专题05 一次函数的图象与性质11大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版+答案

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知识点01 一次函数的图象与性质
知识点02 k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
知识点03 一次函数与平移变换
平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）.
知识点04 一次函数与方程（组）、不等式
题型一 待定系数法求一次函数解析式
【典例1】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】B
【分析】利用已知的x与y的对应值求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值．
【详解】解：设该一次函数解析式为，
由表可知，当时，，可得，
将代入解析式得，
解得，
因此该一次函数解析式为，
将代入解析式得，
即．
【变式1】（21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，为正方形的对角线，且，则k、b的值分别是（ ）
A．，2B．，C．1，2D．1，
【答案】A
【分析】利用正方形的性质和勾股定理，求出，从而得到点、的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：为正方形的对角线，且，
，，
，
，
，，
将点，代入得，
，解得：．
【变式2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）某超市以8元/千克的价格购进A种水果，已知该超市零售这种水果的质量y（千克）与售价x（元/千克）之间的关系如图所示，则该超市以11元/千克零售这种水果所获得的利润为（ ）
A．2900元B．3600元C．4800元D．8700元
【答案】D
【分析】待定系数法求出函数解析式，然后根据题意进行求解．
【详解】解：设水果的质量y（千克）与售价x（元/千克）之间的表达式为，
将代入解析式得，
，
解得，
∴，
当时，，
∴．
【变式3】（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______．
【答案】11
【分析】利用待定系数法求出直线的一次函数解析式，再将点的坐标代入解析式，即可求出的值.
【详解】解：设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
点，，在同一条直线上，即点在直线上，
把代入得：，
的值为.
【变式4】（25-26八年级下·湖南常德·期中）一次函数的图象过，两点．
(1)求函数的表达式．
(2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)在函数的图象上，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将点的横坐标代入解析式求，看是否等于纵坐标即可.
【详解】（1）解：设函数的表达式为，
将，代入表达式，
可得：，
解得，
即；
（2）解：在函数的图象上，
理由如下：当时，，
即点在函数图象上．
题型二 根据k、b符号判定图象经过象限
【典例2】（2026·河南周口·一模）已知一次函数，若，则关于“该函数图象经过的象限”的推理正确的是（ ）
A．，图象从左到右上升；，图象与轴交于负半轴，故图象经过一、三、四象限
B．取特殊值，图象经过，，故图象经过一、三、四象限
C．经过一、三象限，经过二、四象限，故图象经过一、二、三、四象限
D．无法确定，需结合具体的值判断
【答案】A
【分析】根据和的几何意义即可判断推理是否正确．
【详解】解：A、对于一次函数， 时，随增大而增大，图象从左到右上升，
∵是图象与轴的交点的纵坐标，
∴时，图象与轴交于负半轴，可得图象经过一、三、四象限，故选项符合题意；
B、通过单个特殊函数推导一般结论，推理逻辑不一定成立，故选项不符合题意；
C、错误理解的意义，得出错误结论，故选项不符合题意；
D、根据和的符号即可确定图象经过的象限，不需要具体数值，故选项不符合题意；
【变式1】（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）如果一条直线l经过不同的三点，，，那么直线l一定经过的象限有（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、四象限
C．第一、三象限D．第一、二、四象限
【答案】B
【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数性质．
设直线l解析式为，将，，代入中得出直线l解析式，再结合一次函数性质求解，即可解题．
【详解】解：设直线l解析式为，
直线l经过不同的三点，，，
，
由得：，
将代入③中计算，得，
直线l解析式为，
，
直线l一定经过的象限有第二、四象限，
故选：B．
【变式2】（25-26八年级下·河北衡水·期中）如果关于x的一次函数的图像经过第一、三、四象限，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】对于一次函数（其中k、b是常数，且），当时，一次函数经过第一、三、四象限，据此建立不等式组求解即可．
【详解】解：∵关于x的一次函数的图像经过第一、三、四象限，
∴，
∴．
【变式3】（25-26九年级下·江苏徐州·期中）已知，则一次函数的图象不经过第_________象限．
【答案】二
【分析】根据题意得到，再进行判断即可．
【详解】解：，
，
当时，，矛盾；
当时，，矛盾；
故，
一次函数的图象不经过第二象限．
【变式4】（21-22九年级上·陕西西安·期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，正比例函数图象经过第一、三象限，求k的整数值．
【答案】1
【分析】根据反比例函数和正比例函数的性质可得，解出即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
解这个不等式组，得，
∴k的整数值为1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的性质，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质是解题的关键．
题型三 利用增减性比较函数值大小
【典例3】（23-24八年级下·福建福州·月考）已知是一次函数图象上两点，则与大小关系是（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得y随x增大而减小，再由即可得到．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵是一次函数图象上两点，且，
∴，
故选：A．
【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】一次函数一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，因此比较两点横坐标大小即可．
【详解】解：，
一次项系数，
y随x的增大而增大，
，
．
【变式2】（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知点都在正比例函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】确定函数的解析式，利用性质解答即可；
【详解】解：点都在正比例函数的图象上，
故，
解得，小于零，
故y随x的增大而减小，
因为，
故；
【变式3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）函数，当______时，y与x成正比例，且y随x的增大而增大．
