专题02【勾股定理】期末考点讲义（21大核心题型精析实战练习）2026学年人教版数学八年级下学期含答案

这是一份专题02【勾股定理】期末考点讲义（21大核心题型精析实战练习）2026学年人教版数学八年级下学期含答案，共10页。试卷主要包含了勾股定理，勾股定理的逆定理，互逆命题 & 互逆定理，勾股定理的证明，易错点提醒等内容，欢迎下载使用。
重点知识◆梳理
知识点一、勾股定理
1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.公式表达：设直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2。
公式变形：求斜边：c =a2+b2；求直角边：a=c2−b2,b=c2−a2​。
3. 适用条件
只适用于直角三角形，分清直角边、斜边（斜边最长）。
4. 常见勾股数（整数组）
3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17
知识点二、勾股定理的逆定理
1.内容：如果三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。
2.判定步骤
① 找最长边c；
② 计算较短两边平方和a2+b2；
③ 比较：若a2+b2=c2，则为直角三角形。
3. 拓展判定
a2+b2>c2→ 锐角三角形
a2+b2；（ii），
（ii）若，则．
（2）若，则>；证明如下：
如图，过点A作于点D，设，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，即．
∵
∴
若，则．证明如下：
如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，即．
∵，
∴．
题型16判断是否受台风影响
1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（ ）
A．15秒B．13.5秒C．12.5秒D．10秒
【答案】A
【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，
∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，，
∴，
∵，
∴A处受噪音影响的时间为：．
故选：A
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
2．如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是______米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为______秒（，结果精确到秒）．
【答案】 400
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，则，利用含的直角三角形的性质得到，结合题意可得到当米时，居民楼不会受到噪音的影响，即可求出的最小值；在上取一点，使得米，利用勾股定理求出米，结合题意即可求出居民楼受噪音的影响时间．
【详解】解：如图，作交于点，则，
在中，，
，
由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响，
即当米时，居民楼不会受到噪音的影响，
居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响；
如图，在上取一点，使得米，
当米时，米，
米，
居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米，
72千米/小时20米/秒，
居民楼受噪音的影响时间约为（秒）．
故答案为：400；．
3．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由．
【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析
【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论．
【详解】解：如图，过点C作于点D．
，，，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴在进行爆破时，公路段有危险．
题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积
1．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．108B．114C．122D．158
【答案】B
【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴四边形的面积．
2．如果三角形的三边长分别为，4，，则此三角形的面积是______．
【答案】2
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算面积即可．
【详解】解：∵ ，，
∴．
∴该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和．
∴三角形的面积为：．
3．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值．
【答案】线段的最小值为
【分析】先运用勾股定理的逆定理得出，再结合垂线段最短，得出当时，的值最小，最后运用等面积法列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴是直角三角形且
当时，的值最小
则
∴
∴线段的最小值为．
题型18勾股定理与无理数
1．如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为点，，在数轴上表示的数分别为，，，
所以，
因为，所以，
所以，
因为在数轴上表示的数为，
所以在数轴上表示的数为．
2．如图，在数轴上点表示的实数是__________．
【答案】
【详解】解：由题意得，，
∴在数轴上点表示的实数是．
3．在数轴上画出表示和的点．
【答案】见详解
【分析】在数轴上找到数字3所对应的点C，过点C作数轴，截取，运用勾股定理得，再以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，同理得出对应的点是点，即可作答．
【详解】解：如图所示，在数轴上找到数字3所对应的点C，过点C作数轴，截取，连接，
根据勾股定理，得，
以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，
则对应的点是数轴上的点A，
同理：的作法与上面类似，
则对应的点是数轴上的点．
题型19最短路径、距离最值问题
1．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解．
【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，
∵，，
∴线段可以看作由线段平移得到，
∴，
∴，
过点作于点，则，，
∴，
∴，
∴由经过天桥走到的最短路线的长为．
2．一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______．
【答案】
【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度．
【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为，
如下图，其侧面展开图长为，宽为，
由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为，
蚂蚁爬行的最短路径长度为．
3．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，．
请结合所学知识，解决下列问题：
(1)【基础应用】
观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果）
(2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？
(3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）．
【答案】(1)1000
(2)自动售货点应修建在离点C100米处
(3)
【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长；
（2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可；
（3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可；
【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，；
（2）解：设，则，
∴，，
∵到A，B两处的距离相等，
∴，
∴，
解得，
∴自动售货点应修建在离点100米处；
（3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，，
可知四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，
即到A、B两处的距离之和最小值为．
题型20选址、距离相等类问题
1．如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（ ）．
A．4B．5C．7D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于于，列式，解出的值，即可作答．
【详解】解：由题意知，，
设，则，
因为于于，
所以在与中，
由勾股定理得，，
，
解得，
，
故选：C．
2．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键．
由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：，
当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，
根据勾股定理得：．
∴直杆的长度a的取值范围是．
故答案为：．
3．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为．
(1)求快递投放点B，C之间的距离；
(2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴快递投放点B，C之间的距离为；
（2）解：设，
∴，
在中，，
∴，
则有，解得，
∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为．
题型21勾股定理逆定理的拓展问题
1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
2．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可．
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一个因式为，
，
∴另一个因式为．
3．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且．
(1)求证：；
(2)求修建的桥梁的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证；
（2）根据即可求解．
【详解】（1）证明：由题可知，，．
∵，
即，
∴是直角三角形，且，
∴．
（2）解：∵，，，，
∴．
答：修建的桥梁CD的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．
✍实战演练
一、单选题
1．在中，若，，，则（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键．
【详解】解：，，，
；
故选：C．
2．在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，AB⊥x轴于点B，
∵A（3，2），
∴OB=3，AB=2，
∴OA=，
∴点A（3，2）到原点的距离是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
3．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（ ）
A．6B．5C．8D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案．
【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，
∴由勾股定理得：；
故选：D．
4．课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）
A．①行，②不行B．①不行，②行C．①，②都行D．①，②都不行
【答案】A
【分析】根据图①可以得到（a+b）2＝ab×4+c2，然后化简即可；根据图①，无法确定a、b、c的关系．
【详解】解：由图①可得，
（a+b）2＝ab×4+c2，
化简，得：a2+b2＝c2，
故图①可以证明勾股定理；
根据图②中的条件，无法证明勾股定理；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意可知，是直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，则，
∴，
∴小巷的宽为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．
6．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：．
∴该河流的宽度为．
故选：C．
7．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意得：，，，
则，
即该竹竿的顶端离地竖直高度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
8．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为．
【详解】解：由题意得，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（ ）
A．10B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】本题考查与直角三角形的三边有关的图形的面积，根据题意，得到小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：中间小正方形的边长，
∴小正方形的面积为：；
故选C．
10．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据勾股定理求出的长度即可判断A，B，C选项，然后利用勾股定理逆定理得到，最后根据度角直角三角形的性质即可判断D选项．
【详解】根据勾股定理可得，，故A选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，，故B选项正确，不符合题意；
根据勾股定理可得，，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
11．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
，，
，
，
，，
，
为直角三角形，且，
，
故选：A．
12．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键．
首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】解：∵，中为上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
，
∴，
故选：D．
二、填空题
13．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________．
【答案】12
【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．
【详解】解：如图，
∵，，
，
∴，
∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，
同理可证FG2+LK2=HL2=4，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．
14．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为_______．

