专题02 勾股定理-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲+练习（人教版）

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题型一：利用勾股定理求线段长（高频）
1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，若，则 ．
【答案】13
【分析】根据角的平分线性质定理，得，根据勾股定理得，解答即可．
本题考查了角的平分线性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵是的角平分线，分别是和的高，
∴，
根据勾股定理得．
故答案为：13．
2．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，是边上除点外的任意一点，则 ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理；作，根据等腰三角形的性质得再根据勾股定理得，然后结合可得答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：36．
3．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合， 若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键；先由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，再由折叠的性质可得，，再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，进行计算即可得到答案，
【详解】解：在中，，，
，，
，
，
，
由折叠知，，，
在中，，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，的平分线交于点D，点E是边的中点，，连接DE，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作于点H，过点B作于点G，设，则，根据等腰三角形的性质得出，则，通过证明，得出，进而得出，最后根据勾股定理得出．
【详解】解：过点A作于点H，过点B作于点G，
∵平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶．
5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求解即可．
【详解】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
6．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面于点，在主梁上的点拉两条斜拉索，，经测量，，，，求主梁上的点到桥面的高度．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，由勾股定理可得：，，可得，再建立方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴，，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
解得：，
．
∴主梁上的点到桥面的高度．
7．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，在中，是边上的高，，求的长．
【答案】6
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积．利用面积法求得斜边的长度，然后在中，利用勾股定理来求线段的长度．
【详解】解：如图，在中，是边上的高，，，
，即，
解得．
又在中，，，
．
线段的长度是6．
8．（24-25八年级上·福建漳州·期中）【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度；
(2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值；
【答案】(1)
(2)9
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
（1）由勾股定理得到，根据等面积法即可求解；
（2）在中，由勾股定理，得 ，在中，由勾股定理，得，由此列式即可求解．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
解得，；
（2）解：在中，由勾股定理，得 ，
在中，由勾股定理，得，
∴，
整理得，，
解得，．
题型二：勾股定理与等腰三角形（高频）
9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，，点共线．若，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉全等三角形的判定和性质，判定，得到．
过作于，过作于，由等腰三角形的性质求出，，由余角的性质推出，判定，得到，由勾股定理求出，得到．
【详解】解：过作于，过作于，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
10．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，是边上除点外的任意一点，则 ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理；作，根据等腰三角形的性质得再根据勾股定理得，然后结合可得答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：36．
11．（24-25八年级上·广东清远·期中）在等腰三角形中，，，则边上的高是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用和等腰三角形的性质，根据题意作出高线，根据三线合一可得，进而在中，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图所示，过点A作于点，
，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质．如图1，作于，则，由勾股定理得，，由题意知，当是直角三角形时，，分①在上，②在上，两种情况求解即可．
【详解】解：如图1，作于，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
由题意知，当是直角三角形时，，
①当点在上时，如图1，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴；
②当点在上时，如图2，，
∴．
∴．
∴．
∴，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
13．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在等腰中，，．
(1)点A的坐标是______；
(2)若点P在y轴上，且为等腰三角形，求满足条件的所有点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质运用分类讨论的思想解题是关键．
（1）过点A作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得点A的坐标；
（2）分三种情况进行讨论：当时；当时；当时；分别进行计算即可．
【详解】（1）过点A作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴点A的坐标的坐标为，
故答案为：；
（2）∵点P在y轴上，且为等腰三角形，
∴当时，点的坐标为或；
当时，如图，过点A作于点，
此时，
∴点的坐标为；
当时，如图，过点A作于点，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即，
∴点的坐标为；
综上所述：点P的坐标为或或或．
14．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为秒．
(1)的长为____；（用含的代数式表示）
(2)当的面积是12时，求t的值；
(3)若点P在的角平分线上，求的值；
(4)在整个运动中，直接写出是等腰三角形时的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)t的值为
(4)或或4
【分析】（1）根据题意列代数式可求得答案；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
（3）根据角平分线的定义可得，进而证明，设，则，根据勾股定理解答即可；
（4）分作为底和腰两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：已知点从点出发，以每秒个单位长度的速度运动，
点运动的长度为：；
故答案为：；
（2）解：的面积是且，
，
．
当时，，
，解得；
当时，，
，解得；
综上，或3
（3）解：过点作于点，如图所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
点P在的角平分线上，
，
，，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
即若点P在的角平分线上，则t的值为；
（4）解：当作为底边时，如图所示：

则，设，则，
在中，，
，
解得：
此时；
当作为腰时，如图所示：
，此时；
时，
，
，
此时，
综上分析可知，t的值为或或4．
【点睛】本题主要考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）是等边三角形，E是边上的一点，以为边作等边，如图1．求证：
①；
②；

（2）是边长为2的等边三角形，E是边上的一个动点，以为边作等边，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，则的最小值为_______．
【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）
【分析】（1）①先证明，进而即可得到结论；②根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可证明；
（2）连接，过点作交的延长线于点，证明，可得，从而得，即点在射线上运动，
再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）①∵和是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②∵，
，
（2）连接，过点作交的延长线于点，

