专题07 数据的分析（期末复习讲义，3知识8重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版+答案

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1. 平均数
算术平均数：若n个数为x1,x2,⋯,xn，则x=x1+x2+⋯+xnn，反映平均水平，易受极端值影响。
加权平均数：若n个数的权为w1,w2,⋯,wn，则x=x1w1+x2w2+⋯+xnwnw1+w2+⋯+wn；权（频数、占比等）反映数据重要程度，权越大影响越大。
性质：若x是x1⋯xn的平均数，则axi+b的平均数为ax+b。
2. 中位数
定义：数据从小到大排序后，奇数个数据取中间数，偶数个取中间两数的平均数。
特点：不受极端值影响，反映中间水平，唯一。
3. 众数
定义：一组数据中出现次数最多的数，可1个、多个或无。
特点：不受极端值影响，反映最常见值。
知识点02数据的离散程度（2大统计量）
1. 方差
定义：s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2]。
意义：方差越大，数据波动越大、越不稳定；反之越稳定。
标准差：方差的算术平方根s，单位与原数据一致。
2. 四分位数与箱线图
四分位数：排序后数据的25%分位数（Q1）、50%分位数（中位数Q2）、75%分位数（Q3）。
箱线图：由Q1Q3最小值、、中位数、、最大值5个关键点构成，直观反映分布，不受异常值影响。
知识点03统计思想：用样本估计总体
用样本平均数估计总体平均数；
用样本方差估计总体方差；
样本容量越大，估计越可靠。
题型一 算术/加权平均数计算
【例1-1】（24-25八年级下·云南德宏·期末）若样本数据3，6，a，4，2的平均数是5，则a为（ ）
A．5B．8C．10D．12
【答案】C
【详解】解：样本数据3，6，a，4，2的平均数是5，
∴3+6+a+4+2=5×5，
解得：a=10，
故选：C．
【例1-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）小明参加以“诵读经典伴我行•浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按3:5:2的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（ ）
A．8分B．8.5分C．9分D．9.3分
【答案】D
【详解】∵最终成绩按3:5:2的比例计算，
∴权重之和为3+5+2=10，
加权和为9×3+10×5+8×2=27+50+16=93，
∴最终成绩为93÷10=9.3分．
故选D．
【变式1-1】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）若x1,x2,x3,x4的平均数为4，x5,x6,x7,⋯,x10的平均数为6，则x1,x2,x3,⋯,x10的平均数为（ ）
A．4.8B．5C．5.2D．5.4
【答案】C
【详解】解：由平均数的定义可得：
x1+x2+x3+x4=4×4=16，
x5+x6+x7+x8+x9+x10=6×6=36，
则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为：
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x1010
=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x1010
=16+3610
=5210
=5.2，
故选：C．
【变式1-2】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为10%，30%，20%，20%，20%，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（ ）
A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分
B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分
C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高
D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
【答案】C
【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为C、E、L、T、H．
根据题意：算术平均数为87分，故C+E+L+T+H=5×87=435，故A错误；
加权平均数为86分，故0.1C+0.3E+0.2L+0.2T+0.2H=86，
将加权平均方程两边乘以100，得：
10C+30E+20L+20T+20H=8600
将算术平均方程两边乘以20，得：
20C+20E+20L+20T+20H=8700
两式相减，得：
−10C+10E=−100，
即E=C−10，故C正确；
根据已知条件无法判断B、D．
故选：C．
【变式1-3】（24-25八年级下·全国·期末）某班有50名学生，其中30名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班50名学生的平均身高为 ____________________厘米．
【答案】3m+2n5
【详解】全班50名学生的平均身高为：30m+20n50=3m+2n5（厘米）．
故答案为：3m+2n5．
题型二 中位数与众数求解
【例2-1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）数据3，6，5，6，4，6，5的众数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【详解】解：数据中3出现1次，4出现1次，5出现2次，6出现3次．
∵6出现的次数最多，
∴众数是6．
故选：D．
【例2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一组数据3，4，x，6，9的平均数是6，则该组数据的中位数是__________．
【答案】6
【详解】解：∵数据3，4，x，6，9的平均数为6，
∴3+4+x+6+95=6，
即22+x5=6，
解得x=8．
将数据排序后为3，4，6，8，9，
则中位数为6．
故答案为：6．
【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则x为（ ）
A．1B．2C．4D．3
【答案】C
【详解】解：∵这组数据中3，4出现两次，又有唯一的众数4，
∴x=4，
故选：C．
【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·期末）有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是___．
【答案】6
【详解】解：∵有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，
∴将一组数据按照从小到大为2，5，a，7，8，
∵a为整数，
∴a=6，
故答案为：6．
题型三 方差计算与稳定性判断
【例3-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（ ）
A．使每组数据量相等
B．保证组间均值相等
C．减少计算复杂度
D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
【答案】D
【详解】解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度，
∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小，
又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大，
∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大．
故选：D．