【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积．
【详解】解：连接，

∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
15．如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________．
【答案】275
【分析】本题考查求最短路径问题—勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
每级台阶的宽度和高度分别是和，
台阶平面展开图为长方形，长，宽，
蚂蚁从A点沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：，
故答案为：275．
16．甲、乙两艘客轮分别用和速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________．（只填序号）
①北偏西 ②南偏西 ③南偏东 ④南偏西
【答案】①/③
【分析】作出图形，根据勾股定理逆定理证明和是直角三角形，再利用角的和差即可求解．
【详解】解：如图，O表示港口，
根据题意得：OA=20×40=800，OB=15×40=600，AB==1000，
∴OA2+OB2=AB2，
∴是直角三角形，且∠AOB=90°，
同理，是直角三角形，且=90°，
∵甲客轮沿着北偏东的方向航行，即，
∴或等于60°，所以乙客轮的航行方向可能是北偏西 或南偏东 ．
故答案为：①或③
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
三、解答题
17．如下图，，，，点在边上，点在边上，交于点．若，，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定等知识，证明为等腰直角三角形是解题的关键．
根据平行线的性质可得，进而可求出，从而为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：，，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
18．如图是某校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，得到体育馆的坐标为，艺术楼的坐标为，教学楼和实验楼的位置都在格点上．
(1)在图中画出符合题意的平面直角坐标系；
(2)若小丽的位置对应着坐标，求小丽到教学楼的距离．
【答案】(1)见详解
(2)5
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，两点之间的距离，正确得出原点位置是解题关键．
（1）根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案；
（2）结合（1）得出教学楼的位置对应的坐标，两点之间的距离公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵体育馆的坐标为，艺术楼的坐标为，
如图，建立坐标系如下：
（2）解：∵小丽的位置对应的坐标，教学楼的位置对应的坐标，
故小丽到教学楼的距离．
19．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可．
【详解】解：如图，由题意可得，，
利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为，
∴地毯面积为，
答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶．
20．如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？
【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险．
【分析】由勾股定理解得BD的长，继而解得台风从B点移到D点的时间，即可解得BE的长，及从点B到点E的时间，据此解题．
【详解】解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240(km），
则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点，
如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小时），
∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米
(2)72千米小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度路程时间，即可判断．
【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：
由题意可得：米，米，
在中，
（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，
小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
22．如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）
【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案．
【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，
由题意得，，
∴由勾股定理得；
如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，
由题意得，，
∴由勾股定理得；
如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，
由题意得，，
∴由勾股定理得；
∵，
∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5．
23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染．
(1)求点C到铁路的距离；
(2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长．
【答案】(1)48米
(2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识．
（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题．
（2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题．
【详解】（1）解：过点C作于点D，如图．
由题意，得．
，
．
是直角三角形，，
，
．
答：点C到铁路的距离为．
（2）解：，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则．
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
24．有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，
（1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得；
（2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论．
正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键．
【详解】（1）解：连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
，
四边形草地的面积，
答：四边形草地的面积为．
题型1.直角三角形边长直接计算
题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算
题型3.勾股树及三边图形面积计算
题型4.网格中求线段长度
题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形
题型6.求梯子滑落高度
题型7求旗杆高度
题型8求河宽
题型9解决水杯中筷子问题
题型10求台阶上地毯长度
题型11求小鸟飞行距离
题型12网格中利用逆定理判定直角三角形
题型13勾股定理与折叠问题
题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差
题型15线段平方关系证明题
题型16判断是否受台风影响
题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积
题型18勾股定理与无理数
题型19最短路径、距离最值问题
题型20选址、距离相等类问题
题型21勾股定理逆定理的拓展问题
实战演练