由（1）可得，
，
，
，
，即点在射线上运动，
又点在处时，，点在处时，点与重合．
∴点运动的路径的长，
∵，
∴，
∴，
即则的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝ 时，平分；
(2)求t为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)3
(2)6或或12或13
(3)4或12
【分析】（1）过点M作于D，证明，得出，由勾股定理列方程，即可求得答案；
（2）分情况讨论：①M在边上时，求出的长，即得答案；②点M在边上时，有三种情况，分别求出的值，即得答案；③在边上时，不能构成三角形；由此即得答案；
（3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：过点M作于D，
则，
平分，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，
在中， ，
解得：，
，
即当t为3时，平分；
（2）解:①当点M在上，如图，时，，
则；
②当点M在上，时，过点C作于D，
，
，
在中，，
，为边上的高，
，
，
，
则，
当时，，
，
，
当时，
，，
，
，
，
③当点M在边上时，不能构成三角形；
综上所述，当或或12或13时，为等腰三角形；
（3）解：分两种情况：
①M、N相遇前，当M点在上，N在上，如图所示：
则，
；
②在M、N相遇后，当M点在上，N在上，如图所示：
则，
；
为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分．
故答案为：4或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，一元一次方程的应用，正确画出图形变换时的图形是解题的关键．
题型三：勾股定理的逆定理（高频）
17．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（ ）个
①；②；③；④．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③．
【详解】解：∵
∴最大的，故①不符合题意；
∵，
∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意；
∵，
∴，
∴，则该是直角三角形，故③符合题意；
∵，
∴，则该是直角三角形，故④符合题意；
故选：C．
18．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查了格点作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格．取格点，得到，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：取格点，连接，，如图，
由网格的性质，知，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
19．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且．
(1)试说明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，于是结论得证；
（2）由（1）可得，进而可得，利用可证得，于是可得，然后在中，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
，
，，
，
，
．
20．（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，分别是的高线与角平分线，与交于点，，，．
(1)请判断的类型，并说明理由．
(2)已知，求的长度．
【答案】(1)为直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（）根据勾股定理的逆定理即可判断求解；
（）利用三角形面积可得，再根据角平分线和余角性质可得，得到，进而即可求解．
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴为直角三角形；
（2）解：∵为直角三角形，是的高线，
∴，
即，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的高和角平分线，余角性质，等角对等边，掌握以上知识点是解题的关键．
21．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
(1)填空：______，______，______．
(2)是直角吗？请说明理由．
(3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标．
【答案】(1)；；5
(2)是直角，理由见解析
(3)图见解析，， ，（答案不唯一）
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）利用勾股定理计算求解，即可解题；
（2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题；
（3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）．
【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1，
，，．
故答案为：，，5；
（2）解：是直角，理由如下：
，
为直角三角形，
是直角．
（3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系，
由图知，， ，．
22．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示意图，测得支架，，两轮中心之间的距离．
(1)求点到的距离；
(2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得所在的直线为轴，点在轴上，请求，，三点的坐标．
【答案】(1)点到的距离为
(2)，，
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，坐标与图形；
（1）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法，即可求解；
（2）由（1）可得，可得的坐标，根据勾股定理先求得的长，进而得出点的坐标，根据得出的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：因为，所以，
所以，
所以是直角三角形，．
设点到的距离为，
因为，所以
所以点到的距离为．
（2）因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
题型四：勾股定理的证明方法（难点）
23．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
【答案】(1)见解析
(2)120
(3)9
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程．
（1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得；
（2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
则；
（2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80，
∴，
设，则，
由勾股定理可得，，
，
，
解得：，
∴，
∴该飞镖状图案的面积是；
（3）解：设每个三角形的面积都为y，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
24．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
(1)判断：与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键．
（1）根据证明得出，即可推出结论；
（2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论．
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
25．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出．
(1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理；
(2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形的面积，即可证明结论；
（2）根据题意得到，进而得到，再根据计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
由图所示，，则由平移的性质可得到图中，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
或（舍去），
．
26．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为．
(1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____；
(2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接）
(3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)76
【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可；
（2）连接，根据正方形的面积与四边形的面积相等即可证明；
（3）根据外延部分的4个三角形全等,且,由勾股定理求得,根据风车的外围周长是，计算求解即可，
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
小正方形的边长为：，
故答案为：3；
（2）（答案不唯一）
证明：如图，连接，
，
正方形的面积为，
，，，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形的面积为：，
正方形的面积与四边形的面积相等，
，
，
，
．
（3）解：如图，以为边的正方形面积为61,
,
由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5，
，
，
，
这个风车的外围周长是：
故答案为：76
27．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，
体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：；
(2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用．
（1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论；
（2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值．
【详解】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积．
，
，
．
（2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积．
大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，
，
，
由题意知，
．
28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
(3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值．
【答案】[结论探究]（1）见解析；[结论应用]（2）千米；[问题拓展]（3）
【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
[结论探究]（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；
[结论应用]（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案；
[问题拓展]（3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出．
【详解】[结论探究] （1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，即；
[结论应用]（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，即千米，
(千米)，
答：新路比原路少千米；
[问题拓展]（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
29．（22-23八年级上·山西运城·期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）边上的高是；（3）
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【详解】证明：（1）∵，，，
，
∴，
∴，
∴；
（2），
，
，
，
即边上的高是；
（3）在中，由勾股定理得
，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴．
题型五：利用勾股定理证明线段平方关系（难点）
30．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，．
(1)图1中，若，，则边上的高的长为______；
(2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理．
（1）由勾股定理得，，根据，可得答案；
（2）作线段的垂直平分线，交于点P，连接，由线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知点P即为所求．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则点P即为所求，理由如下：
∵直线为线段段的垂直平分线，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
即点P符合题意．
31．（23-24八年级上·广东深圳·期中）(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；②
【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解；
（2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
即；
（2）①∵四边形和四边形为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
②
解析：在四边形中，，由（1）知
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
图2
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键．
32．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决．
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______；
(2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______；
(3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律．
【答案】(1)60，61
(2)，
(3)，，
【分析】（1）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将11代入第一个数即可；
（2）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将代入第一个数即可；
（3）根据勾股定理来验证即可．
【详解】（1）解：由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，
第二个数是，第三个数是．
故答案为60，61；
（2）由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，
第二个数是，第三个数是．
故答案为，；
（3）由题意可得，，
勾股数的规律是，，．
【点睛】本题是规律性问题，考查了勾股数之间的关系和勾股定理，能够根据条件分析数字规律以及熟练掌握勾股定理是解题的关键．
33．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边在右侧作等腰，．探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点在线段上，求证：；
(2)如图2，若点在线段的延长线上，其它条件不变，画出图形，猜想，，之间的数量关系，并证明；
(3)若动点满足，直接写出的值为________．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证得，，进而证得结论；
（2）过点作，垂足为，则，，可证明，由于在中，，由此可证得结论；
（3）根据点所在的位置画出图形，然后根据已知用表示出的长，再结合勾股定理求出和的长度即可．
【详解】（1）如图①所示：
和均为等腰直角三角形，
，，，，
．
在和中，
，
．
，
．
（2）．理由如下：
如图②：过点作，垂足为．
为等腰直角三角形，，
．
．
，
，
，
．
为等腰直角三角形，
．
．
（3）如图③：过点作，垂足为．
①当点位于点处时．
，
．
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
②当点P位于点处时．
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
综上所述，的比值为或；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，添加恰当的辅助线，熟练运用勾股定理，构造合适的全等三角形是解本题的关键．
34．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知是等边三角形．

(1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接．根据证明即可解决问题；
（2）以为边向下作等边，连接．证明，推出，再证明，即可解决问题；
（3）以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．同法可证：，可得，设，，利用勾股定理构建方程组，求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：如图1中，连接．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
．
（2）如图2中，以为边向下作等边，连接．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
（3）如图3中，以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．

同法可证：，
，设，，
则有，
解得，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
35．（21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，已知ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系 ；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
（3）若动点P满足＝，求的值（请利用图3进行探求）．
【答案】（1）AP2+BP2=PQ2；（2）证明见解析；（3）或
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，方法同（1）；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【详解】AP2+BP2＝PQ2．理由如下：
如图①：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2．
故答案为：AP2+BP2＝PQ2；
（2）AP2+BP2＝PQ2．理由如下：
如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2．
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①当点P位于点P1处时．
＝，

