数学七年级下册（2024）乘法公式课时训练

这是一份数学七年级下册（2024）乘法公式课时训练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（ x>y）．则① x−y=n；② xy=m2−n24；③ x2−y2=mn中，正确的是（ ）
A . ①②③ B . ②③ C . ①③ D . ①②
2.下列从左到右的变形，错误的是（ ）
A .(y−x)2=(x−y)2
B .−a−b=−(a+b)
C .(m−n)3=−(n−m)3
D .−m+n=−(m+n)
3.当x=2010时，计算[（x﹣3） 2+（6x﹣9）]÷x的值是（ ）
A . 2010 B . ﹣2010 C . 1005 D . 4020
4.若 ax 2＋2 x＋ 12 ＝(2 x＋ 12 ) 2＋ m ， 则 a ， m的值分别是（ ）
A . 2，0 B . 4，0 C . 2， 14 D . 4，14
5.将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A . （a+b）2=a2+2ab+b2
B . （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C . a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D . （a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
6.下列式子加上a 2﹣3ab+b 2可以得到（a+b） 2的是（ ）．
A . ab B . 3ab C . 5ab D . 7ab
二、填空题
1.已知，2a+b＝11，且2a﹣b＝5，则代数式（2a﹣b）（4a+2b）+1的值是 ________ .
2.发现： 41=4 ， 42=16 ， 43=64 ， 44=256 ， 45=1024 ， 46=4096 ， 47=16384 ， 48=65536 ， 依据上述规律，通过计算判断 3×4+142+144+1…432+1+1的结果的个位数字是 ________ ．
3.若 a+b=2 ， a2−b2=6 ，则 a−b= ________ ．
4.计算：5a 3b 2c÷10a 2bc= ________ ．
5.小明在数学综合实践课后，设计了以下运算 xymn=xn−ym,‖x,y‖=3(x−y) ． 若 M=a−2b 2a−ba+2b −a−2b ， N=a2,a ， 且 M+N的取值与a无关，则 M+N= ________ ．
6.a1=1−122，a2=1−132，a3=1−142，…，an=1−1n+12，sn=a1⋅a2⋅…an，则 S2022= ________ .
7.已知(m-n) 2=40，(m+n) 2=4000，则m 2+n 2的值为 ________ .
8.现有甲、乙两种正方形和丙种长方形纸片，边长如图所示，瑶瑶同学要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲种纸片9块，再取乙种纸片4块，还需取丙种纸片 ________ 块．
三、计算题
1.对于任何实数，我们规定符号 abcd的意义是： abcd=ad﹣bc．
（1）按照这个规定请你计算： 5678的值．
（2）按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1=0时， x+13xx−2x−1的值．
2.代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 a=12+3 ， 求 2a2−8a+1的值．分析与解答；
∵ a=12+3=2−3（2+3）（2−3）=2−3 ，
∴ a−2=−3 ，
∴ a−22=3 ， 即 a2−4a+4=3 ，
∴ a2−4a=−1 ，
∴ 2a2−8a+1=2a2−4a+1=2×−1+1＝−1 ．
请你根据上面的分析过程，解决如下问题：
（1） 计算 12+1=______；
（2） 若 a=12−1 ， 求 4a2−8a+1值．
3.甲、乙两个长方形，其边长如图所示 (m>0) ， 其面面积分别为 S1 ， S2 ．
（1） 比较 S1与 S2的大小．
（2） 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为 S3 ， 试探圥： S3与 2S1+S2的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
4.知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如：由图①可以得到 (a+b)2=a2+2ab+b2 ， 基于此，请解答下列问题：
（1） 直接应用：若 xy=5 ， x+y=7 ， 直接写出 x2+y2的值为___________；
（2） 类比应用：填空：
①若 x(4−x)=2 ， 则 x2+(x−4)2=___________；
②若 (x−3)(x−5)=2 ， 则 (x−3)2+(x−5)2=___________；
（3） 知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形 ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以 AD ， CD为边分别向外扩建正方形 ADGH、正方形 DCEF的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为 2000m2 ， 求原有长方形用地 ABCD的面积．

四、综合题
1. 若我们规定三角“ ”表示为： abc；方框“ ”表示为： (xm+yn).例如： =1×19×3÷(24+31)=3.请根据这个规定解答下列问题：
（1） 计算： = ________ ；
（2） 代数式 为完全平方式，则 k= ________ ；
（3） 当 x为何值时，代数式 有最小值，最小值是多少？
2.已知：△ABC的三边别是a，b，c．
（1） 当b 2+2ab=c 2+2ac时，试判断△ABC的形状；
（2） 判断式子a 2-b 2+c 2-2ac的值的符号．
3.观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
① 12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−12=2−1；
② 13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2；
③ 14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3(4)2−(3)2=4−3；
……
（1） 化简： 12020+2019= ________ .