【答案】6
【分析】本题主要考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数需为 形式，因此指数部分必须为1，且系数不为零；同时根据增减性，系数必须大于零．
【详解】解：根据题意得，，即 ，
解得，或，
又∵，且随的增大而增大，
∴，
解得，，
∴，
当时，，满足，
故答案为：6．
题型四 一次函数与坐标轴交点及面积计算
【典例4】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）的面积是________；
（2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________．
【答案】 10 1或
【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键：
（1）联立，求出，再求出，进而可求出面积；
（2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：联立，
解得：，
所以，
令，则0，
解得，
所以，
所以的面积是；
（2）因为点在直线上，
所以，
所以，
因为的面积是面积的，
所以的面积是，
设，
因为，
所以 ．
因为，即，
则或，
当时，解得，所以；
当时，解得，所以．
当时，
得出，
解得；
当时，
得出，
解得；
所以的值为1或，
故答案为：10；1或．
【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在第一象限．
（1）的面积为______________；
（2）当的面积与的面积相等时，点的坐标为________________．
【答案】 /1.5
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数表达式的求解，直角坐标系下三角形面积的表示，解决本题的关键是设出点的坐标并表示出．
（1）先由直线的函数表达式求解出点的坐标，再由三角形面积公式求解即可；
（2）先求解出直线的函数表达式，可得到点的坐标，设出点的坐标，再求解出的长度，根据三角形面积建立等式求解即可．
【详解】解：（1）∵直线交轴于点，
令，可得，
∴点，
∴，，
∴的面积为；
故答案为：；
（2）∵直线交轴于点，
∴，解得，
∴直线，
∵点是直线上一动点，
∴点的横坐标为2，
则有，
∴点，
设点，
∴，
∴，
若的面积与的面积相等，
即，
则，
即，解得，
∴点的坐标为．
故答案为： ．
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右数第5个阴影三角形的面积是___________，第2025个阴影三角形的面积是___________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的几何综合，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质并结合一次函数的性质得出，从而可得第个阴影三角形面积，再由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：观察题中一次函数图象，得当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，
所以，
…，
依次类推，，
所以第个阴影三角形面积，
所以当时，；当时，，
故答案为：，．
【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）实践探究：三角形的面积平分直线探究
三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．已知直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，我们来开展以下探究活动．
(1)求出、两点的坐标，并计算的面积；
(2)请你画出，并尝试画出一条能将分成面积相等两部分的直线，写出这条直线的函数表达式，并说明你这样画的理由；
(3)除了（2）中你画出的直线外，是否还存在其他过顶点且能平分其面积的直线？如果存在，请找出所有符合条件的直线并写出它们的函数表达式：如果不存在，请说明理由；
(4)结合上述探究，你能总结出“过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线”的一般规律吗？请用文字描述出来．
【答案】(1)
，，
(2)
，理由见解析.
(3)
存在，符合条件的直线为和
(4)
过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线
【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点、的坐标，根据坐标可得和的长度，利用三角形的面积公式求出结果；
（2）根据点、的坐标，求出线段的中点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，直线即为所求；
（3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，的另外两条中线所在的直线也过顶点且能平分其面积，利用待定系数法求出另外两条中线所在直线的解析式即可；
（4）过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该三角形的顶点和顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线．
【详解】（1）解：当时，
可得：，
解得：，
点的坐标为，
，
当时，
可得：，
点的坐标是，
，
；
（2）解：如下图所示，过原点和边的中点作直线，
把分成和，
，
，
点的坐标是，点的坐标是，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是；
（3）解：如下图所示，过点和边的中点作直线，
把分成和，
，
，
点的坐标是，点的坐标是，
点的坐标是，
设直线的解析式为，
把点和代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为；
如下图所示，过点和的中点作直线，
把分成和，
，
，
点的坐标是，点的坐标是，
点的坐标是，
设直线的解析式为，
把点和代入，
可得：，
解得：
直线的解析式为；
综上所述，直线和过顶点且能平分其面积；
（4）解：过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该三角形的顶点和顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线．
【变式4】（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C．
(1)求直线的函数解析式：
(2)求的面积：
(3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点或
【分析】（1）设直线的函数解析式为，将、代入求解即可；
（2）联立两直线解析式组成方程组，求得，再求出，即可根据三角形面积公式计算；
（3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，可知，据此可求得，即可求得答案；当点P在x轴下方时，可知，据此可求得，即可求出答案．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，
将、代入，得，
解得：，
直线的函数解析式为；
（2）解：联立两直线解析式组成方程组，
解得：，
点C的坐标为，
当时，，
点D的坐标为，
；
（3）解：存在．
当点P在x轴上方时，
，
，
，
，
，
，
点P的坐标为；
当点P在x轴下方时，
，
，
，
，
，
，
，
此时点P的坐标为；
