专题02 勾股定理及其逆定理的应用（含实际问题）10大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版+答案

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知识点01 勾股定理定理及逆定理
知识点02 勾股定理与实际问题
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，从实际问题中抽象出几何图形；
（2）确定与问题相关的直角三角形；
（3）找准直角边和斜边，应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解；
（4）求得符合题意的结果.
知识点03 勾股数
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数.
勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；
2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
题型一 勾股定理的分类讨论问题
【典例1】（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知一个直角三角形两边的长分别为1和，则第三边的长为_____．
【答案】或
【分析】分较长边是直角边和斜边两种情况，分别利用勾股定理求出第三边即可．
【详解】解：①当1和都是直角边，则第三边；
②若是斜边，是直角边，则第三边；
综上，第三边的长为或．
【变式1】（25-26八年级下·江西上饶·期中）在等腰中，、、皆为锐角，且，过点作的垂线，垂足为，且，则的长为___________．
【答案】4或6或
【分析】根据是等腰三角形，分三种情况，画出图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得： ，
分三种情况讨论：
情况1：当时，，如下图：
则. 此时所有角均为锐角，符合题意；
情况2：当时，，如下图：
因为，由等腰三角形三线合一得，
所以，此时所有角均为锐角，符合题意；
情况3：当时，如下图：
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，解得，则，
，最大角为锐角，符合题意；
综上的长为4或6或．
【变式2】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________．
【答案】或24
【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解．
【详解】解：解方程，
整理可得，
即，解得，，
当两个根是两条直角边时，斜边长为，
∴此时的周长为；
当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为，
∴此时的周长为．
【变式3】（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：有一个内角的度数为的三角形叫做“折矩三角形”．如图，在中，，，，点P是直线上任意一点，连接．若为“折矩三角形”，则的长为______．
【答案】5或
【分析】根据“折矩三角形”的定义可知为“折矩三角形”有两种情形，①当时，此时点在边上；②当时，此时点在的延长线上，讨论求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∵为“折矩三角形”，
∴必有一个角为，分两种情况讨论：
①当时，此时点在边上，如图，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②当时，此时点在的延长线上，如图，
∴，
在上取一点，使得，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为5或．
题型二 勾股定理与折叠问题综合
【典例1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（ ）
A．3B．C．3或D．3或
【答案】C
【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
②当点D在上且靠近点C的三等分点时，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
综上所述，或．
【变式1】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（ ）
A．12B．24C．36D．48
【答案】B
【分析】由折叠可知，设，则，利用勾股定理建立方程求出的长，进而计算三角形面积．
【详解】解：由折叠的性质可知，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
即，
．
【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合，此时与的比是_________．
【答案】
【分析】设纸的边长为a，利用矩形的边长关系和折叠性质，推导第二次折叠后各线段的表达式．因为要求与的比，所以需要用设定的参数表示出的长度，再通过比例运算得出结果，可能用到勾股定理建立线段间的等量关系．
【详解】设矩形中，，
第一次折叠后点B落在上的处，，且，
∴四边形是正方形，
∴．
第二次折叠后点E与D重合，，
∴，
∴．
设，
则，
∴．
在中，，
∴ ，
代入得 ，
展开整理得，
解得．
∴ ，
∴．
【变式3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，在中，，，，点D为边上的中点，将沿对折，使点C落在同一平面内的点处，连接．则
（1）的长为______；
（2）的长为______．
【答案】
【分析】设交于E，由得，由可求、，在中用勾股定理即可得答案．
【详解】解：设交于E ，如图：
∵点D为边上的中点，，
∴，
∵将沿对折，使点C落在同一平面内的点处，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由上计算得到，，
∴，，
∵，
∴，
在中，．
【变式4】（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，在矩形纸片中，，，边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是_____，线段的长是_____．
【答案】 10
【分析】添加辅助线，在中，使用勾股定理即可求解的长度，再使用勾股定理可求解的长度，再次使用勾股定理即可求解的长度．
【详解】解：过点M作交于点P，如图，
∴，
设，
根据翻折的性质可知，，
∴，
在中，，
即，解得，
则线段的长是10；
设，
根据翻折的性质可知，，
∴，
在中，，
即，解得，
则线段的长是5，
在中，，
则线段的长是．
题型三 勾股定理的最短路径问题
【典例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开后，、、三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出为最短距离，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：将半圆面展开，如图所示，
∵，，．
∴在中，由勾股定理得．
答：他滑行的最短距离为．
【变式1】（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）

【答案】（1）25；（2）厘米；（3）；
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得：．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点，