在Rt△CPD中，由勾股定理得： ，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
②当点P位于点P2处时．
＝，
在Rt△CPD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，
综上所述，的比值为或
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；解本题的关键是作图辅助线，熟练应用勾股定理和构造全等三角形．
36．（21-22八年级上·广东深圳·期中）已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，点D在线段BC上，∠DAE＝∠BAC=90°，连接CE，请写出：①BD和CE之间的位置和数量关系为 、 ；
②BD、CD和AE之间的数量关系为 ．
（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，AC＝，求线段BE的长；
（3）如图3，点D是等边△ABC外一点，∠ADC＝75°，若CD＝3，AD=，则BD的长为 ，请简要写出解答过程．
【答案】（1）①BD⊥CE，BD=CE；②；（2）BE的长为；（3），见解析．
【分析】（1）①利用全等三角形的判定定理证明≌，再由全等三角形的性质得到BD=CE，∠B=∠ACE，从而得到结论；②结合①的结论及勾股定理得到，，再等量代换即可得到结论；
（2）连接BD，利用全等三角形的判定与性质定理证得BD=CE，∠ADB=∠AEC，再证明是等边三角形求得∠BDE=90°，结合已知条件及勾股定理求出CE长，再由勾股定理计算BE长即可；
（3）以AD为边作等边△ADM，过点M作MN⊥CD交CD的延长线于点N，利用全等三角形的判定与性质定理证得BD=CM，再说明△DMN为等腰直角三角形，最后利用勾股定理进行计算求解即可．
【详解】解：（1）①∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴≌，
∴BD=CE，∠B=∠ACE，
又∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACE +∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE；
②由①知∠BCE=90°，BD=CE，
∴在中，，
又∵在中，，
∴，
∴；
故答案为：①BD⊥CE，BD=CE；②；
（2）如图，连接BD，
∵∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴≌，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴是等边三角形，
∴AE=DE，∠DEA=∠ADE=60°，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠ADB=∠DEA=30°，
∴∠BDE=90°，
∵AE=4，AC=，
∴在中，，，
在中，，
∴，
∴在中，；
（3）如图，以AD为边作等边△ADM，过点M作MN⊥CD交CD的延长线于点N，则AD=AM=DM=，∠DAM=∠ADM=60°，
∵等边△ABC，
∴∠BAC=∠DAM=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAM+∠CAD，即∠BAD=∠CAM，
又∵AB=AC，AD=AM，
∴≌，
∴BD=CM，
∵∠ADC＝75°，
∴∠MDN=180°－∠ADC－∠ADM=180°－75°－60°=45°，
∴∠DMN=∠MDN=45°，
∴MN=DN，即△DMN为等腰直角三角形，
∴，
∴MN=DN=1，
∴CN=DN+CD=1+3=4，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理论证是解题的关键．
题型六：勾股定理与垂美四边形（易错）
37．（22-23八年级下·湖北鄂州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于，若，，则 ．

【答案】100
【分析】由得，由勾股定理可得，，，，由，可得，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，，，，
，
，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键．
38．（22-23八年级下·湖北孝感·期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)如图1，已知四边形是垂美四边形．
①若，则它的面积为_____________；
②若，探究的数量关系．
(2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由面积和差关系可求解；②由勾股定理列出方程组，可求解；
（2）由三角形的中位线定理可得，，，由②的结论，列出方程可求解．
【详解】（1）解：①如图1，四边形是垂美四边形，
，
，
；
②如图1，四边形是垂美四边形，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
，
即：；
（2）解：如图，连接，
、分别是中边、的中点，，
，，，
，
四边形是垂美四边形，
，
，
．
故答案为
【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，理解垂美四边形的定义并运用是解题的关键．
39．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．

(1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）；
(2)求证：；
(3)若，，，则的长为________．
【答案】(1)是
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】（1）先证明，可得，再证，由此即可求解；
（2）运用直角三角形的勾股定理即可求证；
（3）结合（2）中的结论，运用勾股定理即可求解；
本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解图示，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是垂美四边形，
故答案为：是．
（2）证明：∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，（舍去），，
故答案为：．
40．（22-23八年级下·福建厦门·期中）在学习了平行四边形章节后，小明根据所学习的内容，试着创造了一个新的特殊四边形，规定：对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图1所示．
(1)【概念理解】证明：有三条边相等的垂美四边形是菱形；（写出已知、求证）
(2)【性质探索】若记垂美四边形面积为，试直接写出与、之间的关系；
(3)【性质应用】根据不完全统计，勾股定理的证明有400多种方法，小明为了证明勾股定理，尝试用两个全等的直角三角形（）如图2摆放，其中、、在一条直线上，若假设直角三角形三边长为，，，即，，，试利用（2）中结论证明勾股定理．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据已知写出已知求证再利用三角形全等证明结论即可；
（2）四边形的面积的面积的面积；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】（1）已知：四边形的两条对角线互相垂直，即 ，且；
求证：四边形是菱形
证明：∵，
∴ ，
在 和中

∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴有三条边相等的垂美四边形是菱形；
（2）解：如图1所示：
四边形的面积的面积的面积；
∴；
（3）由已知，可得
∵
∴
∴
∴是垂美四边形
由（2）可得是垂美四边形的面积
∴
∵
∴即
所以勾股定理得证．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
41．（22-23八年级下·河南新乡·期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．
(1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四边形的是 ．
(2)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接．
①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论．
②求的长（直接写出答案）．
【答案】(1)菱形、正方形
(2)，见解析
(3)①四边形是垂美四边形，见解析；②
【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）利用勾股定理即可得出结论；
（3）①根据证明，得，再由三角形内角和定理得，从而可得结论；②根据等腰直角三角形的性质可得，再代入计算即可
【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形，
故答案为：菱形、正方形；
（2）∵，垂足为点E，
∴，
由勾股定理得，，，
∴；
故答案为：，
（3）①连接与交于点O，与交于点N，如图，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
即CE⊥BG，
∴四边形是垂美四边形；
②∵在中，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是垂美四边形，
∴，即
解得，
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
42．（22-23八年级下·重庆渝北·期中）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
在我们学过的：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形中，属于垂美四边形的是__________；（只填序号）
【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．

【答案】【知识感知】③④【性质探究】，证明见解析【性质应用】
【分析】知识感知：根据垂美四边形的定义和以上四边形的性质即可判断；
性质探究：利用勾股定理分辨表示出四条边即可得出关系并求证；
性质应用：先证明，得到,再利用性质探究中的结论和勾股定理即可求解．
【详解】知识感知：∵菱形和正方形的对角线互相垂直，
∴属于垂美四边形的是③④；
性质探究：；
证明：，
∴，，,，
∴，
即；
性质应用：∵正方形和正方形，
∴，
∴,
∴，
∴，
又∵,
∴,
∴，
∴,
连接，
∵，，，
∴,，，
∴，
∴．