综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍．
【点睛】在一次函数与面积的综合问题中，通常要结合图形中点的不同位置全面考虑，分别求解．
题型五 两直线平行、相交、垂直性质应用
【典例5】（25-26八年级上·全国·课前预习）若方程组无解，则在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两个一次函数图象的交点坐标即为联立解析式组成的方程组的解，根据方程组无解，可得两直线没有交点，则两直线平行．
【详解】解：∵方程组无解，
∴直线与没有交点，
则两直线平行．
故选：B ．
【变式1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）直线与的位置关系是互相________．
【答案】垂直
【分析】此题考查了两条直线的位置关系，勾股定理，首先画出两个函数的图象，然后求出，然后根据勾股定理得逆定理求解即可．
【详解】如图所示，画出两个函数的图象，
联立直线与得，
解得
∴
∵，
∴，，
∴
∴是直角三角形，且
∴
∴直线与的位置关系是互相垂直．
故答案为：垂直．
【变式2】（22-23七年级下·湖北十堰·期末）学习探究：我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，．．．．．．，
将上面各组值列表：
将以上每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示，观察这些点在一条直线l上，我们称直线l是二元一次方程的图象．
实践探究：仿上面材料的方法，按下列步骤，在直线l所在的平面直角坐标系中作二元一次方程的图象．
(1)分别求出当，，0，1，2时对应的y的值，并列表：
表中 ， ；
(2)描点：将表中每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点；
(3)连线：用一条平滑的线将这些点连起来；
(4)猜想：观察的图象与l的位置关系是 ；
深入探究：
(5)通过解方程组发现，此方程组无解，即方程与方程无公共解，反映在它们的图象上，两直线 交点；（填“有”或“无”）
(6)关于x，y的二元一次方程组，当时，方程组 （填解的情况），方程组中两个方程的图象 （填位置关系）．
【答案】实践探究：（1），；（4）平行；深入探究：（5）无；（6）没有解，平行
【分析】实践探究：将，分别代入即可求出，的值，在同一直角坐标系中再画出的图象，根据图象直接观察得出结论，
深入探究：根据二元一次方程组无解，则两个方程所对应的图象平行进行判断可．
【详解】解：实践探究：
（1）当时，，解得，；
当时，，解得，；
故答案为：，；
（4）在同一坐标系中画出的图象如图所示，

由图象可知：的图象与l的位置关系是平行
故答案为：平行；
深入探究：
（5）解方程组无解，反映在它们的图象上，两直线无交点，
故答案为：无；
(6)关于x，y的二元一次方程组，当时，方程组没有解，则方程组中两个方程的图象平行
故答案为：没有解，平行．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象．
【变式3】（24-25八年级上·陕西榆林·月考）回归教材
题（1）是来自教材的复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）（3）．
（1）如图1，直线的交点坐标可以看作是方程组_______的解．
方法应用
（2）如图2，一次函数和的图象交于点，求点的坐标，并判断的形状．
问题拓展
（3）如图3，直线的图象分别与轴、轴交于点和点A，直线的图象分别交轴、轴于点和点，两直线相交于点，且，判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）（2），是等腰直角三角形（3），理由见解析
【分析】（1）直线过点，，可得解析式为；直线过点，,可得解析式为，直线的交点坐标可以看作是方程组的解；
（2）一次函数和的图象交点的坐标，是方程组的解，可得设一次函数图象交x轴于点A，交y轴于点C，一次函数的图象交x轴于点B，交y轴于点D,可得，得，同理，得是等腰直角三角形；
（3）求出，，根据，得，得，可得，得，得，即得．
【详解】（1）∵直线过点，，
∴设解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴；
∵直线过点，，
∴设解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴，
∴直线的交点坐标可以看作方程组的解；
故答案为：；
（2）一次函数和的图象交点的坐标，是方程组的解，
解得，
∴
设一次函数图象交x轴于点A，交y轴于点C，一次函数的图象交x轴于点B，交y轴于点D，
在中，时，；时，，
∴，
∴，
∴，
在中，时，；时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3），理由：
中，令，则；令，则，
∴；
中，令，则，令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，等腰直角三角形判定，全等三角形判定和性质，三角形外角性质，直角三角形角的性质，是解题的关键
题型六 一次函数图象平移变换题型
【典例6】（2026·广东广州·二模）将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象的不经过第三象限，得到，，进行求解即可．
【详解】解：将一次函数的图象向上平移m个单位长度，得到，
由题意知一次函数的图象不经过第三象限，
∴，
∴，
故m的值可以为4，选项D符合条件．
【变式1】（2026·湖南娄底·二模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位长度，平移后的直线经过，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数平移规律求出平移后的直线解析式，再将点代入解析式，计算即可求出的值．
【详解】解：根据一次函数图象平移规律：上加下减，
将直线向上平移4个单位长度，
可得平移后的直线解析式为：
，
平移后的直线经过，
把代入得：
．
【变式2】（2026九年级下·吉林·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的d的值， 根据函数图象即可解答．
【详解】解：把直线向上平移d个单位长度后得到，
若直线过，则，解得：，
若直线过，则，解得，
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则．
【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）[问题情境]
老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度，求平移后直线的函数表达式．
小明利用直线上下平移的规律“上加下减”求得平移后直线的函数表达式为；小丽认为平移前后直线中的不变，只要求出的值即可．她的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式．
在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小明继续进行探究验证：
[解决问题]
(1)小明用小丽的方法进行了尝试：将点向下平移4个单位长度后的对应点的坐标为________，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为________；
(2)小明又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向右平移2个单位长度，平移后直线的函数表达式为________，利用上下平移的规律，将直线向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度也能得到这条直线；