连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，
，，，，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为．
【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题
【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．
方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由．

【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；
【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3）
【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解．
（1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解；
（2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可；
（3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可．
【详解】解：（1）由轴对称的性质可得，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点；
（2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，最小值为
∵，，
∴，
∵，，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴最小值为；
（3）解：∵，
∴代数式的值表示点到点和点的距离之和，
设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，
∴，
∴代数式的最小值为．
【变式3】（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践
【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄．
【包装准备】
如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等．
【问题解决】
(1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______．
(2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键．
（1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案．
（2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：分三种展开方式求解：
①前与右：；
②左与后：；
③前与下：；
∵，
∴胶带的最短长度为：，
故答案为：．
（2）如图所示为长度最短的部分展开图：
如图，连接，，易得．
由题可得．
在中，由勾股定理，得．
所以，这根绳子的最短长度为．
题型四 勾股定理逆定理的综合判定
【典例1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离．
例如，若点，，则．
(1)已知点，，求A，B两点间的距离；
(2)已知点，，，判断的形状．
【答案】(1)
(2)是直角三角形
【分析】（1）直接代入公式求解；
（2）由两点间的距离公式分别求解，再由勾股定理逆定理求解．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，，
∴，
∴
∴是直角三角形．
【变式1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________．
【答案】/45度
【分析】如图，取格点E，连接，，证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用平行线的性质求解．
【详解】解：如图，取格点E，连接，
根据题意得，，，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
由网格得，
∴．
【变式2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，为第一象限内一点，连，，且，．
(1)连接，求的长；
(2)求四边形的面积
【答案】(1)
(2)
【分析】（）利用勾股定理解答即可求解；
（）由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据四边形的面积解答即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵，，，
∴ ，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积．
【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）如图．四边形中，，连接，且，若，求的长．
【答案】
【分析】根据，，，利用勾股定理求出；过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
过点作交延长线于．
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
题型五 勾股定理与网格问题
【典例1】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．边上的高为2
【答案】C
【分析】根据勾股定理即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；利用三角形面积公式即可判断C；设边上的高为h，根据三角形面积公式求出h，即可判断D．
【详解】解：A．，故A正确；
B．∵，，
∴
∴，故B正确；
C．∵
∴
∴，故C错误；
D．∵
∴
设边上的高为h
∴，即
∴
∴边上的高为2，故D正确．
【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：∵轴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴M点所表示的数为：．
故选 C．
【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____
【答案】/度
【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可；
【详解】解：取格点F，连接，
根据勾股定理，得，，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
，
．
【变式3】（25-26八年级下·广西梧州·期中）在网格中，小正方形的边长为1个单位长度．
(1)如图1，点A在格点上，将点A向右平移4个单位，再向下平移3个单位长度得到点P，在图1中网格中标出点P，则线段的长度为___________；
(2)如图2，点A，点B的坐标分别为，；点C为x轴上的一点，是以为斜边的直角三角形，在图2中标出点C，则点C的坐标是___________．（写出解答过程）
【答案】(1)图见解析，5
(2)图见解析，
【分析】（1）根据平移规则画出点，勾股定理求出的长即可；
（2）设点C的坐标为，根据是以为斜边的直角三角形，结合勾股定理列出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：如图1，点P为所求，；
（2）解：如图2，点C、为所求，，
设点C的坐标为
，
，，
是以为斜边的直角三角形
，
即
整理得：，
解之得：，
∴点C的坐标是或.