【点睛】本题为新定义题型，考查了正方形菱形的性质和勾股定理的应用，解题关键是理解题意，发现边之间的关系，本题有一定的运算量，需要细心对待．
题型七：勾股定理的实际应用（重点）
43．（24-25八年级上·河南郑州·期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米．
(1)求处与地面的距离．
(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米?
【答案】(1)米；
(2)米．
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
（2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
【详解】（1）解：在中，
米，米，
米
（米）．
答：处与地面的距离是米；
（2）在中，
米，（米），
米
（米）．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
44．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？
【答案】(1)旗杆的高度为
(2)小明需后退
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解；
（2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则，
在中，，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：旗杆的高度为．
（2）解：过E作重为M，
则，
∴四边形为长方形，
∴，，
，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
答：小明需后退．
45．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)米
(2)小鸟下降的距离为米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
46．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
【答案】树枝砸不到小车
【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车．
【详解】如下图所示，
，
为直角三角形，
在中，，，
，
，，
树枝砸不到小车．
47．（23-24八年级下·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN.
【答案】12尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键．
根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：，点是AB的中点，
.
，，
.
在中，根据勾股定理可得：.
，解得.
答：水的深度PN为12尺．
48．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【答案】9海里/时
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理，列出算式是关键．
先用勾股定理求出的长，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：（海里），海里，
，
在中
∴（海里），
∴乙船的航速是（海里/时），
答：乙船的航速是9海里/时．
49．（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【答案】(1)
(2)万元
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可；
（2）由的面积求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
答：公路的长度为；
（2），
，
，
，
∴修建林荫小道需要的费用为万元．
50．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为，
∴地毯面积为，
故答案为：
51．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．
(1)求的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：）
【答案】(1)米
(2)超速了，理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：在中，，
，
答：的长为米；
（2）解：小汽车的速度为：，
，
故小汽车超速了．
52．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，经过村和村（将村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且．
(1)求两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】(1)500米；
(2)公路有危险而需要封锁．需要封锁的路段长度为140米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及利用三角形的面积公式求出的长．
（1）根据勾股定理可直接求出；
（2）利用三角形的面积公式求得米．再根据241米250米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出．
【详解】（1）解：在中，米，米，
∴（米）．
答：A，B两村之间的距离为500米；
（2）公路有危险而需要封锁．
理由如下：如图，过C作于D．以点C为圆心，250米为半径画弧，交于点E，F，连接，，
∵，
∴（米）．
由于240米250米，故有危险，
因此段公路需要封锁．
∴米，
∴（米），
故米，
则需要封锁的路段长度为140米．
53．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？
【答案】站应建在距离点，10千米处
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可．
【详解】解：设，则，
、两村到站的距离相等，
．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
又∵，
，
，
答：站应建在距离点，10千米处．
54．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
【答案】(1)A
(2)
(3)最短为，方案见解析
【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键．
（1）结合图形即可得出结果；
（2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解；
（3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意，
故选：A；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：，
∴最短长度是；
（3）①把展开，如图此时总路程为，
②把展开，如图
此时的总路程为；
③如图所示，把展开，
此时的总路程为，
由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为．
55．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理．
(1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理；
(2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长；
(3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，25千米
(3)5
【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，也考查二次根式运算．
（1）根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过作于，根据矩形的性质得到，求得千米，根据勾股定理得到（千米），作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则此时的值最小，即总造价最低，过作于，则千米，千米，根据勾股定理得到（千米）；
（3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，
∵
∴，，，
∴，
∴梯形的面积，四边形的面积，的面积，
∵梯形的面积四边形的面积的面积，
，
化简得；
（2）解：过作于，
，，
，
四边形是长方形，
，，
千米，千米，
千米，
千米，
（千米），
作点关于直线的对称点，则，，
∴，
∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点，
过作于，则四边形为长方形，
则千米，千米，
（千米），
（千米），
答：两条公路的总长为25千米；
（3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形，
设，则
∴，，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，
∵四边形为长方形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最大值，最大值为．
题型八：勾股定理与全等三角形（难点）
56．（2024秋•岱岳区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ADC≌△ADE．
（2）若CD＝3，BD＝5，求BE的长．
【分析】（1）利用AAS即可证明△ADC≌△ADE；
（2）结合（1）根据勾股定理即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ADC和△ADE中，
∠C=∠AED∠CAD=∠EADAD=AD，
∴△ADC≌△ADE（AAS），
（2）解：∵△ADC≌△ADE，
∴DE＝DC＝3，
在Rt△BDE中，BD＝5，根据勾股定理，得
BE=BD2−DE2=4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，重合用转化的思想思考问题．
57．（2023春•天长市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．
（1）∠EDF＝ °．
（2）若DE=2，DF＝2，线段AB的长为 ．
【思路引领】（1）利用三角形内角和定理知∠ADE+∠BDF＝[360°﹣（∠A+∠B）]÷2＝135°，从而得出答案；
（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接BG，FG，作FH⊥DE于H，利用SAS证明△ADE≌△BDG，得∠DBG＝∠A，BG＝AE，再利用勾股定理求出FG和BF的长即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AD＝AE，BD＝BF，
∴∠ADE＝∠AED，∠BDF＝∠BFD，
∴∠ADE+∠BDF＝[360°﹣（∠A+∠B）]÷2＝135°，
∴∠EDF＝45°，
故答案为：45；
（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接BG，FG，作FH⊥DE于H，
∵AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，DE＝DG，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴∠DBG＝∠A，BG＝AE，
∴∠FBG＝90°，BF＝BG＝BD，
∵∠EDF＝45°，DF＝2，
∴FH＝DH=2，
∴FG=(2)2+(22)2=10，
∴BF＝BG=5，
∴AB＝2BF＝25，
故答案为：25．
【总结提升】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
58．（2024秋•景德镇期中）如图，在一条笔直的公路l旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路l的距离AC＝5km，B村庄到公路l的距离BD＝12km，现要在CD之间建一个加油站E，使得A，B两村庄到加油站E的距离相等．
（1）若AE⊥BE，试说明：△BDE≌△ECA；
（2）若C，D两点间的距离为17km，求C，E两点间的距离．
【分析】（1）先根据余角的性质证明∠B＝∠AEC，然后根据可证△BDE≌△ECA；
（2）设CE＝x km，则DE＝（17﹣x）km，根据BE＝AE，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BE，
∴∠BED+∠AEC＝90°，
又∵∠BED+∠B＝90°，
∴∠B＝∠AEC，
在△BDE在△ECA中，
∠BDE=∠ECA=90°∠B=∠AECBE=AE，
∴△BDE≌△ECA（AAS）；
（2）解：设CE＝x km，则DE＝（17﹣x）km，
在直角三角形BDE中，由勾股定理得：BE2＝122+（17﹣x）2，
在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AE2＝52+x2，
∵BE＝AE，
∴122+（17﹣x）2＝52+x2，
解得x＝12，
∴C，E两点间的距离12km．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
59．（2024春•蚌山区校级期中）如图，△ABC与△DBE都是等边三角形，DA、DB、DC三边长是一组勾股数，且DC边最长．
（1）求证：DE2+CE2＝CD2；
（2）求∠ADB的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得AD＝EC，∠ADB＝∠BEC，由勾股数可得结论；