(3)[拓展应用]对于平面直角坐标系内的图形将图形上所有点都先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，我们把这个过程称为图形的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式．
(4)请你直接写出次“斜平移”后得到直线的函数表达式．
【答案】(1)，
(2)，下，
(3)
(4)
【分析】（1）根据点的平移规律求出平移后的坐标，再利用待定系数法求一次函数表达式；
（2）先根据直线的平移规律求出平移后的表达式，再根据点的平移规律确定点的平移方向和距离；
（3）先根据一次“斜平移”的定义求出一次“斜平移”后的直线表达式，再对其进行二次“斜平移”，从而得到表达式；
（4）根据一次、二次、三次……“斜平移”后的表达式，分析规律即可得出次．
【详解】（1）解：向下平移4个单位长度，
即，
，
平移前后直线中的不变，
设过点的直线的函数表达式为，
代入，
得 ，
解得，
．
（2）解：直线向右平移2个单位长度，平移后的函数表达式为，利用上下平移的规律，将直线向下平移6个单位长度也能得到这条直线．
（3）解：直线一次“斜平移”为 ，
直线一次“斜平移”为．
（4）解：一次“斜平移”后得到表达式，
二次“斜平移”后得到表达式，
三次“斜平移”后得到表达式，
……
次“斜平移”后得到表达式．
题型七 含参数一次函数分类讨论
【典例7】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题．
【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，
∴当时，一次函数过，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
当时，一次函数过，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
∴只有D选项符合题意．
故选：D．
【变式1】（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，矩形ABCD的顶点B，D坐标分别为，，若直线：与矩形的边相交，则n的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用矩形的性质，可求出点，的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当点及点在直线上时的值，结合图形，即可得出的取值范围．
【详解】解：∵矩形的顶点，坐标分别为,且轴，轴，
∴点的坐标为，点的坐标为．
当点在直线上时，，
解得：；
当点在直线上时，，
解得：．
∴当直线与矩形的边有交点时，的取值范围为．
【变式2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）一次函数与函数的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查数形结合，一次函数的图象与性质；一次函数经过定点，函数是将的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，形如V字，开口向下，顶点在，通过分情况讨论和时方程的解，找出两个交点存在的条件即可．
【详解】
∵一次函数与函数的图象交点由方程决定，
∴当时，，方程化为，即，
若，则，且 ，解得，
当时，，方程化为，即，
若，则，且需，解得或，
∴，
当或时，仅有一个交点；当或且时，也仅有一个交点，
故恰好有两个交点时，的取值范围是．
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·四川达州·月考）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 __________ ．
【答案】
或
【分析】本题考查一次函数的性质及利用待定系数法确定函数解析式，根据一次函数的性质分情况讨论是解本题的关键．分两种情况进行分析：①当时，随的增大而增大；②当时，随的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果．
【详解】解：①对于一次函数，当时，随的增大而增大，
时，对应的函数值的取值范围是，
当时，；当时，，
代入一次函数解析式得：
，
；
②一次函数，当时，随的增大而减小，
时，对应的函数值的取值范围是，
当时，；当时，，
代入一次函数解析式得：
，
，
；
综上，的值为或．
故答案为：或．
题型八 一次函数与一元一次方程结合
【典例8】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为 ，则对角线的长度为（ ）
A．B．8C．D．9
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出和坐标，再在中利用勾股定理列方程求解，得到点的坐标即可解答．
【详解】解：∵直线的函数解析式为，
∴当时，，则；
当时，，解得，则；
∴，
∵菱形，
∴，，
∴点 C的纵坐标为，
设，则，点 C的坐标为，
∵在中，
∴，
解得，
∴点 C的坐标为，点 A的坐标为，
∴，
故选：C．
【变式1】（24-25八年级下·湖南湘潭·阶段检测）如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______．
【答案】/
【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标．
【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D，
∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，
∴设，由反射定律可知，
，
∴，
∵于，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则将点，点代入得
，
∴，
∴直线为，
当时，，
∴点C坐标为．
【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点．
（1）当，时，点的坐标是___________．
（2）当的值最大时，点的坐标是____________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质与判定．
（1）过点作轴于点，证明得出，即可求解；
（2）根据题意得出在的延长线上时，的值最大，待定系数法求得直线的解析式，令，得出的坐标，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作轴于点，
∵点，，
∴
∵
∴，，
又∵
∴
∵，
∴
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．
（2）如图，连接并延长交轴于点，
根据两点之间线段最短可得：，
∴当在的延长线上时，的值最大
设直线的解析式为，代入，，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，
∴当的值最大时，点的坐标是
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
(1)求线段的长；
(2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标；
(3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．
（1）先求出点，点坐标，然后利用勾股定理即可求解；
（2）设点，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
点，点，
，，
；
（2）解：设点，
的面积是16，
，
，
或，
点坐标为或；
（3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，