题型六 勾股定理与 “赵爽弦图” 模型
【典例1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，图中的阴影部分的面积为，那么S的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正方形的性质，结合三角形全等的性质，可得阴影部分为四个全等的小直角三角形和一个小正方形，由勾股定理可得小直角三角形的直角边长和小正方形的边长，即可得阴影部分的面积．
【详解】如图，根据题意可得正方形的面积为，，四边形为正方形，，
∴，，，，
∴，
∴，
在大直角三角形中，，
∴，
∴，，
∴．
【变式1】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）“弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大的正方形，汉末数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连接并延长交于点M、交于点N．若，则以下说法正确的有（ ）个．
① ② ③ ④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由得，即可证明，从而可判断①正确；再证明即可判断②正确；由等腰三角形的判定易得，在中利用勾股定理可求得，从而可判断③正确；由得，进而有，在中由勾股定理即可求得，从而可判断④正确．
【详解】解：由题意得：，，；
∵，，
∴，
即点G是的中点，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∵，
又∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
设，则，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：
即，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故④正确．
综上，四个全部正确．
【变式2】（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果．
【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M，
∵，，
∴，
∵是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴中，．
【变式3】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，延长至点，使得，记两点的水平距离为，垂直距离为，正方形的面积为的面积为．若，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，，则，依题意，，根据题意得出，，进而求得，即可求解．
【详解】解：设，，则，
依题意，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
∵正方形的面积为的面积为，，
∴，
∴，,
∴（负值舍去），
故答案为：．
【变式4】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】
【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题：
【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程；
【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值；
【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积．
【答案】操作：见解析；应用：；拓展：飞镖状图案的面积为24
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活利用面积法和勾股定理是解答本题的关键．
[操作]利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论；
[应用]运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
[拓展]可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解．
【详解】[操作]
大的正方形的面积可以表示为，
大的正方形的面积又可以表示为，
，
．
[应用]
是边上的高，
，
，，，，
，
在中，，
在中，，
，
即，
解得；
[拓展]
飞镖状图案的面积为24．
飞镖模型的周长为24，观察可知，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得，
，
飞镖状图案的面积．
题型七 勾股定理的实际应用（培优情境）
【典例1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处．
(1)求小凳子顶点与墙面的距离；
(2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度．
【答案】(1)小凳子顶点与墙面的距离为
(2)小凳子宽的长度为，木杆的长度为
【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解．
（2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则，
由题意可知，，
由勾股定理得：，
答：小凳子顶点与墙面的距离为；
（2）如图②，延长交墙面于点，则，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为．
【变式1】（25-26八年级下·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间．
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
【答案】(1)5小时
(2)符合航行安全标准，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答．
（2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则小时，即可作答．
【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口B在灯塔C的南偏西方向上，
∴，
∵港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里
（海里），
∵货船的航行速度为20海里/小时
（小时），
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
（2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作交于D，
在上取两点M，N使得海里
∵，
∴（海里），
∴（海里），
∵，
∴是等腰三角形
∵
∴海里，
∴（小时）
∵，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
【变式2】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域．

(1)求证：；
(2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由；
(3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？
【答案】(1)见解析
(2)海港C会受到台风影响，理由见解析
(3)台风持续影响该海港
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形；
（2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴；
（2）解：海港C会受到台风影响，理由如下：
如图所示，过点C作于D点，

∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
（3）解：由（2）得，
如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，
，
∴，
∵台风的速度为，
∴，
∴台风影响该海港持续的时间有．
【变式3】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）按要求完成以下问题
(1)教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度；
(2)解决问题：如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由．
【答案】(1)答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为．
(2)叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可．
（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出；
（2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
∴
∵梯子底端沿向外移动，
∴，
∴，
∴．
答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为．
（2）解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下：
过点作于点，
由题意可得，，，，
叉车高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．
【变式4】（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理．
(2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长．
(3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)图形见解析，的距离为16千米
【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论；
（2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值.
