专题03 平行四边形-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲+练习（人教版）

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题型一：证明平行四边形（易错）
1．（24-25八年级下·全国·期中）已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由．
【答案】，，证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．
由四边形是平行四边形，即可得，然后利用平行线的性质，求得，又由，即可证得，继而可得、即，可得，可得四边形是平行四边形，从而可得结论．
【详解】解：猜想，，
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
即，
∴，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证．
【详解】证明：，，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
，
四边形是矩形．
3．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，已知中，O是的中点，过点O作，交于点E，交于点F．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明，，可得，可得，再进一步可得结论．
【详解】证明：∵点O为对角线的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
4．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形是菱形，交的延长线于E，，交的延长线于F．请你猜想与的大小有什么关系，并证明你的猜想．
【答案】，证明见解析
【分析】此题考查了菱形的性质与角平分线的性质，解题的关键是做出辅助线，根据角平分线的性质得出结论．连接，由四边形是菱形，则可得，再由，，根据角平分线的性质，即可证得．
【详解】证明：，理由如下：
连接，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴．
5．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，点是的中点，四边形是平行四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足______时，四边形是矩形．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)（答案不唯一），理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当满足时，四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
6．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
7．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形，见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质、菱形的判定等知识，理解并掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）首先根据平行四边形的性质可得，进而可得，再结合垂直平分线的性质证明，可证明，结合全等三角形的性质即可获得答案；
（2）首先证明四边形是平行四边形，再结合“邻边相等的平行四边形是菱形”，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形是菱形；理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形．
8．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知正方形，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接和的数量关系是______；
【模型应用】
（2）如图2，F是延长线上一点，交于点G．证明；
【模型迁移】
（3）如图3，F是延长线上一点，交于点G，．写出和的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解（3），理由见详解
【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论；
（2）根据四边形是正方形，以及，得出，因为，进行角的等量代换，即可证明出；
（3）先判断出，由（1）知，，由（2）知，，即可判断出结论．
【详解】（1）证明：是正方形的对角线，
，，
，
，
；
故答案为：
（2）解：，理由：
四边形是正方形，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：，
，
在中，，
，
由（1）知，，
由（2）知，，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
9．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图所示，四边形是正方形，M是延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与的平分线相交于点F．
(1)如图1，当点E在边的中点位置时，若，连接点E与边的中点N，请猜想与的数量关系，并加以证明．
(2)如图2，当点E在边上的任意位置时，猜想此时与有怎样的数量关系并证明你的猜想．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证．
（1）取的中点，连接，，证出即可得出答案；
（2）在边上截取，连接，证出即可得出答案．
【详解】（1）解：，
证明如下:如图，取的中点，连接，
∵四边形为正方形，
∴ ，
∵分别为中点
∴，
∴
又∵
∴
∴，
又∵，平分
∴．
∴
∵，
∴，
∴
在和中
∴，
∴
（2），
证明：如图，在边上截取，连接，
∵四边形是正方形， ，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，
∵平分， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中
∴，
∴．
10．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点在正方形的边上（不与点，重合），是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，．
(1)根据题意补全图形，并证明；
(2)①求证：；
②探究线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)图形见解析，证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由正方形的性质可知，即可证明结论；
（2）①连接，，首先证明，得，再证明，得，，得出是等腰直角三角形，从而得出答案；
②连接，首先利用，证明四边形是平行四边形，得，则，在中，利用勾股定理可得结论．
【详解】（1）解：补全图形如图，
证明：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）①证明：如图，连接，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②解：．
证明：连接，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
题型二：60°菱形问题（易错）
11．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在菱形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．
(1)求证：．
(2)设、交于点H．若，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质，易证，即可得出结论；
（2）连接，过点作于点，根据菱形的性质，易证是等边三角形，再结合三线合一的性质，得出，，利用勾股定理求得，进而得出，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，求出，得到，即可求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
点E、F分别是边、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，，
点E是边的中点，
，，，
同理可得，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
，
，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
12．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理；
（1）根据对角线互相平分可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得出，，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵ ，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为．
13．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
(2)由菱形的性质可得,,由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解.
【详解】（1）证明：,
,
平分,
,
,
,
,
,
四边形是平行四边形，
,
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，,
,
,,
,
，
,
(负值舍去),
,
菱形的面积.
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的面积公式是解决此题的关键．
14．（22-23八年级下·广东广州·期中）在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且．
(1)如图1，若四边形是正方形．
①求的度数；
②探究与的数量关系并说明理由．
(2)如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①；②，详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握有关基础知识是解题的关键．
（1）①先证明，进而推出；可得出，根据等边对等角和8字形模型即可解答；②如图2，如图2，在上取一点N，使，连接，证明，再根据全等三角形的性质即可解答；
（2）如图3，过点D作于E，连接，先证明是等边三角形，再证明和，进而完成解答．
【详解】（1）解：①如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
如图2，在上取一点N，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图3，过点D作于E，连接，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
由（1）同理得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
题型三：四边形中折叠问题（难点）