∵，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当点P在y轴上时，设点P的坐标为，
∵，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
综上分析可知：点P的坐标为：或．
题型九 一次函数与一元一次不等式数形结合
【典例9】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数和的图象交点始终位于x轴上方，则a的取值范围为_________ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，熟练掌握求一次函数交点的方法是解题的关键．
通过联立两个一次函数解析式求出交点坐标，根据交点始终在x轴上方，即交点的纵坐标大于0，建立不等式求解即可．
【详解】解：联立和，得，
解得，
将代入，得，
∵交点始终在x轴上方，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)的值为___________；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，请写出的取值范围___________．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，找准临界值与函数的关系是关键．
（1）将点和代入函数解析式求k和b，再计算；
（2）根据不等式条件结合求m的取值范围．
【详解】（1）解：函数经过点和，
代入得方程组：，
解得：，，
，
故答案为：1；
（2）解：由（1）知，，
即，
即，
对于，有且，
即且，
当，恒成立，且对于恒成立，故成立，
当时，需且对于恒成立，故需且，解得，即，
当时，，不等式可化为，
要使该不等式对任意都成立是不可能的，故不符合题意，
综上，m的取值范围为．
【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）对于三个数，，，用表示这三个数的平均数；用表示这三个数中最小的数．如：，．
(1)填空：________；________；
(2)如果，求的值；
(3)关于的方程有解，求常数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义，直接计算平均数和比较三个实数的大小即可；
（2）先计算，可知，据此列出不等式组，即可解答；
（3）设，采用数形结合的方法，画出图象，根据图象需要先求得和的交点，然后求得经过该交点时的m值，结合图象即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
．
故答案为：；．
（2）解：，
，
，
∴；
（3）解：设，
画出图象，如图①，
由图象得，
当时，，
解得，
，
当过点时，则，解得，
如图②，由图象得常数的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，实数的大小比较，整式的运算，解不等式组，一次函数图象与性质，灵活运用以上知识点，采用数形结合的方法是解题的关键．
题型十 探索函数的图象与性质
【典例10】（25-26八年级上·山西晋中·期中）通过一次函数的学习，我们发现图象对于探究函数性质有非常重要的作用，在探索一个新函数的图象与性质时往往通过观察函数图象得到函数性质．
下面我们根据学习一次函数的经验探究函数的图象与性质．
(1)列表：首先，思考自变量x的取值范围：______；然后，列出函数与自变量的几组对应值：
其中______．
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．
连线：把描出的点依次连接起来，得到函数的图象．
(2)观察所画的函数图象，写出这个函数图象的一个特征和随变化情况的一个结论．
【答案】(1)全体实数，
(2)见解析
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数值的计算，绝对值函数图象的绘制以及函数性质的探究．
（1）对于绝对值，无论取何实数，都有意义，所以函数的自变量的取值范围是全体实数；把代入，即可求得的值；描点连线如下图所示；
（2）根据图象即可得出函数图象的特征以及随变化情况．
【详解】（1）解：自变量的取值范围为全体实数，
当时，；
描点连线如图：
（2）解：函数图象特征的答案开放，只要合理均可得分．例如：
①图象经过第一、二、三象限；
②该函数图象关于直线对称；
③该函数图象是具有公共端点的两条射线，其公共端点为等等．
随的变化情况的答案开放，只要合理均可得分．例如：
①当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
②当时，函数有最小值为等等．
【变式1】（24-25八年级上·安徽滁州·月考）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
(1)①函数的自变量的取值范围是______；
②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）．
(2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象：
(3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现：
①的图象怎样平移才能得到的图象？
②观察函数的图象，写出该图象的一条性质；
③当时，______．
【答案】(1)①全体实数；②
(2)见解析
(3)①（答案不唯一）的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到；②（答案不唯一）当时，函数有最大值，最大值为1；③
【分析】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键．
（1）①根据函数可得自变量的取值范围是全体实数；②分别把点，代入计算，再比较大小即可；
（2）先补充表格，再描点画图即可；
（3）①根据函数图象平移规则：左加右减，上加下减可得答案；②结合函数图象的最高点可得函数的最大值，③结合图象可得交点位置，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：①函数的自变量的取值范围是全体实数；
②∵点，是该函数图象上的两点，
∴，，
∴．
（2）解：补全表格得，
在平面直角坐标系画出函数图象如图．
（3）解：①的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到．（答案不唯一）
②当时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一）
③当时，
由图知，即，
解得，
【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：．
【尝试】探究函数的图象与性质．
此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
根据表格中的信息可得_______．
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．
【探索】
(3)写出函数的一条性质________________．
【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题：
(4)关于x的不等式的解集为________________．
(5)若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当时，y随x增大而减小，当，随x增大而增大
(4)
(5)
【分析】本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，一次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答；
