初中北师大版（2024）4 正方形的性质与判定集体备课课件ppt

这是一份初中北师大版（2024）4 正方形的性质与判定集体备课课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了平行四边形，垂直平分，矩形的中点四边形，菱形的中点四边形，正方形的中点四边形，对角线不垂直不相等，对角线相等，对角线垂直，对角线相等且垂直，正方形等内容，欢迎下载使用。
(1)正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角为直角的____________叫正方形。(2)正方形的性质：①四条边都______；②四个角都是______；③对角线______，并且互相___________，每条对角线______一组对角；④是____对称图形，且有_______对称轴。
(3)正方形是特殊的______，特殊的_______，也是特殊的_______________，因而正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。(4)讨论：正方形的判定方法有哪些？正方形的判定既判定四边形是______，又判定四边形是_______。
探究一 探索正方形的判定条件
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？
提示：剪口线与折痕成 45°角即可。
如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？
判断四边形是正方形有哪些方法？
1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法）
2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等.
3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角.
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，又∵AB = BC，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD又∵AC ⊥ BD，∴△AOB ≌ △AOD（SAS）∴AB = AD∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线相等的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC = BD ，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC = 90°.∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线，①若∠BEF = 30°，则∠A =______. ②若 EF = 8 cm, 则 AC =______.
你还记得三角形的中位线定理吗？
探究二 正方形判定方法的应用
一般四边形的中点四边形
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？
任意四边形的中点四边形 是平行四边形.
如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？
平行四边形的中点四边形
平行四边形的中点四边形会是什么形状？
平行四边形的中点四边形是平行四边形.
你能试着证明这个结论吗？（提示：连接AC、BD）
矩形的中点四边形会是什么形状？
矩形的中点四边形是菱形.
你能试着证明这个结论吗？
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD 是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF = EH∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
菱形的中点四边形会是什么形状？
菱形的中点四边形是矩形.
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD，∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.又∵四边形 ABCD 是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1 = 90°，∠2=90°.∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
正方形的中点四边形会是什么形状？
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形.
又∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°.∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°.∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
【例1】(教材P19例2)已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）.在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，∴∠BEC = 90°.∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形。
【方法指导】(1)用AAS证明△BED≌△CFD；(2)先证明是矩形，再用邻边相等的矩形判定正方形。
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD。∵D为BC边的中点，∴BD＝CD。∴△BED≌△CFD(AAS)。
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)∵∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC，∴四边形DFAE是矩形。∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF。∴四边形DFAE是正方形。
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形。
1．下列选项中，不能判定四边形ABCD是正方形(对角线相交于点O)的是( )A．AB綊CD，AB＝AD，∠A＝90°B．AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°C．∠A＝∠B＝∠C＝90°，AC＝BDD．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD
2．若一个正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是____。
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB。若BE＝4，则S四边形ABCD＝____。
4．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH。(1)求证：△EBF≌△HAE；(2)判定四边形EFGH的形状，并说明理由。
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°。又∵AE＝BF＝DH＝CG，∴AH＝BE＝CF＝DG。∴△EBF≌△HAE(SAS)。
4．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH。(1)求证：△EBF≌△HAE；