15．（23-24八年级下·广东广州·期中）在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到．
(1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长；
(2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离．
【答案】(1)；
(2)M到的距离为8．
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）先由矩形的性质和折叠的性质得到，再利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案；
（2）过点作于，交的延长线于，交的延长线于．证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上，
∴，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
；
（2）解：如图，过点作于，交的延长线于，交的延长线于．
四边形是矩形，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
到的距离为8．
16．（23-24八年级下·云南红河·期中）如图，将矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，，求的长度．
【答案】．
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，由矩形的性质可得，，即得，由折叠的性质可得，即可得，得到，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又由折叠可得，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
17．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）如图，折叠矩形的一边， 使点D落在边的点F处， 已知
(1) ，
(2)求的长．
【答案】(1)6，4
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】（1）根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，
（2）设，则，在中，根据勾股定理得，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，，，
折叠矩形的一边，使点落在边的点处
，，
在中，，
，
故答案为：6，4；
（2）设，
∵，
则，，
在中，
，
，解得，
的长为．
18．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）矩形折叠探究
在矩形纸片中，，点是边上的一点．
(1)如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长；
(2)如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理解答即可；
（2）根据折叠的性质以及勾股定理解答即可．
此题考查矩形的性质和勾股定理，关键是根据矩形的性质和折叠的性质解答．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形
∴，，，
设，则，
由折叠可得，，
在中，，
即，
解得：，
∴；
（2）解：当点与点重合时，
设，则，
由折叠可得，，，，
在中，，
即，
解得：，
．
如图：过点作
∵四边形是矩形，
∴四边形，是矩形
则设
∴
在中，
∴
∴
在中，
∴
19．（22-23八年级下·重庆潼南·期中）如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为．若，，求的面积．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，正确利用勾股定理构建方程求得
设，根据折叠和矩形的性质得到，，，然后根据勾股定理列方程求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】∵在矩形中，
∴，，，
设，
由折叠的性质得，，，．
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使、两点重合．点落在点处．已知，．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查了矩形的折叠，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理等知识：
（1）由折叠性质可知，由可得，所以，由等角对等边即可得证；
（2）由折叠性质并结合（1）中结论可设，则，在中，根据勾股定理建立方程，即，解得，则．
【详解】（1）证明：由折叠性质可知．
，
．
．
是等腰三角形．
（2）解：设，由折叠可知．
，
．
在中，由勾股定理得，
．
解得．
由（1）得，
．
21．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．
(1)试判断与的数量关系并证明你的结论；
(2)若，，则的长为________．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【知识点】正方形折叠问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）先根据折叠性质得到、关于对称，结合正方形性质推得后用“角边角”证即可求解；
（2）由折叠性质得，由勾股定理得后利用全等三角形性质和三角形面积公式求得，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：，证明如下：
根据折叠性质得：、关于对称，
即，且平分，
，
，
正方形中，，，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：平分，
，
中，，
，
，，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、正方形性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是善于利用折叠性质得出垂直且平分．
22．（23-24八年级下·广西北海·期中）【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，，点A的对应点为点N．
【问题初探】（1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，写出与相等的角： （写出一个即可）：
【拓展变式】（2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．求证：是等边三角形；
【问题解决】（3）如图（3），若四边形是平行四边形，，，点N落在线段上，为的中点，连接，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【知识点】矩形与折叠问题、正方形折叠问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形的特征即可求解；
（2）根据垂直平分线段，结合折叠的性质可得，如图所示，取中点H，连接，则，证明是等边三角形，得到，进而推出，即可证明为等边三角形；
（3）连接，延长至点，使得，连接，由折叠的性质得，易证为等边三角形，推出，在中，求出，，易证，推出，，三点共线，即可得到，即可求解．
【详解】解：（1）四边形是正方形，点落在对角线上，
，
，
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）垂直平分线段，
，，，
由折叠的性质可知，，，
，
如图所示，取中点H，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
为等边三角形；
（3）连接，
由折叠的性质得，
，
为等边三角形，
，
，
为的中点，
，
延长至点，使得，连接，
在中，，
，，
四边形是平行四边形，，，
，
，，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及正方形，矩形，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的特征，折叠的性质，熟练掌握正方形，矩形，平行四边形的性质是解题的关键．
23．（23-24八年级下·河南漯河·期中）正方形中，点H为射线上的一个动点，连接，把沿翻折，得到，直线交射线于点M，连接，过G作，分别交于E，N，F．
(1)如图1，当点H在线段上时，填空：
的度数为_______；与的数量关系为________；
(2)如图2，当点H在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请结合图2情形写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)45°，；
(2)成立，证明见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、正方形折叠问题
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等：
（1）由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，，证明，得到， 再证明，即可得到；由平行线的性质得到，则，即可证明，
（2）类似（1）证明，得到， 再由角的和差关系可证明，即；同理可证明．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，即；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（1）中结论仍然成立．
24．（23-24八年级下·福建厦门·期中）按照国际标准，A系列纸为矩形纸．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸；……，将纸沿长边对开便成了两张纸……．将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点B落在点处．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点C落在点处．
(1)求纸的长宽之比；
(2)利用图②，求证：是等腰直角三角形；
(3)按照国际标准，纸的长宽之比是 _______．（填空）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、正方形折叠问题
【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为；
（2）由折叠可知，．根据正方形的性质可求出，从而可求出，进而可求出，即可证是等腰直角三角形；
（3）由将纸沿长边对开便成了两张纸，得出的宽为纸的长，纸的宽为长的一半，再结合纸的长宽之比为，即得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形，
∴．
第二次折叠，得出，
∴，即纸的长宽之比为；
（2）证明：由第二次折叠可知，．
由（1）可知四边形为正方形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：∵将纸沿长边对开便成了两张纸，
∴的宽为纸的长，纸的宽为长的一半．
∵纸的长宽之比为，
∴纸的长宽之比为．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题关键．
25．（23-24八年级下·山西大同·期中）问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动．

