间；
（2）已知高空坠物动能w（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）．
【变式9.2】（2021春•罗山县期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
2；6+3 2；1 2；7+7 2．
（2）由（1）中各式猜想a+b与2（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
【变式9.3】（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
考点10二次根式与探究材料题
【例10】（2021春•泗阳县期末）在解决问题“已知a，求2a2﹣8a+1的值时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴a﹣2，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解答下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若a，求：
①a2﹣a﹣1的值；
②2a2﹣5a2+1的值．
【变式训练】
【变式10.1】（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4 ．
（3）请化简：
【变式10.2】（2021•市中区校级一模）观察下面的式子：
S1＝1，S2＝1，S3＝1Sn＝1
（1）计算： ， ；猜想 （用n的代数式表示）；
（2）计算：S（用n的代数式表示）．
【变式10.3】（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S，其中p（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．