（2）由勾股定理的逆定理可得∠DEC＝90°，由全等三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵△ABC与△DBE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝DE＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，且AB＝BC，DB＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴AD＝EC，∠ADB＝∠BEC，
∵DA、DB、DC三边长是一组勾股数，且DC边最长．
∴DA2+DB2＝DC2，
∴DE2+CE2＝CD2；
（2）∵DE2+CE2＝CD2，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BEC＝150°
∴∠ADB＝∠BEC＝150°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△ABD≌△CBE是本题的关键．
60．（2024秋•舟山期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D在BC边上，P，Q是射线AD上两点，且CP＝CQ，∠PCQ＝90°．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）若CP＝1，BP=6．
①求AP的长；
②求△ABC的面积．
【分析】（1）由∠QCP＝∠BCA＝90°，可知∠QCB＝∠PCA，即可证△QCB≌△PCA（SAS），有AP＝BQ；
（2）①由CP＝1，可得QP=2，∠CQP＝∠CPQ＝45°，有∠CPA＝∠CQB＝135°，故∠BQP＝∠CQB﹣∠CQP＝90°，即得BQ=BP2−PQ2=2，从而AP＝BQ＝2；
②求出S△BAQ=12AQ•BQ＝2+2，S△CPQ=12CP•CQ=12，而S△ACP＝S△BCQ，故S△ABC＝S△BAQ+S△CPQ＝2+2+12=52+2．
【解答】（1）证明：∵∠QCP＝∠BCA＝90°，
∴∠QCB＝∠PCA，
∵CQ＝CP，CB＝CA，
∴△QCB≌△PCA（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）解：①∵CP＝1，
∴CQ＝1，
∵∠QCP＝90°，
∴QP=2，∠CQP＝∠CPQ＝45°，
∴∠CPA＝∠CQB＝135°，
∴∠BQP＝∠CQB﹣∠CQP＝90°，
∴BQ=BP2−PQ2=(6)2−(2)2=2，
∴AP＝BQ＝2；
②∵∠BPQ＝90°，
∴S△BAQ=12AQ•BQ=12×（2+2）×2＝2+2，
∵∠PCQ＝90°，CP＝CQ＝1．
∴S△CPQ=12CP•CQ=12×1×1=12，
∵S△ACP＝S△BCQ，
∴S△ABC＝S△BAQ+S△CPQ，
∴S△ABC＝2+2+12=52+2；
∴△ABC的面积为52+2．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，证明△QCB≌△PCA．
61．（2024秋•海曙区校级期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．
（1）证明：BM＝CN．
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 ．
【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM＝DN，DB＝DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM＝CN；
（2）根据角平分线的性质得到DM＝DN，根据全等三角形的性质得到∠ADM＝∠ADN，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC＝55°于是得到结论；
（3）证明AB+AC＝2AN＝12，推出AN＝6，CN＝2，再根据，CD2＝CE2+DE2＝CN2+DN2，可得结论．
【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB＝DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
DB=DCDM=DN，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM＝CN；
（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
DA=DADM=DN，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴∠ADM＝∠ADN，
∵∠BAC＝70°，
∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，
∵∠BDM＝∠CDN，
∴∠BDC＝∠MDN＝110°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠EDC=12∠BDC＝55°，
∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，
∴∠DCB＝35°；
（3）解：在△ADM和△ADN中，
∠AMD=∠AND∠DAM=∠DANAD=AD，
∴△ADM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN，
∵△DMB≌△DNC，
∴BM＝CN，
∴AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝8+4＝12，
∴AN＝6，
∴CN＝AN﹣AC＝6﹣4＝2，
∵CD2＝CE2+DE2＝CN2+DN2，EC=12BC，
∴14BC2+9＝4+DN2，
∴4DN2﹣BC2＝20．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
62．（2024秋•新沂市期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2AE，求线段BF的长．
【灵活运用】
（4）如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE，CF，EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法证明即可△ADC≌△EDB（SAS）解答；
（2）根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；
（4）延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE＝CG，根据勾股定理解答．
【解答】解：（1）在△ADC和△EDB中，
BD=CD∠BDE=∠CDADE=AD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：D；
（2）∵△ADC≌△EDB，
∴EB＝AC＝8，
在△ABE中，
AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴AB﹣BE＜2AD＜AB+BE
∴2＜AD＜10，
故答案为：2＜AD＜10；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2，
∵AE＝EF，EF＝3，EC＝2AE，
∴AC＝9，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△MDB中，
BD=CD∠BDM=∠CDADM=DA，
∴△ADC≌△MDB，
∴FN＝CB＝12，BM＝AC＝9，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即BF＝9；
（4）线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2．
证明：如图3，延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC，
∵ED⊥DF，
∴EF＝GF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
ED=GD∠BDE=∠CDGBD=CD，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∵△BDE≌△CDG，EF＝GF，
∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，
∴BE2+CF2＝EF2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
63．（2024秋•三水区校级期中）【方法储备】如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC＝2，BC＝4，求CM的取值范围．中线倍长法：如图2，延长CM至点D，使得MD＝CM，连结BD，可证明，由全等得到BD＝AC＝2，从而在△BCD中，根据三角形三边关系可以确定CD的范围，进一步即可求得CM的范围．
（1）在上述过程中，证明△ACM≌△BDM的依据是 ，CM的范围为 ；
（2）【思考探究】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，D，E分别为AC，BC上的点，连结MD，ME，DE，∠DME＝90°，若BE＝1，AD＝2，求DE的长；
（3）【拓展延伸】如图4，C为线段AB上一点，AC＞BC，分别以AC，BC为斜边向上作等腰Rt△ACD和等腰Rt△CBE，M为AB中点，连结DM，EM，DE．
①求证：△DME为等腰直角三角形；
②若将图4中的等腰Rt△CBE绕点C转至图5的位置（A，B，C不在同一条直线上），连结AB，M为AB中点，且D，E在AB同侧，连结DM，EM．若AD＝5，EB＝3，DM＝22，请直接写出△DAM的面积．
【分析】（1）由△ACM≌△BDM得BD＝AC＝2，从而得出2＜CD＜6，进而得出1＜CM＜3；
（2）延长DM至点F，使得FM＝DM，连结EF，BF，推导出△ADM≌△BFM（SAS），得到BF＝AD＝2，∠A＝∠FBM，∠ACB＝ 90°，进一步推导出△EBF是直角三角形，利用勾股定理得出EF=EB2+BF2 =12+22=5，推导出EM垂直平分DF，即可得到DE=FE=5；
（3）①推导出△EMB≌△NMA（SAS），得到BE＝AN＝CE，∠NAM＝∠B＝45°，进一步推导出△DAN≌△DCE（SAS），得到DN＝DE，∠ADN＝∠CDE，进而得到∠CDE+∠NDC＝90°＝∠NDE，△DME为等腰直角三角形；
②如图5，延长EM至点F，使得FM＝EM，连结AF，DF，DE，首先证得△AFM≌△BEM，得到AF＝BE＝CE＝3，∠MAF＝∠MBE，MF＝ME，进一步证得△AFD≌△CED（SAS），得到DF＝DE，∠ADF＝∠CDE，∠DFA＝∠DEC，推导出△DEF为等腰直角三角形，在△DEC中，DE2+CE2＝32+42＝25＝52＝CD2，得到△DEC为直角三角形，且∠DEC＝90°，推导出AF∥BD，且有D，E，B三点共线，DB＝7，进而得到S△ADB＝14，S△DMA=i2S△ADB＝7．
【解答】（1）解：在△ACM和△BDM中，
AM=BM∠AMC=∠BMDCM=DM，
∴△ACM≌△BDM（SAS），
∴BD＝AC＝2，
在△BCD中，BC﹣BD＜CD＜BC+BD，即：4﹣2＜CD＜4+2，
∴2＜CD＜6，
∵CM=CD2，
∴1＜CM＜3，
故答案为：SAS；1＜CM＜3；
（2）解：延长DM至点F，使得FM＝DM，连结EF，BF，如图3，
在△ADM和△BFM中，
AM=BM∠AMD=∠BMFDM=FM，
∴△ADM≌△BFM（SAS），
BF＝AD＝2，∠A＝∠FBM，∠ACB＝ 90°，
∴∠A+∠CBA＝90°，
∴∠FBM+∠CBA＝90°＝∠CBF，
在Rt△EBF中，EF=EB2+BF2 =12+22=5，
∵DM＝FM，∠DME＝90°，
∴EM垂直平分DF，
∴DE=FE=5；
（3）①证明：延长EM至点N，使得EM＝NM，连结DN，AN，如图4，
在△EMB和△NMA中，
AM=BM∠EMB=∠NMAEM=NM，
∴△EMB≌△NMA（SAS），
∴BE＝AN＝CE，∠NAM＝∠B＝45°，
∴∠DAN＝∠DCE＝ 90°，
又∵DA＝DC，
∴△DAN≌△DCE（SAS），
∴DN＝DE，∠ADN＝∠CDE，
又∵∠ADN+∠NDC＝90°，
∴∠CDE+∠NDC＝90°＝∠NDE，
∴△DME为等腰直角三角形；
②解：S△DMA＝7．理由如下：
如图5，延长EM至点F，使得FM＝EM，连结AF，DF，DE，
∵M为AB中点，同上“倍长中线”方法可得△AFM≌△BEM，
∴AF＝BE＝CE＝3，∠MAF＝∠MBE，MF＝ME，
设∠DCE＝α，
∵∠DAF＝∠DAC+∠FAC＝45°+（∠FAB﹣∠CAB） ＝45°+∠EBA﹣（180﹣45°﹣45°﹣α﹣∠ABC） ＝45°+∠EBA﹣（90°﹣α﹣∠ABC） ＝α，
∴∠DCE＝∠DAF，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DF＝DE，∠ADF＝∠CDE，∠DFA＝∠DEC，
∴∠ADC＝∠FDE＝ 90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∵MF＝ME，
∴DM＝ME＝MF＝22，DM⊥ME，
∴DF＝DE＝ 4，
在△DEC中，DE2+CE2＝32+42＝25＝52＝CD2，
∴△DEC为直角三角形，且∠DEC＝90°，
∴∠DFA＝∠DEC＝90°，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝90°+90°＝180°，
∴AF∥BD，且有D，E，B三点共线，
∴DB＝DE+EB＝4+3＝7，
∴S△ADB=12BD•DF=12×7×4＝14，
∵M为AB中点，
∴S△DMA=i2S△ADB=12×14＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
题型九：勾股定理与折叠问题（易错）
64．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，，
∴，，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
则，
∴，
解得，
即，
故选：B．
65．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．