动手操作：
第一步：如图，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图；
第二步：沿直线折叠，使点落在处，设交于点．如图；
第三步：延长交于点，连接交于点，如图．
解决问题：
(1)线段与的数量关系是__________；
(2)若正方形的边长为．
（）求的长；
（）求的值．
【答案】(1)；
(2)（）；（）．
【知识点】正方形折叠问题、根据正方形的性质证明、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形
【分析】（）根据正方形的性质可得，，再根据折叠性质可得，，证明即可；
（）（）由折叠性质可知，，，正方形的性质得，，，再由勾股定理即可求解；
（）连接，由折叠的性质可知，垂直平分，则，，，再证是的中位线得，最后由折叠性质和勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠性质可知，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）（）由折叠性质可知，，，
由（）知，
∵正方形的边长为，
∴，，，
在中，，
即，
解得；
（）连接，如图，

由折叠的性质可知，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由折叠性质可知，，，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴，解得，
∴ ，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
题型四：四边形中最值问题（难点）
26．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】利用菱形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
菱形中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
菱形的边长为6，
，
．
的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
27．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【知识点】根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴点B与D关于直线对称，
连接交于点，连接，
则，
，
当B、N、M三点共线时，取得最小值，
则即为所求的点，
则的长即为的最小值，
∵四边形是正方形，
∴是线段的垂直平分线，
又，
在中，，
故的最小值是．
故选：C．
28．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的边长为2，E是的中点，点P是边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．

【答案】
【知识点】四边形中的线段最值问题、根据正方形的性质求线段长
【分析】根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有；故均有成立；所以原题可以转化为求的最小值问题，分析易得连接与，求得交点就是要求的点的位置；进而可得，可得答案．
【详解】解：连接，
正方形的对角线互相垂直平分，
无论P在什么位置，都有；
故均有成立；
连接与，所得的交点，即为的最小值时的位置，
如图所示：

此时，
正方形的边长为，
，
E是的中点，
，
在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形中的最小值问题．解决此类问题关键是利用图形的轴对称性把所求的两条线段和转化为一条线段的长度，通常是以动点所在的直线作为对称轴作所求线段中一条线段的对称图形来转化关系．
29．（22-23八年级下·湖南永州·期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段问题(轴对称综合题)
【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点P作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：；．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．
30．（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、四边形中的线段最值问题、利用算术平方根的非负性解题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由．可得，，即可求解；
（2）①证明，得到，可得，即可求解；②取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解．
【详解】（1）解：．
，，
解得，，
点的坐标为；
（2）①与关于所在直线对称，
，，，
如图，连接，
，
，，
设，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
∴；
②取的中点，连接，．
，点是的中点，
．
，
，
，
由中点坐标可知：点的坐标为，
，
，
，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值，
，，
，
的最大值．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形是平行四边形．
31．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，点P是线段上的动点．
(1)当交于E时，
①如图1，求证：．
②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【知识点】四边形中的线段最值问题、四边形其他综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】（1）①连接，根据证明，得到，，再求出，进一步证明得到，等量代换可得结果；②先根据得到，得到，结合勾股定理得到；
（2）连接交于点O，先根据正方形的性质得到，，进一步得到当点P与点O重合时，的最小值，的最小值，以及此时，，最后根据M为中点得到Q为中点，即可求解．
【详解】（1）解：①如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，，理由是：
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，边长为4，
∴，，
∴当点P与点O重合时，的最小值为，
∵的最小值为，
∴的最小值为，
∴当点P与点O重合时，，如图，
∴，
∵M为中点，
∴Q为中点，
∴．
【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，勾股定理，最值问题，有一定难度，解题的关键是数形结合，利用正方形的性质添加辅助线．
题型五：四边形中动点问题（难点）
32．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为 ．