（1）直接代入求值即可；
（2）通过描点，连线，画图即可；
（3）由函数图象，写出对应的增减性即可；
（4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案；
（5）根据（4）所画函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得，，
，
故答案为：；
（2）解：如图所示即为所求；
；
（3）解：由函数图象可得，在中，当时，y随x增大而减小，当，随x增大而增大；
（4）解：在中，当时，，当时，，
联立，解得；
联立，解得；
∴由函数图象可得，不等式的解集为：；
（5）解：由函数图象可知，当时，函数与函数有两个交点，且两个交点分别在y轴的左右两侧，
即此时关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，
m的取值范围为：．
【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
(1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
(2)结合你所画的函数图象，写出函数的两条性质：
①___________；
②___________
(3)当时，自变量的取值范围是___________；
(4)一次函数图象与函数的图象只有一个交点，那么的取值范围是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
(4)或或
【分析】（1）利用函数关系式求出函数值，补全表格，再作出函数图象即可；
（2）根据增减性以及最小值写出两条性质，即可求解；
（3）根据图象即可得到答案；
（4）根据图象即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，
当时，
如图
（2）根据函数图象，函数的两条性质：
①当时，随的增大而减小，当时随的增大而增大，
②当时，函数有最小值，最小值为
（3）解：当时，
当时，
当或时，
根据函数图象，当时，自变量的取值范围是或
故答案为：或．
（4）解：如图所示，
当时，，
当时，，
将代入，则，
∴过定点，
当与平行时，即时，与的图象只有一个交点，
当与平行时，即时，与的图象没有交点，
当过点时，，
解得：，
此时，与的图象只有一个交点，
∴由图象可知，当或或时，一次函数图象与函数的图象只有一个交点．
题型十一 一次函数恒过定点问题
【典例11】（2025年北京海淀区0.5 3选拔模拟卷）一次函数的图象与线段有交点，已知，，则的取值范围是__________．
【答案】或且
【分析】本题考查一次函数的定义，图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
根据一次函数的定义，可得，再根据直线恒过定点，分别求出直线经过点和点时的值，结合直线与线段的位置关系可得的取值范围．
【详解】解：一次函数，，
直线可变形为，故恒过定点，
将点代入直线方程，得，即，解得，
将点代入直线方程，得，即，解得，
由于定点不在线段上，且直线与线段有交点，则或；
故答案为：或且．
【变式1】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）直线．无论k取除1外的任何数，都经过一个定点，定点坐标为____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数综合题，利用函数与k值无关得出k的系数等于零，不含k的项等于零是解题关键．
将原直线方程化成关于k的直线方程，再让k的系数等于零，不含k的项等于零，据此可列出关于x、y二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解：将两边同乘以得：，
整理得：，
令，解得： ，
∴直线必经过定点 ．
故答案为：．
【变式2】（21-22八年级下·上海奉贤·期末）当时，不论k取任何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为__________．
【答案】
【分析】先将化为，可得当时，不论取何实数，函数的值为，即可得到直线一定经过的定点为．
【详解】解：根据题意，可化为，
∴当时，不论取何实数，函数的值为，
∴直线一定经过的定点为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
【变式3】（24-25八年级下·上海松江·期末）【阅读理解】不论取何值，正比例函数的图像始终经过点（0，0），我们说函数的图像经过定点（0，0）．类似的，函数的图像经过定点（2，1）．探求定点的具体思路是：设法找到的某些取值，使函数表达式中含的各项之和为0，即变形得：，令，总有，从而得到点．
【尝试运用】
(1)函数的图像经过的定点坐标是____________；
(2)如果点，是原点，且直线，将分成面积相等的两部分，求的值；
(3)在（2）的条件下，如果点在轴上，点在直线上，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了一次函数的应用，平行四边形的性质，三角形的中线等知识，解题的关键是：
（1）仿造[阅读理解]的方法求解即可；
（2）根据三角形中线的性质和中点坐标公式求出的中点坐标，然后代入求解即可；
（3）分三种情况讨论：以、为对角线时；以、为对角线时；以、为对角线时，然后根据平行四边形的性质以中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当，即时，，
∴经过定点，
故答案为：；
（2）解：由（1）知：经过，
∵直线将分成面积相等的两部分，
∴直线经过的中点，
又，
∴的中点坐标为，
代入，得，
解得；
（3）解：由（2）知：
设，，
以、为对角线时，
∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得，
∴
∴；
以、为对角线时，
∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得，
∴
∴；
以、为对角线时，
∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
解得，
∴
∴；
综上，N的坐标为或或．
期末基础通关练（测试时间：15分钟）
1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数．
(1)求m的值；
(2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式．
（1）根据一次函数的定义得到，，求解即可；
（2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵函数是一次函数，
∴，，
由得，
由得或，
∴．
（2）解：∵，
∴一次函数的解析式为，
∵当时，，
∴该一次函数的图象与y轴的交点为，
∵当时，，解得，
∴该一次函数的图象与x轴的交点为，
∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为．
（3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，，
∴直线l过点，，
设直线l的解析式为，
∴，解得，
∴直线l的解析式为．
2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数）
(1)当函数是正比例函数时，的值为___________．
(2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________．
(3)当时，一次函数的最大值为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解；
（2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解；
