初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定课文配套ppt课件

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定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
边：四条边相等，对边平行.
对角线：对角线互相垂直平分.
什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判定方法？
边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
那么，菱形的判定有什么方法呢？
探究一 一组邻边相等的平行四边形是菱形
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.
探究二 四边相等的四边形是菱形
平行四边形的边满足什么条件时，它就是菱形了？
猜想：四边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中 AB=BC=CD=DA,求证：四边形 ABCD 是菱形。
证明：∵AB=CD，BC=DA,∴四边形 ABCD 是平行四边形，又∵AB = BC，∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）
四边相等的四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB=BC=CD=DA，∴四边形 ABCD是菱形。
你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！
探究三 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知:如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴BD是线段 AC 的垂直平分线
∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义)
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形 ABCD是菱形。
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
如图，分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于 B、D，依次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 看上去是菱形.
【方法指导】利用菱形的性质与判定及勾股定理的逆定理，关键是先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形。
∴AB2＝OA2＋OB2。
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。
∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。
【例2】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝BD，∠BAD＝60°。(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若OD＝1，求四边形ABCD的面积。
【方法指导】(1)先证明△ABD为等边三角形，得到AD＝AB，再结合四边形ABCD是平行四边形即可；(2)利用菱形的性质求出AC，BD即可。
(1)证明：∵AB＝BD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形。∴AD＝AB。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF。(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积。
解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC。又∵BE＝2DE，∴BE＝BC。∵EF＝BE，∴EF＝BC。∴四边形BCFE是平行四边形。又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形。