【答案】1或或
【知识点】利用平行四边形的性质求解、（特殊）平行四边形的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．分三种情形分别构建方程即可．
【详解】解：设秒后，点、、、为顶点的四边形为平行四边形．
由题意，当时，点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
则有：或或，
解得或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
33．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为．
(1)___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示）
(2)当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值；
(3)在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________．
【答案】(1)；；
(2)2或或4；
(3)4或 或．
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、用勾股定理解三角形、添一个条件成为平行四边形、添一个条件使四边形是菱形
【分析】（1）设运动时间为t秒，则，，
（2）设秒后四边是平行四边形；分情况讨论，根据平行四边形的性质列出方程解方程即可求解．
（3）根据（2）的三种不同情况根据菱形四边相等，分别画出图形利用等腰直角三角形性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，
∴设运动时间为t秒，则，
∵，，
∴；
故答案为：；；
（2）①当时，四边形是平行四边形，则：，解得，
②当时，四边形是平行四边形，则：，解得，
③当时，四边形是平行四边形，，解得，
④当时，，这种情况不可能．
综上所述，综上所述，t的值为2或或4；
（3）①当，四边形是菱形时，如图：
即：，
②当，四边形是菱形时，即：，，
∴
过点作，
∵，
∴，
∴，，故此时不存在使四边形是菱形，
③当四边形是菱形时，即：，，，
过点D作，过点K作垂足为H，当在内部时，如图③-1
∵，
∴四边形使平行四边形．
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
当在外部时，如图③-2，
此时，
综上所述：CD长为或 或．
【点睛】本题考查了四边形动点问题，平行四边形的性质与判定，分类讨论、构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键．
34．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．

(1)若两点同时出发．
①当t为何值时，四边形为平行四边形？
②当t为何值时，？
(2)若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，为直角三角形．
【答案】(1)① ②或
(2)或
【知识点】用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的性质求解
【分析】（1）①四边形为平行四边形时，根据即可得到答案；
②分点Q在P的右边和左边两种情况计算即可；
（2）分和两种情形进行讨论求解即可．
本题主要考查了四边形的动点问题，矩形的性质与判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【详解】（1）①根据题意，得，
∵,
∴,
∵四边形为平行四边形，
∴,
∴,
解得，
故当秒时，四边形为平行四边形．
②当在点P的右边时，根据①四边形为平行四边形时，，
此时．
当在点P的左边时，过点B作于点E，
∵,
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
过点作于点F，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴,
∴,
解得，
故当秒或时，．

（2） 当时，
根据题意，得，四边形是矩形，
∴,
∴,
∴,
解得，

当时，
过点作于点G，过点B作于点E，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
解得．
综上所述，当或时，为直角三角形．
35．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．
(1)从运动开始，当t取何值时，？
(2)从运动开始，当t取何值时，？
(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、（特殊）平行四边形的动点问题
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，可得，建立方程求解即可；
（2）过点作于,运用勾股定理求出长，然后过点作作于，则四边形是矩形，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）由四边形是菱形，可得，可得，此时，可得四边形不可能是菱形．
【详解】（1）当时,
∵ ,
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴,
∴；
（2）如图,
如图, 过点作于,
∴
∵,
∴
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形，
∴,,
∴,
根据勾股定理得，，
过点作于, 则四边形是矩形，
∴,
∵,
∴
，
根据勾股定理得， ，
解得：或
故为或；
（3）不存在, 理由:
∵四边形是菱形，
∴，
，
解得，
此时，
而 ，
∴四边形不可能是菱形.
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，构造出直角三角形是解本题的关键.
36．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点．
(1)若，求的长；
(2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？
(3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)当时平行四边形是菱形，理由见解析
(3)存在最小值
【知识点】含30度角的直角三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，此时，据此求出即可；
（2）当时，，此时平行四边形是菱形；
（3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值．
【详解】（1）当时，平行四边形是矩形，则，
，，
，
，，
；
（2），当时，
∴，此时平行四边形是菱形，
，，，
，
；
（3）如图，设与交于点，作于．