（3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解．
【详解】（1）解：为正比例函数，
，
．
（2）解：不经过第一象限，
可得，
解得．
（3）解：分两种情况讨论，
当，即，随的增大而增大，
则当，，
可得，
解得；
当，即，随的增大而减小，
则当，，
可得，
解得；
综上或．
3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，若是由平移后得到的，且中任意一点经过平移后的对应点为；
(1)画出．
(2)若点P在轴上，值最小，请在图中画出P点位置，并写出点坐标___________．
【答案】(1)见解析
(2)P点位置见解析，
【分析】本题主要考查了平移的性质、平移作图、轴对称的性质、一次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据点经过平移后的对应点为得到向左平移5个单位，向上平移2个单位，据此画出平移后的即可；
（2）如图：找到点C的对称点，连接交y轴于一点即为P点，再求出直线解析式，令求解即可．
【详解】（1）解：∵点经过平移后的对应点为，
∴此次向左平移5个单位，向上平移2个单位，
∴如图：即为所求．
（2）解：如图：找到点C的对称点，连接交y轴于一点即为P点．
设的解析式为：，
将点，代入得：
，解得：，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：．
4．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
(1)求m，a的值；
(2)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
（1）先求出点的坐标，再将所得点坐标代入即可解决问题；
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】（1）解：将点代入得，
，
所以点坐标为．
将点代入得，
，
解得；
（2）解：由函数图象可知，
当时，函数的图象在函数的图象上方，且函数的图象在轴上方，即，
所以当时，的取值范围是．
期末重难突破练（测试时间：20分钟）
1．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D．
(1)求点A的坐标；
(2)若，求t的值；
(3)若，求t的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算．
（1）把利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可；
（3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可；
【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M，
∴，解得：,
∴一次函数为，
当时，，解得，
∴点，
（2）依题意得：的解析式为，
∵点，
∴点，点，
∴，
，
若，，解得：，
（3）当时；
，，
当，即，解得，
当时；
，，
当，即，解得，
2．（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与轴交于点，且．
(1)求点的坐标．
(2)求这两个函数的解析式．
(3)在直线上找一点，使得的周长最小，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据勾股定理求得的长，从而得到的长，即可得到点B的坐标；
（2）根据它们交于点，得到关于的方程和关于、b的方程，从而首先求得的值及、b的值；
（3）作出点对于直线的对称点，连接，交直线于点，则，，则，故当、P、B三点共线时，最小，此时周长最小，待定系数法求出设直线的解析式，然后把，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：点坐标为，
，
，
点坐标为；
（2）解：把代入，得，
解得，
；
把，代入，得，
解得，
．
（3）解：周长为，
求周长最小，也就是求的最小值．
作出点对于直线的对称点，连接，交直线于点，如图：
则，，
∴，
当、P、B三点共线时，最小，此时周长最小．
设直线的解析式为，
经过，，
代入得，
解得，
，
当时，，
所以点坐标为．
3．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若点正好落在线段上，求点的坐标；
(3)若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即，即可求解；
（3）若，即，则，进而求解；
【详解】（1）解：将、代入直线得：，
解得，
∴；
（2）解：如图，
∵、，
∴，
∴，
由折叠得：．
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接交于点，
由翻折可得：≌，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴直线的表达式为：，
延长到，使，作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，直线的表达式为：，
联立：
解得：，
∴，
∵，
∴．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线与坐标轴分别相交于点A、B，与直线相交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，点P在直线上，且，试求点P的坐标；
(3)如图2，点M是第四象限内一点，且，连接，探究与之间的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)或
(3)，证明见解析
【分析】（1）联立两个解析式求出点C的坐标；
（2）求出两点的坐标，分点在点的上方和原点下方两种情况进行讨论求解；
（3）作交的延长线于点，设交于点，证明，倒角即可得出结果．
【详解】（1）解：联立，解得；
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
当点在点上方时：，
解得，
∴；
当点在原点下方时：，
解得，
∴．
综上：或；
（3）解：，证明如下：
作交的延长线于点，设交于点，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由（2）可知：，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果）
【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．
【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】【操作思考】；【感悟应用】；【拓展探究】存在，点的坐标为或
【分析】【操作思考】过点A作轴于，过点B作轴于，由点坐标可知，证明，得出，，即可得出点B的坐标；
【感悟应用】通过证明得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式；
【拓展探究】分别以F、E、D为等腰直角三角形的直角顶点，设，，利用感悟应用的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可．
【详解】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点．
由点坐标可知，
为等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，，
∴点坐标为：；
【感悟应用】如图，过点作轴于点H．
∵点，点，
∴，，
∵为等腰直角三角形
∴，，
轴，
∴，
∵，
，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的表达式为