【答案】/
【分析】当时，过点作于，可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】过点作于，
在中，，，，
∴
∵，
，
在中，
∴，
当时，如图

由折叠性质可知，，
又
，
又，
，
，
，
又，
，
又，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
66．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别在边上取点，将沿直线翻折得到，使得点的对应点恰好落在延长线上，当时，的长为 ，当时，的长为 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质可得，先求出，从而可得，再由勾股定理可得，最后由，进行计算即可；令交于，连接，由折叠的性质可得：，，，，由得出，，证明得到，设，则，，根据建立方程，解方程即可得出的长，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，令交于，连接，
，
，
由折叠的性质可得：，，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
设，则，
，
，
，
整理得：，即，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
67．（22-23八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得，，，再分当点F靠近点C时，，当点F靠近点O时，则，两种情况利用勾股定理先求出的长，进而得到的长，设出的长，进而得到的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：在长方形中，，，
由折叠的性质可得，，，
恰好是边的三等分点，
∴当点F靠近点C时，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得到，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当点F靠近点O时，则，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得到，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
综上所述，点的坐标是或，
故答案为：或．
68．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ．
【答案】
【分析】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可．
【详解】解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图，
∵将长方形沿折叠，点的对应点为，
∴，．
∵点E为线段的中点，
∴，
∴，．
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴此时点运动的距离为2；
②当点落在对角线上时，作于点H，如图，
∴．
∵在长方形中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：（舍去负值），
∴，
∴此时点运动的距离为．
综上可知点运动的距离为2或．
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
69．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置．
(1)若，则______，______；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)若，，求的面积．
【答案】(1)，
(2)是等腰三角形，见解析
(3)
【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识．
（1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案；
（2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论；
（3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
由折叠可知，，
∴；
故答案为：，
（2）是等腰三角形，
由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）设的长为x，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴
解得，，
∴
∴．
70．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)求和的长；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)，
(3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答；
（2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答；
（3）利用四边形的面积即可求解．
【详解】（1）解：长方形，点的坐标为，
，，
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：；．
（2）解：由折叠的性质得，，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，即，
综上所述，，．
（3）解：由（2）得，，
，
由折叠的性质得，，
四边形的面积
，
四边形的面积为．
71．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．
请你运用所学知识，解决下面的问题：
(1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度；
(2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识．
（1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出．
（2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，
∴，，
∴，
由折叠得，，，
∴，，
在中，，
即
解得：
∴的长是．
（2）解：∵四边形是长方形，，，，
∴，，，，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴的长是5．
72．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为．
(1)填空：______，______，______．
(2)如图，的边与分别与交于点，，．
①求证：；
②求的长．
(3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标．
【答案】(1)，，
(2)①证明见解析；②
(3)点坐标为或
【分析】（1）根据题意，结合点的坐标，求解即可；
（2）①连接，根据等边对等角，得出，再根据折叠的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
②设，则，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，解出即可得出结果；
（3）分两种情况：当点在线段时和当点在线段的延长线上时，根据折叠的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵点，轴于点，轴于点，
∴，，，
∴，
故答案为：，，；
（2）①证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵将折叠得到，
∴，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
②解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵是以为直角顶点的直角三角形，
∴点在直线上，
如图，当点在线段时，
∵将折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
当点在线段的延长线上时，同理可求，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了坐标与图形、等边对等角、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解本题的关键．
73．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．
(1)当点Q落在边上时， _____；
(2)当直线经过点D时，求的长；
(3)如图2，点M是的中点，连接．
①的最小值为_____；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)①；②或或．
【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；
（2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解；
（3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可；
②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示，
∵长方形，，，
∴，，
∵翻折，
∴，
∴，
在中，；
故答案为：；
（2）当直线经过点D时，分两种情况：
当点在线段上时，如图：
∵翻折，
∴，，，
∴，
∴，
设，则：，，
在中，，即：，
∴；
∴；
②当在线段的延长线上时：
∵翻折，
∴，，
∴，
设，则：，，
在中，，即：，
∴；
∴；
综上：或；
（3）①连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，
即：；
故答案为：；
②当时，如图：
∵翻折，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：，
即：；
当，点在线段上时，如图：
∵，，
∴，
∴，点在上，
由（1）知：，
∴，
∴；
当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接，
∵翻折，
∴，
∵，
∴；
综上：或或．
题型十：勾股定理与网格问题（重难点）
74．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图．
(1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上．
(2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上．
(3)在图3中作出线段的垂直平分线，保留作图痕迹．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）作即可（答案不唯一）；
（2）作即可；
（3）先作线段，找出的中点，作直线即可．
【详解】（1）解：如图，即为所画；
（2）解：如图，即为所画；
（3）解：如图，直线即为所作
75．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点，
(1)图中格点的面积是_______；
(2)按要求画图：
①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形；
③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段．
【答案】(1)
(2)①见解析②见解析③见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用三角形面积公式求解即可．
（2）①根据全等三角形的判定，画出图形即可．
②利用轴对称法画出图形即可．
③画出直角三角形即可．
【详解】（1）解：的面积，
故答案为：；
（2）解：①如图，即为所画（答案不唯一）
②如图，即为所画（答案不唯一）
③如图，即为所画（答案不唯一）
76．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【背景介绍】
如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
（1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______；
（2）在中，，于点D．设，，．
①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______；
②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小；
【知识迁移】
（3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？
【答案】
（1）（2）①；②中线长为，高线长为，（3）40米
【分析】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用，解答中涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的运算等．由勾股定理延伸得到结论，并对其进行应用是解决本题的关键．
（1）先用割补法求出的面积，再用底×高表示面积，根据双求法列式，即可求出边上的高；
（2）①在中，利用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，根据“双求法”列式，化简即可得到关于a，b，m的关系式；
②根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可用含a，b的代数式表示的斜边上的中线，根据①的结论可用含a，b的代数式表示与高线，再根据的变形，即可得到结论；
（3）设与墙平行的边长x米，垂直于墙的边长y米，可得所有虚线的和为，根据（2）中得到的结论，可得，整理可得所有虚线和的最小值．
【详解】解：（1）如图，作边上的高，
∵，
，
，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）①如图，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵斜边长为，
∴斜边上的中线长为，高线长为，
∵，
∴，
∴；
故大小关系为：；
（3）设大长方形的长为x米，宽为y米，则小栅栏的总长度为平方米，（平方米），
∵，
∴，
∴，
答：小栅栏的总长度最少为40米．
77．（24-25八年级上·山西临汾·期中）【问题背景】
同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度与小正方形的边长相同），通过探究回答以下问题：
（1）如图1用两个面积为1的小正方形拼成一个大正方形，大正方形的边长为______．将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，点M表示的数为______．
【初步探究】
（2）小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：
如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．
①图3中正方形的面积为______．
②如图4，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E．则点E所表示的数是______．
【探究应用】
（3）①请运用以上知识在网格中画一个面积为5的正方形，使正方形的顶点均在格点上．（备注：网格小正方形的边长为1个单位长度）
②如果把这个正方形按照图4放置在数轴上，点A在数轴上表示的数是，以点A为圆心，长为半径画圆弧，与数轴相交，则交点所表示的数是______．
【答案】（1）；；（2）①10；②；（3）①画图见解析，②或
【分析】（1）根据勾股定理求出大正方形的边长，然后根据点到原点的距离表示出点即可；
（2）①用割补法求出正方形的面积，再根据算术平方根的定义即可求出边长；②表示的数比大，用加上长度即为表示的数；
（3）①根据网格的特点和勾股定理画图即可，②先建立坐标系，由①可得交点对应的数比大或小，从而可得答案．
【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，
图2中点表示的数为；
（2）①正方形的面积是；
②正方形边长为，
，
表示的数比大，即表示的数为，
（3）①正方形的面积为5
正方形的边长为，
如图所示，
②∵表示，以点A为圆心，长为半径画圆弧，与数轴相交，如图，