（3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答．
【详解】（1）解：∵
，
整理得：
（2）解：设
∵
∴
∴和都是直角三角形
在中，
在中，
∴
∵，，
则
解得，即
在中，由勾股定理，得.
（3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求，
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
，
，
解得
题型八 勾股定理与特殊三角形综合
【典例1】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题。
我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离；
(1)根据上面结论，已知点，，求的长；
(2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离；
(3)已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形．
【答案】(1)10
(2)；或
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）根据给出公式求解；
（2）根据坐标的特征，利用公式求解；
（3）根据等腰三角形的定义，利用公式分两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：，，
∴；
（2）解：设点A横坐标为t，
∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，
∴点A的坐标为，
∴；
①当点，在x轴上时，则，
∴；
②当点，在y轴上时，则，
∴；
③当平行y轴（或垂直x轴）时，则，
∴；
④当平行x轴（或垂直y轴）时，则，
∴；
综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或；
（3）解：设点Q的坐标为，
∵点，，
∴，，，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴点Q的坐标为或；
②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴点Q的坐标为或，
综上所述：点Q的坐标为或或或．
【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期中）解决以下问题：
(1)如图1，和都是等边三角形，且A，C，E在一条直线上．判断与是否相等，并证明你的结论；
(2)【初步探究】
学习小组在没有改变图形的情况下，进行了如下探究：如图2，若与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论的序号是__________；
(3)【深入探究】
学习小组通过改变点的位置，得到如下探究：如图3，若A，C，E不在一条直线上，其他条件不变，且始终保持．连接、、，试判断以、、的长为边的三角形的形状，并说明理由；
(4)【拓展应用】
学习小组通过改变三角形的形状，经过深入思考，进行了如下探究：如图4，若A，C，E不在一条直线上，和是以和为直角的等腰直角三角形，且，连接、，判断的值是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，见解析
(2)①②③
(3)等边三角形，见解析
(4)的值是定值，且为272
【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可得证．
（2）利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，证明即可．
（3）先证明，再根据等边三角形的判定证明即可；
（4）连接，，两线交于点O，交于点M，利用三角形全等，垂直的判定，勾股定理解答即可；
【详解】（1）解：；理由如下：
∵和均是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等边三角形；
∴，
∴，
∴，
故②③都正确；
无法证明，
故④错误．
（3）解：∵和均是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故以、、的长为边的三角形是等边三角形．
（4）解：连接，，两线交于点O，交于点M，
∵和均是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
根据勾股定理，得，
，
故，
∵，
∴，
故的值是定值，且为272．
【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）在中，，，点，点分别为，延长线上一点且，连接．
(1)如图1，当时，
①求的长；
②尺规作图：作的角平分线，将线段绕点顺时针旋转大小得到线段（要求：保留画图痕迹，不写作法）
③问题②中，若射线与射线交于点，则线段的长为______；
(2)过点作交于点（不需要尺规作图），当为直角三角形时，求的长．
【答案】(1)①；②见解析；③
(2)或
【分析】（1）①根据直角三角形的性质可得，，得到，利用勾股定理求出，易证是等边三角形，推出即可求解；②根据角平分线的作法及作一个角等于已知角即可作图；③由①知，，，求出，由②作图可得，易证，推出，再根据等边三角形的性质可得，，勾股定理求出，由即可得到结果；
（2）根据题意，分和，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵在中，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②如图所示为所求：
③由①知，，，
∴，
由②作图得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
当时，如图，过点作于点，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
∴，
∴，即，
∴，即，
解得或（舍去），
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，即，
∴，
∵，
∴平分，
∵，
∴；
当时，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
综上，的长为或．
题型九 勾股定理与方程思想综合
【典例1】（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ．
【答案】5
【分析】设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解．
【详解】解：如图所示，过B作于F点，设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【变式1】（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求点B的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点作，根据角平分线的性质定理得到，即可得证；
（2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义求出，将绕点旋转，得到，证明，得到，可知，设，正方形的边长为，则，点坐标为，根据勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）证明：∵过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D，
∴，
∴四边形为矩形，
过点作，
∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，，
∴，
∴矩形为正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，
∴，
∴，
∴，
将绕点旋转，得到，
∴，，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，正方形的边长为，
则，点坐标为，
∵，
∴，
即，
在中，，
由勾股定理：，
且，
∴，
解得，
∴．
【变式2】（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)当t为何值时，？为什么？
【答案】(1)
(2)或，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可；
（2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，
∴，，
∴当时，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴当t为6时，四边形是平行四边形；
（2）解：当或时，，理由如下：
作于点，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
当时，，
分2种情况：
①当点在点左侧时，则，解得；
②当点在点右侧时，则，解得；
综上：当或时，.