（2） 化简： 1n+1+n= ________ （n为正整数）.
（3） 利用上面所揭示的规律计算：
11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12018+2019+12019+2020+12020+2021
4.如下图：
（1） 如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是 ________ （写成平方差的形式）
（2） 将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 ________ （写成多项式相乘的形式）
（3） 比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ________ ．
（4） 利用所得公式计算：2（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 124 ）（1+ 128 ）+ 1214 ．
5.一块边长为（3m﹣1）米的正方形广场，经扩建后仍为正方形，其边长比原来长3米．
（1） 求扩建后的广场面积
（2） 求扩建后的广场面积比原来增加了多少平方米．（结果用含m的代数式表示，要求化简）．
五、解答题
1.【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．图1是一个长为 2a、宽为 2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形；
（1） 直接写出图2中阴影部分的正方形的边长______________；请写出下列三个代数式 a+b2 ， a−b2 ， ab之间的等量关系；
（2） 若 mn=134 ， m−n=−6 ， 运用你所得到的公式，试求 m+n2的值；
（3） 如图3，点 C是线段 AB上的一点，以 AC、 BC为边向两侧作正方形，两正方形的面积和 S1+S2=50 ， 图中阴影部分面积为 314 ， 求 AB的长度．
2.已知m+n=8，mn=15，求m 2﹣mn+n 2的值．
3.二维码中的数学
【阅读材料】
生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息．
【问题探究】
（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格）
（2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个 2×2版本的二维码，在相邻的两边分别增加 a个方格和 b个方格，构成 (2+a)(2+b)新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：
a2+b2=37,a−b=5 ． 求扩展后的二维码共有多少个方格？
【实践应用】
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用 n×m（ n行 m列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求 n和 m为正整数，则 n+m的最小值为_____________．
4.（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①： a+b+cd=ad+bd+cd； 公式②： a+bc+d=ac+ad+bc+bd；公式③： a−b2=a2−2ab+b2 公式④： a+b2=a2+2ab+b2 ． 图1对应公式 ，图3对应公式 ．
（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？
①已知 a−b=1 ， a2+b2=9 ， 求 ab的值；
②已知 a+1a=4 ， 求 a−1a2的值．
（3）如图5，在六边形 ABCDEF中，对角线 BE和 CF相交于点 G ， 当四边形 ABGF和四边形 CDEG都为正方形时，若 BE=8 ， 正方形 ABGF和正方形 CDEG面积和为 36 ， 直接写出阴影部分的面积 ．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°）
5.附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．
（1） 请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；
（2） 试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a 2+4ab+3b 2 ．
六、阅读理解
1.阅读理解，并解决问题：
如图1是一个长为 2m ， 宽为 2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1） 求图2中的阴影部分的正方形边长？
（2） 请用两种不同的方法求图2阴影部分的面积：
（3） 观察图2，写出 m−n2 ， m+n2 ， mn三个代数式之间的等量关系，若m、n在实数范围内，这个关系式仍然成立，当 mn=−2 ， m−n=4时，求 m+n2的值．
2.请阅读以下材料，解决问题．
我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i ． 根据材料回答：
（1） 填空：①（2+ i）+（﹣1+3 i）＝ ________ ；
②（2+i）（﹣1+3i）＝ ________ ；
（2） 若 a+ bi是（1+2 i） 2的共轭复数，则（ b﹣ a） 2025＝ ________ ；
（3） 已知（ a+ i）（ b+ i）＝2﹣4 i ， 求 (a−13ab+b)(i+i2+i3+i4+⋯+i2025)的值 ．
（4） 结合上述材料解方程： x 2﹣4 x+6＝0.