在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，垂线段最短，30度直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
37．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当__________时，四边形是矩形．
(2)当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)6.5
(2)6
(3)不能．理由见解析
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
（2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
（3）由若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得四边形不可能是菱形；
【详解】（1）根据题意得：，，
，，，
，，
在四边形中，，，
当时，四边形是矩形，
，
解得：，
当时，四边形是矩形；
故答案为：6.5；
（2）在四边形中，，
当时，四边形是平行四边形，
根据（1）得：，
解得：，
当时，四边形是平行四边形；
（3）不能，理由如下：
若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，
根据（2）得：，
，
过点作于，
四边形是矩形，
，
，，
，
四边形不可能是菱形．
38．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)若，则 ， ．
(2)经过多长时间，四边形是平行四边形？
(3)经过多长时间，四边形是矩形？
【答案】(1)，
(2)经过，四边形是平行四边形
(3)经过，四边形是矩形
【知识点】根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题、(等腰)梯形的定义
【分析】此题主要考查平行四边形和矩形的性质：
（1）根据题意可得，，
（2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解；
（3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解；
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴；
故答案为：，
（2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时，
所以，
解得：；
即经过，四边形是平行四边形
（3）解：设经过，四边形为矩形，此时，
所以，
解得：，
即经过，四边形是矩形．
39．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒．
(1)直线与之间的距离是 _____．
(2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式
(3)当时，求的值．
(4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
(4)或或
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点，合理利用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据平行四边形的面积为，列式运算即可；
（2）过点作于，则，根据梯形的面积公式即可求解；
（3）过点作于，利用勾股定理求出，当时，可得四边形为矩形，则，，分类讨论点在往返运动时的代数式，通过求解即可；
（4）分三种情况根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：设直线与之间的距离是，
∵，平行四边形的面积为，
∴，
∴，即直线与之间的距离是，
（2）过点作于，如图所示：
∵直线与之间的距离是，
∴，
∵动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，
∴当点从点向点运动时（点不与点、重合），，，
∴四边形的面积
∴；
（3）过点作于，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
当时，由题意得：，
∴，解得；
当时，由题意得：，
∴，解得；
当时，由题意得：，
∴，解得，不符合题意．
∴当PQ⊥BC时，t的值为或；
（4）∵平行四边形的面积为，
∴当平分平行四边形的面积时，，
当时，由题意得：，，
∴，
解得；
当时，由题意得：，，
∴，
解得；
当时，由题意得：，，
∴，
解得．
综上所述，当平分平行四边形的面积时或或．
40．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结．
(1)直接写出点与点重合时的值．
(2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．
(3)当时，求的值．
(4)当时，直接写出的值．
【答案】(1)5
(2)
(3)2或
(4)4
【知识点】用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题
【分析】（1）由题意可得，即可；
（2）根据题意可得，从而得到，即可；
（3）分两种情况，点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形；点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形，即可解决问题；
（4）分两种情况，结合等腰梯形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可．
【详解】（1）解：点Q与点C重合时，
由题意得：，
解得：，
即点Q与点C重合时，t的值为5；
（2）解：当点Q沿运动时，
由题意得：，
∴，
即的长为；
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
分两种情况：
点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：；
②点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
同①得：，
∴，解得：，
综上所述，当时，t的值为2或；
（4）解：分两种情况：
点Q沿运动时，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形，
如图3，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由（3）得：，
∴，解得：；
当点Q沿运动时，
∵，
∴，
当四边形是等腰梯形时，如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由（3）得：，
∴，解得：；
如图，当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
综上所述，当时，t的值为4或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰梯形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．
41．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．

(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示线段的长；
(3)连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】(1)10
(2)或
(3)①不存在，理由见解析；②存在，
(4)或2
【知识点】利用平行四边形的性质求解、（特殊）平行四边形的动点问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可；
（2）当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；
（3）①连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得，不符合题意舍去；②连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得即可；
（4）分两种情况，①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，证，求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：10；
（2）由题意得：，
当点在线段上时，；
当点在线段延长线上时，；
综上所述，线段的长为或；
（3）①不存在，理由如下：
如图1，连接、，

若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，，
，
解得：，不符合题意舍去；
②存在，理由如下：
如图2，连接、，

若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
存在的值，使得与互相平分，的值为；
（4）分两种情况：
①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，

由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，

由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，的值为或2．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
42．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）如图，矩形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为．