题型十 勾股定理与几何最值问题
【典例1】（25-26八年级下·北京·期中）阅读下列材料：
如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离．
(1)已知点，点．求A，B两点之间的距离；
(2)求代数式的最小值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）根据题干中的公式求解即可；
（2）根据题意将代数式变形为，则代数式可看作点到点的距离与点到点的距离之和，当点在点和点连接的线段上时，距离之和最小，最小为点和点之间的距离，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵点，点
∴；
（2）解：
可将代数式的值看作点到点的距离与点到点的距离之和，
当点在点和点连接的线段上时，距离之和最小，最小为点和点之间的距离，
∵
的最小值为．
【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，则的最大值为______．
【答案】
【分析】将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可证明，得，可得的最大值为10，即可求解．
【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，
由旋转可得，，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴当，，三点共线时，取得最大值10，
∵是等腰直角三角形，
∴当取最大值10时，，
∴，即的最大值为．
【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，点是外一点，，，且，，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，过作，且，则，所以，证明，则，当三点共线时有最大值，为，如图，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，且，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当三点共线时有最大值，为，如图，
∵，，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则的最小值是__________．
【答案】2
【分析】将绕点顺时针旋转，得到，连接，，可得当共线时，的值最小，即等于的长，则，过点作交的延长线于点，设，可得，在中，利用勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，
由旋转得，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当共线时，的值最小，即等于的长，
∴，
过点作交的延长线于点，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴的最小值是2．
【变式4】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：
几何应用1：如图2，在边长为2的等边中，D，E分别是、的中点，是上的一动点，则的最小值为_____；
几何应用2：如图3，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键；
几何应用1：连接，由题意易得，则点B、C关于线段对称，然后可得当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，进而问题可求解；
几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，由题意易得，，，，然后同理可得的最小值为线段的长，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：几何应用1：连接，如图所示：
∵是边长为2的等边三角形，D，E分别是、的中点，
∴，
∴点B、C关于线段对称，
∴，
∴，
∴当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为；
几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，如图所示：
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
同理可得：的最小值为线段的长，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解．
【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，
∵，，
∴线段可以看作由线段平移得到，
∴，
∴，
过点作于点，则，，
∴，
∴，
∴由经过天桥走到的最短路线的长为．
2．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，，．过点C作，且，连接，称为第1次操作；过点作，且，连接，称为第2次操作；过点作，且，连接，称为第3次操作；……，则第2026次操作后，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理，计算，确定其中的规律，求解即可；
【详解】解：因为，．
所以，
因为，且，
故，
因为，且，
故，
因为，且，
故，
……，
故，
则第2026次操作后，的长为
3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可.
【详解】解：∵长方形，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，
.