∴交点所表示的数是或．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，勾股定理，实数和数轴，以及用数轴上的点表示实数，解题的关键是求出正方形的边长
78．（24-25八年级上·河南郑州·期中）（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷，下面三幅图都能够用来验证勾股定理，请选择其中一个验证勾股定理．我选择的是：______（填“A”或“B”或“C” ）
A． B． C．
（2）【实践操作】
请在下面的方格纸中（小正方形的边长为1）画一个三角形，使其三边长分别为，，；
（3）若的边长分别为，，（，，且），请在图3的长方形网格（每个小长方形纵向的边长为m，横向的边长为n）中画出相应的，并直接写出的面积．
______．
（4）拓展应用：代数式：的最小值是______．
【答案】（1）见解析（2）图见解析（3）图见解析，（4）10
【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，掌握勾股定理，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）利用等积法进行验证即可；
（2）根据勾股定理构造三角形即可；
（3）利用勾股定理，构造三角形即可；
（4）将代数式转化为坐标系中轴上一点，到点以及点的距离的最小值，进行求解即可．
【详解】解：（1）选择A：，
∴，
∴；
选择B：，
∴，
∴；
选择C：，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，即为所求；
由勾股定理，得：，
故符合题意；
（3）如图，即为所求；
由勾股定理，得：，
故符合题意；
由图可知：的面积为：，
故答案为：；
（4），
故，可看成坐标系中轴上一点，到点以及点的距离和，如图，
设，
则：，
作点关于轴的对称点，则：，
∴当三点共线时，的长最小，即的值最小，为的值，
∴的最小值为：；
故答案为：10．
79．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图1，在的方格中，每个小正方形的边长为1．

