第一章 特殊的平行四边形 小结与复习（课件）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

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第一章 特殊的平行四边形小结与复习平行且相等平行且四边相等平行且四边相等四个角都是直角对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角一、菱形、矩形、正方形的性质①定义：有一个角是直角的平行四边形.②定理1：对角线相等的平行四边形.③定理2：三个角是直角的四边形.①定义：一组邻边相等的平行四边形.②定理1：四条边都相等的四边形.③定理2：对角线互相垂直的平行四边形.①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形.②有一组邻边相等的矩形.③有一个角是直角的菱形.二、菱形、矩形、正方形的判定方法例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求 AB 和 AC 的长.解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = AD (菱形的边长相等)，AC⊥BD，OB = OD = BD = ×6 = 3 (菱形的对角线互相垂直平分). 又∵∠BAD = 60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴ AB = BD = 6，考点一 菱形的性质和判定证明：在 △AOB 中， ∵ AB = ，OA = 2，OB = 1. ∴ AB2 = AO2 + OB2. ∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证：□ABCD 是菱形.2. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由.ABCDEF解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F.由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形.则 S□ABCD = AD · CF = AB · CE.由题意知 CF = CE，∴ AD = AB. ∴ 四边形 ABCD 是菱形.例2 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求矩形对角线的长.解：∵ 四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD (矩形的对角线相等)， OA = OC = AC，OB = OD = BD (矩形对角线相互平分). ∴ OA = OD.考点二 矩形的性质和判定∵∠AOD = 120°，∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°.又∵∠DAB = 90° (矩形的四个角都是直角)，∴ BD = 2AB = 2×2.5 = 5.例3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两线相交于点 E．求证：四边形 AODE 是菱形.证明：∵ AE∥BD，ED∥AC，∴四边形 AODE 是平行四边形.∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD.∴ OA = OC = OD. ∴四边形 AODE 是菱形.【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由.解：四边形 CEBO 是矩形.理由如下：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴∠BOC = 90°. ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 CEBO 是平行四边形. ∴四边形 CEBO 是矩形.3. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， △ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC，OB = OD.又∵△ABO 是等边三角形，∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°.∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.∴□ABCD 是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形).∴∠ABC = 90° (矩形的四个角都是直角). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得AB2 + BC2 = AC2，∴ BC = .∴ S□ABCD = AB·BC = 4× = .4. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE，CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由.解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下： ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形. 在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∴∠BOC = 90°. ∴ 四边形 CEBO 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.例4 如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB = 90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF = AE.(1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由；解：四边形 BECF 是菱形．理由如下：∵ EF 垂直平分 BC，∴ BF＝CF，BE＝CE. ∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°. ∴∠2＝∠A.考点三 正方形的性质和判定∴ CE＝AE，∴ BE＝AE.∵ CF＝AE，∴ BE＝CE＝CF＝BF.∴ 四边形 BECF 是菱形.(2) 当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．解：当∠A＝45° 时，菱形 BECF 是正方形．证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°. ∴∠EBF＝2∠CBA＝90°.∴ 菱形 BECF 是正方形(有一角是直角的菱形是正方形).正方形的判定方法：① 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；② 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③ 先判定四边形是平行四边形，再证明邻边相等且有一角为直角，或对角线互相垂直且相等．例5 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF.(1) 求证：∠ECF＝90°；(2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请 说明理由；(1) 证明：∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝ ×180°＝90°.(2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形. 理由如下：∵ MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF.∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.∴ OE＝OC，OF＝OC.∴ OE＝OF.当点 O 运动到 AC 的中点时，OA＝OC，∴ 四边形 AECF 是平行四边形.∵∠ECF＝90°，∴ 四边形 AECF 是矩形.解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形．由 (2) 知四边形 AECF 是矩形，而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时，∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴ 四边形AECF是正方形． (3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边形 AECF 为正方形？ 5. 如图，两个含有 30° 角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 FC 滑动，下列说法错误的是 ( )A. 四边形 ACDF 是平行四边形 B. 当点 E 为 BC 中点时，四边形 ACDF 是矩形 C. 当点 B 与点 E 重合时，四边形 ACDF 是菱形 D. 四边形 ACDF 不可能是正方形 B6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = 10，BD = 6，则菱形 ABCD 的面积为_____．307. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1) 求证：△ABE≌△DAF；(2) 若∠G＝30°，求EF的长. (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = AD.在△ABE 和△DAF 中， ∴△ABE≌△DAF (ASA). (2) 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠BAD＝∠1＋∠4＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠1＝∠G＝30°.在 Rt△ADF 中，AD＝2，∴ DF＝1，AF＝ .由 (1) 得△ABE≌△DAF，∴ AE＝DF＝1.∴ EF＝AF－AE＝ －1.两组对边平行一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角一个角是直角且一组邻边相等见教材章末练习