4.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数a，b，c称为勾股数．
（1）若5，13，k是一组勾股数，则__48__；
（2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在表格中．则当时，的值为__49__．
【答案】(1)12
(2)200
【分析】（1）由题意可分为当k为最大边时，当13是最大边时，然后分类进行求解即可；
（2）由表格得规律：，根据勾股定理可得，然后问题可求解．
【详解】（1）解：当k最大时，，不是正整数，舍去；
当13是最大边时，由勾股定理得，
解得或（舍去），符合题意；
（2）解：由表格得规律：，根据勾股定理得：，
将代入得，，
解得，
∴，
∴．
5．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______．
【答案】2
【分析】点在线段上运动，当时，线段有最小值，利用网格计算的面积，再由，计算出的最小值．
【详解】解：点在线段上运动，当时，线段有最小值，
而，
，
得．
期末重难突破练（测试时间：20分钟）
1．（20-21八年级下·山东济宁·期中）阅读下列一段文字，然后回答问题．
【阅读】
已知平面内两点，，则这两点间的距离可用下列公式计算：
例如：已知，，则这两点间的距离．
特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或．
【解答】
（1）已知，，试求，两点间的距离；
（2）已知，在平行于轴的同一条直线上，点的横坐标为5，点的横坐标为-1，试求，两点间的距离；
（3）已知的顶点坐标分别为，，，你能判定的形状吗?请说明理由．
【答案】（1）；（2）6；（3）是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据公式计算即可得出答案；
（2）根据公式即可得出答案；
（3）根据两点间的距离公式分别求出和的长度，再判断即可得出答案.
【详解】解：（1）由题意可得：；
（2）∵，在平行于轴的同一条直线上
∴；
（3）
∴
∴为直角三角形.．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟悉并掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键.
2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组．
例如：
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．
【学以致用】：
(1)因式分解：．
【拓展延伸】
(2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积．
【答案】(1)；
(2)48或．
【分析】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式；
（2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：
（2）因为，
所以，
即，
所以，
因为a，b，c为等腰的三边长，
所以或，
当时，腰长为，底边为，
由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方，
底边上的高是：，
面积是：，
当时，腰长为，底边为，
同理可得：底边上的高是：，
面积是：
答：等腰的面积是48或
3．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，点为边中点，连接、交交于点．若且平分．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长度；
(3)若为直角三角形，求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得，则，根据角平分线的定义可得，可得；
（2）过点作交于点，可得，根据勾股定理即可求得；
（3）分类讨论，即或，分别作图即可解答．
【详解】（1）证明：，点为边中点，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
如图，过点作交于点，
，
，
，
，，，
∴，
∴四边形是长方形，
，
；
（3）解：当时，如图，
，
平分，即，
，
，
；
当时，如图，过点作于点，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
，
综上，为或．
4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记．
(1)用含的代数式表示．
(2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长．
(3)如图2，延长交于点F，若，求的长．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余得出；
（2）分两种情况讨论：，，分别求出结果即可；
（3）延长至点G使得，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
∴，
又，
∴，
，
；
（2）解：若，
，
∴，
，
由勾股定理得：；
若，
，
∴
∴根据解析（1）可得：，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴，
∴ ；
（3）解：如图，延长至点G使得，
，
，
，
，
∴，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
期末综合拓展练（测试时间：20分钟）
1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G．
(1)如图1，若为上的高线，求的长．
(2)如图2，若为的角平分线，求的长．
(3)如图3，若为上的中线，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果；
（2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果；
（3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵在纸片中，，，，
∴，
∵为上的高线，
∴，
∴，
∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合，
∴；
（2）解：如图：作交于点，交于点，
，
∵为的角平分线，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵在纸片中，，，，
∴，
∵为上的中线，
∴，，
如图，作，交于点，