(1)当时，若平分，求的值；
(2)若，且是以为腰的等腰三角形，求的值；
(3)连接，直接写出点与点关于对称时的与的值．
【答案】(1)
(2)t的值为3或
(3)，
【知识点】用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明
【分析】（1）由勾股定理可求得，由角平分线的性质和平行线的性质可得，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；
（3）由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：当时，，
，由勾股定理得：，
四边形是矩形，
，，,
，
平分，
，
，
，，
即，
；
（2）解：当时，由运动过程可知，，，
，
在中，，
是以腰的等腰三角形，分情况讨论：
①，
，
，
②，
由等腰三角形的性质，得，
于是，，
，
即：t的值为3或；
（3）解：，．
如图，

由运动过程知，，，
，
点与点关于对称，
，，
，
，，，
过点作于F，
四边形是长方形，
，，
在中，，，
根据勾股定理得，，，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．
43．（22-23八年级下·湖北孝感·期中）如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度移动（不到点）.设点，同时出发移动秒．

(1)在点，移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由：
(2)如图2，连接，设交于点，当时，求的长；
(3)如图3，点，分别在边，上，且，连接，交于点，当与的夹角为，求的值．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)
(3)2
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】（1）通过证明得到，，则易推知是等腰直角三角形；
（2）过点作，交于点，，．可证，则其对应边相等：．所以在中，由勾股定理求得的长度，则；
（3）如图3，连接，，与交于．根据四边形是平行四边形，则其对边相等：．所以在中，由勾股定理得到：，故．
【详解】（1）解：等腰直角三角形．理由如下：
如图1，在正方形中，，．
依题意得：．
在与中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
（2）如图2，过点作，交于点，则．

，
．
在与中，
，
，
．
中，，，
，
；
（3）如图3，连接，，与交于，与交于点．

由（1）得，
又，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，得，
．
【点睛】本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角形的性质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题．
题型六：中点四边形模型（易错）
44.（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ．
【答案】④
【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，
先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误；
②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误；
③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误；
④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确；
故答案为：④．
45.（23-24八年级下·全国·期中）如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是
【答案】 20
【分析】先证明四边形是菱形，求出， ，，求出周长，同理可得四边形、、……为菱形，且对应的边长：，，…… ，进而求出四边形的周长即可．
【详解】解：连接，，，，如图所示：
∵菱形中，边长为10，
∴，，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形，
∴，，，，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴是等边三角形，四边形是菱形，
∴的周长为；
同理可得：四边形、、……为菱形，
且对应的边长：，
，
……
∴四边形为菱形，边长为，
∴四边形的周长为：
．
故答案为：20；．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，根据题意发现中点四边形性质，分别求出菱形矩形边长并发现规律进行推理是解题关键．
46.（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为
【分析】本题考查了三角形中点四边形，中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据三角形中位线定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
E、F、G、H分别是的中点，
四边形是平行四边形；
（2），
，
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
的周长．
47.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
(1)四边形的形状是__________，证明你的结论．
(2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
【答案】(1)平行四边形，证明见解析
(2)互相垂直且相等（且），证明见解析
【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键．
（1）如图1，连接，由点E、H分别是中点，可得，，同理，，，则，，进而可证四边形是平行四边形；
（2）如图2，连结，同理（1）可知，四边形是平行四边形，由，可得，证明平行四边形是矩形，由，可得，进而可证四边形是正方形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下；
如图1，连接，
点E、H分别是中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
四边形是平行四边形；
（2）解：互相垂直且相等（且），证明如下；
如图2，连结，
同理（1）可知，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
平行四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
题型七：十字架模型（难点）
48．（23-24八年级下·河南开封·期中）（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接，设交于H．请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在正方形中，E是边的中点，F是上点．过点F作，分别交于点G、H，若，，求的长．
【答案】（1），且，理由见解析；（2）7
【知识点】根据正方形的性质证明、利用矩形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定得到，由全等三角形的性质得到，，求出，求出即可；
（2）过作于，由可得，根据，可得，再根据是边的中点，可得，进而便可求得．
【详解】解：（1），且．
理由如下：
四边形是正方形．
，，
在 和 中，
，
，
，，
，
，
，
，
，且．
（2）解：过作于，如图：
正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是边的中点，
，
，
的长为7．
49．（22-23八年级下·山东烟台·期中）问题解决
（1）如图1，在矩形中，点E，F分别在，边上，连接，，且，于点G．
①求证：矩形是正方形；
②延长到点H，使得，请直接写出的形状；
类比迁移
（2）如图2，在菱形中，点E，F分别在，边上，连接，，，与相交于点G，且，，，求的长．
【答案】（1）①证明见解析；②等腰三角形，证明见解析；（2）
【知识点】证明四边形是正方形、利用菱形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）①证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解；②由①中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形；
（2）由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解．
【详解】证明：（1）①如图1，∵四边形是矩形，
．
．
，
．
又，
，
∴，
∴矩形是正方形．
②是等腰三角形．理由如下：
，
，
，
又，
，
即是等腰三角形．
（2）如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
．
，
．
，
．
又．
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质，等边三角形的判定与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
50．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，四边形是正方形，点，分别在，上，点在的延长线上，且．