【例3-2】（24-25八年级下·云南临沧·期末）甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行10次射击测试，他们测试的平均成绩相同，方差分别为S甲2=2.15，S乙2=1.52，S丙2=2.51，S丁2=1.25，这四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【详解】∵S甲2=2.15，S乙2=1.52，S丙2=2.51，S丁2=1.25，且1.25s丁2，
∴四人中成绩最稳定的是丁．
题型四 统计量的选择（核心必考）
【例4】（24-25八年级下·重庆忠县·期末）下面特征量中不能刻画数据集中趋势的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．最小值
【答案】D
【详解】解：A、平均数是所有数据之和除以数据个数，反映数据的平均水平，是集中趋势的核心指标，故此选项不符合题意；
B、 中位数是将数据按大小排列后位于中间位置的数，不受极端值影响，体现数据中间位置的集中趋势，故此选项不符合题意；
C、众数是数据中出现次数最多的数，反映数据的集中分布情况，故此选项不符合题意；
D、最小值是数据中的最小数值，仅描述数据范围的下限，不能刻画数据集中趋势，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式4-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）某商店销售S，M，L，XL，XXL，5种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．无法判断
【答案】C
【详解】解：商店经理应关注的是销售数量，销售数量最多的应选择众数，
故答案为：C．
【变式4-2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（ ）
A．众数B．中位数C．方差D．平均数
【答案】B
【详解】解：共有13名同学，成绩各不相同．中位数是将数据从小到大排列后的第7名成绩．若该同学的成绩高于中位数（即第7名成绩），则其排名必在前6名，
而中位数是唯一能直接反映中间位置、帮助判断是否可能进入前6名的指标．众数、方差、平均数均无法提供排名的直接信息，
故选B．
【变式4-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】C
【详解】根据统计表，喜欢红色校服的学生人数为820，明显多于白色（100人）和蓝色（180人），因此，红色是这组数据中出现次数最多的颜色，即众数；
学校参考众数这一统计量，选择最受欢迎的红色作为校服颜色，其他统计量（平均数、中位数、方差）均不适用于类别数据的比较；
故选：C．
题型五 四分位数与箱线图
【例5】（25-26八年级上·山西晋中·期末）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（ ）
A．乙组成绩比甲组成绩集中B．甲组成绩的上四分位数是70分
C．乙组有同学的成绩超过96分D．乙组的中位数是80分
【答案】A
【详解】解：A.由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意；
B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意；
C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意；
D. 由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式5-1】（25-26八年级上·河北保定·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为________．
【答案】140
【详解】解：据图可知，该组数据的下四分位数为140．
故答案为：140．
【变式5-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的上四分位数是______分．
【答案】90
【详解】解：由箱线图可知：八（1）班学生成绩的上四分位数是90分．
故答案为：90．
【变式5-3】（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，是张老师根据全班40名学生1min跳绳的次数的情况绘制的箱线图，请回答下列问题．
(1)全班学生1min跳绳次数的中位数是_______，上四分位数是_______；
(2)请你估计一下，全班学生1min跳绳次数的平均数和中位数哪个大？
【详解】（1）解：由箱线图可知，全班学生1min跳绳次数的中位数是136，上四分位数是144，
故答案为：136，144；
（2）解：由箱线图可知中位数离下四分位数近，
∴平均数大于中位数．
题型六 平均数、中位数、众数综合应用
【例6-1】（24-25八年级下·云南红河·期末）争创全国文明城市，从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七、八年级学生进行文明礼仪知识测试．两个年级共有1000名学生，从七、八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（单位：分），满分100分．整理分析如下：
七年级：99，98，98，98，95，93，91，90，89，79．
八年级：99，99，99，91，96，90，93，87，91，85．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=_______，b=_______；
(2)如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，那么七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是_______；
(3)若成绩不低于98分可以获奖，请估计两个年级一共有多少人获奖？
【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是98，故a=98；
八年级的数据排序99，99，99，96，93，91，91，90，87，85，
第5个和第6个数据分别为91和93，故b=91+932=92；
（2）解：∵平均数与每一个数据都有关，
∴将抽取的“89”误写成了“79”时，平均数会发生变化，
∵出现次数最多的数据还是98，排序后，位于中间的2个数据还是93和95，
故众数和中位数均不会发生改变；
（3）1000×720=350（人）；
答：估计两个年级一共有350人获奖．
【例6-2】（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
七八年级教师竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a＝__________，b＝__________；
(2)估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
(3)根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
【详解】（1）解：∵八年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
∴中位数a=9．
根据扇形统计图可知D类是最多的，故b=9．
故答案为：9，9．
（2）解：该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为120×1720=102（人）；
（3）解：根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异．
【变式6-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）随着科学技术的发展和大数据时代的到来，AI智能逐渐进入人们的生活．有关人员对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度情况进行了随机调查，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示），分为四个等级：
A：60