(1)图1中正方形的边长为______；
(2)如图2，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______．
(3)请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）．
【答案】(1)
(2)
(3)见详解
【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴：解题的关键是求出正方形的边长．
（1）由勾股定理求出正方形的边长即可；
（2）根据图象可得点表示的数为点表示的数加上的长；
（3）画出边长为的正方形即可；
【详解】（1）解：由勾定理得，，
∴正方形的边长，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：；
（3）解：如图，正方形的面积为5，
．

80．（23-24八年级下·四川广安·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数；
(2)在图中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为；
(3)在图中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析．
【分析】（）根据网格可知作等腰直角三角形即可；
（）根据勾股定理的逆定理即可画图；
（）根据网格可得；
本题考查了作图，勾股定理定理及逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，
由网格可知：，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴即为所求；
（2）如图，
由网格可知：，，，
∴，，
∴是直角三角形，
∴即为所求；
（3）如图，
由网格可知：，
∴即为所求．
81．（23-24八年级上·广东云浮·期中）综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．

(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
(3)拓展应用：求代数式：的最小值．
【答案】(1)
(2)图见解析，
(3)5
【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可；
（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
（3）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
（2）的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：

由图可知：的面积是；
（3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：

设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解．
题型十一：勾股定理与最值（难点）
82．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是；
故答案为：
83．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米：
(1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
【答案】(1)；
(2)，图见解析
【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键．
（1）根据的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案；
（2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路径的长度．
【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知，的长为圆柱底面圆的周长，
圆柱的底面直径为，
；
（2）解：如图所示：
由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，
由（1）知，高，
，
在中，由勾股定理可得．
84．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：
(1)请直接写出，，三点的坐标；
(2)画出关于轴对称的；
(3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)图见解析；周长最小为
【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标；
（2）根据题意作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接即可；
（3）连接，利用对称的性质可得，进而根据勾股定理求出和的长，即可求出周长的最小值．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系中点的位置可知，、、三点的坐标分别为：，，；
（2）解：如图，作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接得到，即为所求作三角形；
（3）解：连接，则，
，，
，
即的周长最小值为．
85．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【分析】本题考查勾股定理最短路径问题：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由勾股定理，得：；
故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
，，
由勾股定理得：；
故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
86．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米．
请根据以上信息，回答下面的问题：
【问题探究】
（1）求小岛离步道的垂直距离．
【问题拓展】
（2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时，
① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因．
【方法迁移】
（3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）．
【答案】（1）75米；（2）①60米；②不符合，理由见解析；（3）5
【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正确解决本题的关键．
（1）根据题意，证明，即可得出结论；
（2）①延长至Q，使米，连接．过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，当A、Q、E三点共线时有最小值，利用勾股定理即可求出；
②由①可知，米，用勾股定理计算出米，，即可判断步道不符合要求；
（3）将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值．
【详解】解：（1）由题可知，，，
，
又∵P、B、D三点在同一条直线上，
，
又米，
，
米
（2）①米
如图3，延长至Q，使米，连接．
过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，
∵，即垂直平分，
，
，
当A、Q、E三点共线时有最小值，
即米
∵，
即，
∴四边形和四边形均为长方形，
米，，
∴米
∴在中，即米，
米，
②，
，
由①可知，米，
∴在中，，
米，
米，
米，
∴米，
显然，，
∴步道不符合要求．
（3）由（2）同理可得，，
的最小值为5．
87．（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，银行和超市在人民路（东西方向）上，小智同学家和学校分别在银行和超市的正北方向．已知学校和超市相距0.5千米，超市和银行相距0.8千米，银行和小智家相距1千米．星期五放学后，小智同学先到超市和银行之间的某个地方和小华见面，然后再回家．
(1)为了让小智从放学到回家所走的路程最短，小华应在哪个位置等小智？请在图中画出该位置，并简要说明作图方法或步骤；
(2)求出小智走过的最短路程．
【答案】(1)见解析
(2)小智走过的最短路程为1.7千米
【分析】（1）根据两点之间线段最短即轴对称的性质作图；
（2）根据勾股定理求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）如图：
步骤：①作A关于的对称点，
②连接交于点，
点即为所求；
（2）过作交其延长线于，则四边形为矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
即小智走过的最短路程为1.7千米．
88．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站．
(1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
(2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ．
【答案】(1)
(2)图见解析，25
【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
（1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解；
（2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：（1）设，则，
在与中，由勾股定理得，
，，
∵，
∴，
∴，
解得，
即收购站应建在离点处；
（2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，
过点作交的延长线于点，
则．
故答案为：25．
89．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理．
(1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理；
(2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长；
(3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，25千米
(3)5
【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，也考查二次根式运算．
（1）根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过作于，根据矩形的性质得到，求得千米，根据勾股定理得到（千米），作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则此时的值最小，即总造价最低，过作于，则千米，千米，根据勾股定理得到（千米）；
（3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，
∵
∴，，，
∴，
∴梯形的面积，四边形的面积，的面积，
∵梯形的面积四边形的面积的面积，
，
化简得；
（2）解：过作于，
，，
，
四边形是长方形，
，，
千米，千米，
千米，
千米，
（千米），
作点关于直线的对称点，则，，
∴，
∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点，
过作于，则四边形为长方形，
则千米，千米，
（千米），
（千米），
答：两条公路的总长为25千米；
（3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形，
设，则
∴，，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，
∵四边形为长方形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最大值，最大值为．