(1)判断与的位置关系为 ，判断四边形的形状为 ；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)，平行四边形
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】根据正方形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明
【分析】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点．
（1）根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形；
（2）根据正方形性质求出，，根据全等三角形判定推出即可；
（3）根据全等得出，求出即可．
【详解】（1）
解：四边形是正方形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
故答案为：，平行四边形；
（2）
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（3）
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
．
51．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，在正方形中，边长为3，点M，N是边，上两点，且，连接，；
(1)则与的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)若点E，F分别是与的中点，计算的长；
(3)延长至P，连接，若，试求的长．
【答案】(1)，．
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和准确计算．
（1）证，得出，，再证即可；
（2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可；
（3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可．
【详解】（1）解：设与交于点Q，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）连并延长交于G，连接
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴
∵
∴
∴，，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，，
∴，
∴；
（3）过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
52．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O．．
(1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)若正方形的边长为，，小豪将正方形沿线段，剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个正方形．则该正方形的边长为多少？图3中阴影部分的面积为多少？（用含a的代数式表示）
【答案】(1)四边形是正方形．理由见详解
(2)正方形的边长为，阴影部分的面积为
【知识点】根据正方形的性质与判定证明、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】（1）先证明全等，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形．
（2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理求出和的长，所的面积减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积．再根据即可得出新正方形的边长．
【详解】（1）解：四边形是正方形．
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
全等，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵由（1）知，四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴新拼接成一个正方形的边长为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定的综合运用．
53．（22-23八年级下·山东烟台·期中）问题背景：如图，在正方形中，边长为4，点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O．
(1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
(2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长；
(3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，且，见解析；
(2)；
(3)．
【知识点】根据正方形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明，根据全等三角形的性质即可求证；
（）连接并延长交于，连接，先证明，得，，则有，根据勾股定理求出即可；
（）过点作于点，由勾股定理求出，根据等面积，得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解．
【详解】（1）解：，且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
（2）解：连接并延长交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于点，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等角对等边等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
题型八：中心直角模型（难点）
54．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连．
(1)求证：矩形为正方形；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、化为最简二次根式
【分析】（1）过点作于M，于N，证，得，即可证矩形为正方形；
（2）证明，可得，由此可推得，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作于M，于N，则．
四边形是正方形，
平分，，
又，，
，，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，，
．
在和中，
，
．
，
∵四边形是矩形，
矩形是正方形．
（2）解：四边形与四边形为正方形，
∴，，，
，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，化为最简二次根式，解决本题的关键是熟练运用相关性质定理．
55．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．

(1)求证：．
(2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据正方形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得；
（2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点O作于点H，连接，

∵正方形的边长为8，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
56．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）（1）【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是______（填序号即可）．
①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．
（2）【类比迁移】
如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
【答案】（1）①②③④；（2），理由见解析；（3）或
【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、化为最简二次根式
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可；
（3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解．
【详解】解：（1）如图1中，连接．
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④；
（2），理由如下：
如图2中，连接，
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）设，
①当E在之间时，如图3
，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
，
解得：，
；
②当E在延长线上时，如图4
同理可论：，
设，则，
即：，
解得：，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
题型九：外角平分线模型（难点）
57．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，为正方形边的中点，是延长线上的一点，，且交的平分线于．
(1)求证：；
(2)若将上述条件中的“为边的中点”改为“为边上任意一点”，其余条件不变，则结论“”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)成立，证明见解析．
【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识．
（1）要证，就要构建，只需取的中点，连接，依据正方形的性质可证
（2）只需作，其余证法与1同．
【详解】（1）证明：取的中点，连接．
∵，
∴，
∵为正方形边的中点，
∴，
∵平分，即，
又∵，
∴，
∴．
在和中
∵，
∴．
∴．
（2）解：结论“”仍成立．
证明如下：
在上截取，连接．
∵，，，，
∴．
∵，
∴．
又，
在和中
∵，
∴．
∴．
58．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明；
(1)【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】数学第一小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出大小，请你思考并解答这个问题．
(3)【拓展迁移】数学第二小组深入研究第一小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，已知的最小值为，那么在点的移动过程中，请你求出周长的最小值为_______．
【答案】(1)图见解析，，理由见解析
(2)，过程见解析
(3)
【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．
（1）取的中点F，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得；
（2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案；
（3）作，交的延长线于G，与交于O，则是等腰直角三角形，可知点D与G关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】（1）解：（1），
理由如下：如图，取的中点F，连接，
、E分别为、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）；
如图，在上取，连接，
由（1）同理可得，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）作，交的延长线于G，与交于O，
由（2）知，，
∴点在射线上运动，，
∴时，最小，此时为等腰直角三角形，
∴，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
点D与G关于对称，
的最小值为的长，
，
，
由勾股定理得，
周长的最小值为．
题型十：半角模型（难点）
59．（22-23八年级下·四川南充·期中）（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：；
（2）如图2，等腰中，，，点在边上，且，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）证明，，根据全等三角形的性质即可得出答案；
（2）过点作，垂足为点，截取．使，连接、．证明．得出，，再证明，得出，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，截取．使，连接、．
∵，．
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
于是，由，得．
在和中，
，
∴．
∴．
在中，由勾股定理．
∴．
∵，，
∴，
∴．
60．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________．
（2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系．
（3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．