，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，
设，则，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
2．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】
（1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米，理由见详解
【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒
（1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明；
（2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒
【详解】解：（1）∵点为直角边的中点，
∴，
∵在中，为斜边，
∴，
，
在中，，
∴，
即，
∴，
即；
（2）观景小道的长度是为定值，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∴米，
∴观景小道的长度是为定值，定值为650米．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）【问题背景】已知四边形，对角线，垂足为．
（1）如图1，结合勾股定理猜想：________（填“”或“”或“”），并加以证明；
【拓展延伸】（2）我们学习了图形的变换，它是解决问题的有效策略．
①如图2，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图3．请你结合整个变化过程，直接写出图3中长方形内一点为端点的四条线段之间的数量关系________；
②如图4，在四边形中，对角线，若，，则的最小值是________；
【结论应用】（3）如图5，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点．已知，，求的长．
【答案】（1）；（2）①；②（3）
【分析】（1）由，根据勾股定理得，，，，则；
（2）①由，证明，再结合图形变换可得答案；
②将沿方向平移至，使点与点重合，四边形是长方形，求得，再进一步解答即可．
（3）先证明，再结合（1）求解即可．
【详解】解：（1）证明：于点O，
，
，，，，
，，
故答案为：．
（2）①如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
②如图，将沿方向平移至，使点与点H重合，
由平移的性质知：，，，，
∵，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∵，
∴的最小值为．
（3）∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
∴，
∵，
，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
专题02 勾股定理及其逆定理的应用（期末复习讲义）
内 容 导 航
明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径
记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区
破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲
题型一 勾股定理的分类讨论问题：★★★
题型二 勾股定理与折叠问题综合：★★★
题型三 勾股定理的最短路径问题：★★★
题型四 勾股定理逆定理的综合判定：★★★
题型五 勾股定理与网格问题：★★★
题型六 勾股定理与 “赵爽弦图” 模型：★★★
题型七 勾股定理的实际应用（培优情境）：★★
题型八 勾股定理与特殊三角形综合：★★★
题型九 勾股定理与方程思想综合：★★★
题型十 勾股定理与几何最值问题：★★★
过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效
核心考点
复习目标
考情规律
勾股定理的直接计算
能利用勾股定理计算直角三角形的边长，区分斜边与直角边
基础必考点，常出现在选择题、填空题，是所有几何计算的基础
勾股定理的逆定理判定
能利用逆定理判断三角形是否为直角三角形，识别勾股数
中档常考点，多与三角形边长计算结合考查，需注意 “勾股数” 的定义
勾股定理的分类讨论
能根据直角边 / 斜边的不确定性，分情况讨论求边长
高频易错点，容易漏解，常出现在填空题的压轴位置
勾股定理与折叠问题
能利用折叠的性质 + 勾股定理，求折叠后线段的长度
中档高频考点，常出现在矩形、三角形的折叠题中，是期末几何计算的核心题型
勾股定理的最短路径问题
能通过展开立体图形（圆柱 / 长方体），利用勾股定理求最短路径
培优常考点，考查空间想象能力，易忽略 “展开方式” 的分类讨论
勾股定理的实际应用
能利用勾股定理解决方位角、航海、测量等实际问题
中档应用题，需先建立直角三角形模型，再用勾股定理计算
勾股定理与网格问题
能在网格中构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度或角度
创新题型，常结合网格背景考查，是区分度较高的考点
勾股定理
勾股定理的逆定理
条件
在Rt△ABC中，∠C＝90°
在△ABC中，a2+b2=c2
结论
a2+b2=c2
∠C＝90°
区别
1）勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，即a2+b2=c2；
2）勾股定理是直角三角形的性质.
1）勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2为条件，进而得到这个三角形是直角三角形.
2）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法.
联系
1）两者都与三角形的三边有关且都包含等式；
2）两者都与直角三角形有关系；
3）两者是互逆定理.
易｜错｜点｜拨
直角三角形中已知的两边没有明确是直角边还是斜边时，必须分类讨论，不能漏掉一种情况.
答｜题｜模｜板
解题方法：解决翻折问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段、角与已知线段、角联系到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或列方程解决问题.
【小技巧】不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解.
答｜题｜模｜板
答｜题｜模｜板
在实际问题中，往往需要利用数学建模思想抽象出直角三角形，在无法直接计算时，应设未知数，
运用勾股定理找相等关系建立方程.
6
8
10
12
14
…
8
15
24
35
48
…
10
17
26
37
50
…