将和代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为：．
【拓展探究】存在；
由F是函数与轴的交点，可知，
点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点，
设，，
以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示：
由感悟应用类比可得：，，
∴，
解得：
故此时：；
以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意；
以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示：
由感悟应用类比可得：，，，
解得：
故：
不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形，
综上，点E的坐标为：或．
【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键．
3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或，理由见解析
(3)存在，或，理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质，解方程，求出a和b，再用待定系数法求直线的解析式；
（2）设，由将的面积分为两部分，得到或，再列方程求解即可；
（3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．不难得出，是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线与的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在y轴左侧时，容易得出此时直线与直线关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标．
【详解】（1）解：，
∴，，
，，
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
设，则，
，
，
若将的面积分为两部分，则或，
即或，
∴或，
∴或，
∴或；
（3）解：存在，理由如下：
①当点M在y轴右侧时，
如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．
由题意可知，直线与的交点即为所求的点M．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为
∴，，，，
∴，
解得，，
∴点E坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入得，
，
解得，，
∴直线的函数解析式为，
联立方程，
解得，，
∴点M坐标为，
②当点M在y轴左侧时，
如图，作点E关于y轴的对称点H，连接，
由对称的性质可得，，点H坐标为，
由①可知，，
∴，
∴直线与与的交点即为所求的点M．
设直线的函数解析式为，
将，代入得，
，
解得，，
∴直线的函数解析式为，
联立方程，
解得，，
∴点M坐标为，
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与角度相关的综合问题，一次函数与面积的相关问题，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形解题是关键．
专题05 一次函数的图象与性质（期末复习讲义）
内 容 导 航
明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径
记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区
破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲
题型一 待定系数法求一次函数解析式★★
题型二 根据k、b符号判定图象经过象限★★
题型三 利用增减性比较函数值大小★★
题型四 一次函数与坐标轴交点及面积计算★★
题型五 两直线平行、相交、垂直性质应用★★★
题型六 一次函数图象平移变换题型★★
题型七 含参数一次函数分类讨论★★★
题型八 一次函数与一元一次方程结合★★
题型九 一次函数与一元一次不等式数形结合★★★
题型十 探索函数的图象与性质★★★
题型十一 一次函数恒过定点问题★★
过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点
复习目标
考情规律
一次函数的定义与解析式
能准确判断一次函数的形式，会用待定系数法求解析式
基础必考点，常出现在选择、填空题，是本专题的基础
一次函数的图象与象限分布
能根据的符号，判断一次函数图象经过的象限
高频基础题，多为选择题，易混淆的符号影响
一次函数的增减性
能根据的正负，判断函数的增减性，并利用增减性比较函数值大小
中档常考点，常结合函数值比较、取值范围考查，易忽略的正负
一次函数与坐标轴的交点
能求一次函数与轴、轴的交点坐标，并计算与坐标轴围成的三角形面积
基础计算类核心考点，常出现在计算题、填空题中
两直线的位置关系（平行/相交）
能根据的关系判断两直线是否平行，会求两直线的交点坐标
中档培优考点，多与一次函数综合题结合考查
一次函数的图象平移
能根据 “上加下减常数项，左加右减自变量” 的规律，求平移后的解析式
高频易错点，平移方向与解析式变化易混淆，是期末易错题型
含参数的一次函数讨论
能对的取值进行分类讨论，分析函数图象的变化
培优拔高考点，多为压轴选择题，考查分类讨论思想
一次函数与方程 / 不等式
能利用一次函数的图象解一元一次方程、一元一次不等式
数形结合核心考点，常出现在选择题、填空题，考查图象与代数的转化
k＞0
k＜0
图像
b＞0
b＝0
b＜0
b＞0
b＝0
b＜0
趋势
从左向右看图像呈上升趋势
从左向右看图像呈下降趋势
增减性
y随x增大而增大
y随x增大而减小
与y轴交点的位置
正半轴
原点
负半轴
正半轴
原点
负半轴
经过
的象限
第一、二、
三象限
第一、三象限
第一、三、
四象限
第一、二、
四象限
第二、四象限
第二、三、
四象限
拓展
1）直线与直线平行
2）直线与直线垂直
平移变换
平移方式（m＞0）
函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
图示
与一次方程的关系
方程的解直线与x轴交点的横坐标.
与二元一次方程组的关系
方程组​​的解直线与直线的交点坐标.
与一元一次不等式的关系
1）不等式的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围；
2）不等式的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围；
3）不等式的解集直线位于直线上方的部分
对应的x的取值范围.
解｜题｜技｜巧
x
0
2
3
y
m
9
答｜题｜模｜板
答｜题｜模｜板
1）当比例系数大于0时，自变量与函数值变化趋势相同，简称“大同”
即：k＞0当时，；当时，.
2）当比例系数小于0时，自变量与函数值变化趋势相异，简称“小异”
即：k＜0当时，，当时，.
答｜题｜模｜板
答｜题｜模｜板
x
…
0
1
2
…
y
…
3
1
3
…
x
…
0
1
2
…
y
…
a
3
b
7
…
答｜题｜模｜板
将函数的图像平移不改变k的大小，因此可以将平移后直线上的一点代入求出b的值.如果已知直线向左平移m个单位长度，向上平移了n个单位长度，那么平移后的直线的表达式是.向右或向下平移的情形，将对应的符号取为负号.
…
…
…
…
…
0
1
3
5
…
…
…
…
0
1
3
5
…
…
1
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
2
0
b
0
…