【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】正方形性质理解、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形的性质、线段的和与差
【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得；
（2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出；
（3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题．
【详解】解：（1）四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，在延长线上取一点，使，连接，
，与互补，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，在的延长线上取一点，使，连接，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等．
61．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）如图，在正方形中，点分别在直线上，且，连接．
(1)如图①，当点E在线段上时，线段与之间的数量关系是______；
(2)如图②，当点E在线段的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并进行证明；
(3)若正方形的边长为，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)的长为或5
【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，
延长到点，使，连接，利用正方形的性质得，，可证明，有结合题意得，可证明，有，则；
在上取点，使，连接，利用正方形的性质得可证明，有结合题意得，即可证明，有则；
①当点E在线段上时，由(1)可知，结合题意得，设，则，，在中，由勾股定理求得；②当点E在延长线上时，在延长线上取点F，使，连接，由(2)可得，则，设，则，在中，由勾股定理求得．
【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
则，
在和中，
∴
∴，
则，
即；
（2）证明：，
如图，在上取点，使，连接，
∵四边形是正方形
∴
在和中
∴，
∴
∵
∴，
∴
在和中
∴，
∴
则，
即∶；
（3）解：分两种情况∶
①当点E在线段上时，
由(1)可知，
∵正方形的边长为2，，
∴
设，则，，
在中，由勾股定理得，解得，
即；
②当点E在延长线上时，如图，
在延长线上取点F，使，连接，
由(2)可得，
∵正方形的边长为2，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，解得，
即．
综上所述，的长为或5．
62．（23-24八年级下·湖南永州·期中）在正方形中，点E、F分别在边上，且，连接．
(1)如图1，试判断之间的数量关系，并写出证明过程．
(2)如图2，连接，与、分别相交于点M、N，若正方形的边长为6，，求的长；
(3)判断线段三者之间的数量关系并证明你的结论﹒
【答案】(1)，见解析；
(2)；
(3)．见解析
【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】此题考查了三角形全等、勾股定理，解题的关键是构造辅助线，熟悉三角形全等的证明．
（1）延长，使，证明和，求得；
（2）设，则，在中，根据勾股定理列式计算即可求解；
（3）三者之间的数量关系：，证明和，根据勾股定理即可证明．
【详解】（1）解：，见解析；
延长至，使，连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：设，
则，
由（1）可知，
，
在中，
根据勾股定理可得，
，
解得：，
∴；
（3）解：三者之间的数量关系为．证明见解析，
证明：延长至，使，连接，在上截取，连接，，如图，
由（1）可知，，即，
在和中，
，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
即．
63．（23-24八年级下·全国·期中）探究问题：
(1)方法感悟：
如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ．
感悟解题方法，并完成下列填空．
证明：延长到点G，使，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即______．
又∵，，
∴__________．
∴，
∵，
又，
∴．
变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________；
(2)方法迁移：
如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ．
【答案】(1)；；
(2)；；证明见解析
(3)
【知识点】根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明．得出，根据，得出．证明，得出，，根据，即可得出结论；
（2）延长至点G，连接，使得，证明，得出，．证明，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案；
（3）延长至点Q，连接，使得，证明，得出，，证明，得出，根据，得出．
【详解】（1）证明：延长到点G，使，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
又∵，，
∴．
∴，
∵，
又，
∴．
，理由如下：
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，；证明如下：
如图，延长至点G，连接，使得，
将沿斜边翻折得到，点E、F分别为、边上的点，且，
，，，
，
，
即．
在和中，
，
，
，．
在和中，
，
，
，
，，
，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：当时，．
如图，延长至点Q，连接，使得，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，，
，
当时，可使得．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．