初中数学北京版（2024）七年级下册（2024）6.4 乘法公式随堂练习题

这是一份初中数学北京版（2024）七年级下册（2024）6.4 乘法公式随堂练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.王老师在数学实践活动课上，给了每人一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证（ a+ba-b=a2-b2.下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证的是 （ ）
A .
B .
C .
D .
2.如果x+3y=2003，那么[（x 2+2xy﹣3y 2）﹣4006（x﹣y）]÷（x﹣y）的值是（ ）
A . 2003 B . -2003 C . 4006 D . 不能确定
3.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a 2■ab+9b 2 ， 则中间一项的系数是（ ）
A . 12 B . -12 C . 12或﹣12 D . 36
4.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A . （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
B . （a+b）2=a2+2ab+b2
C . （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
D . a2﹣ab=a（a﹣b）
5.如图有三种不同的纸片，现选取4张拼成了图甲，你能根据面积关系得到下列等式成立的是（ ）
A .a(a+b)=a2+ab
B .a2−b2=(a+b)(a−b)
C .(a−b)2=a2−2ab+b2
D .(a+b)2=a2+2ab+b2
6.初中毕业时，张老师买了一些纪念品准备分发给学生．若这些纪念品可以平均分给班级的（n+3）名学生，也可以平均分给班级的（n﹣2）名学生（n为大于3的正整数），则用代数式表示这些纪念品的数量不可能是（ ）
A . n2+n﹣6 B . 2n2+2n﹣12 C . n2﹣n﹣6 D . n3+n2﹣6n
二、填空题
1.计算（3﹣1）（3 2+1）（3 4+1）（3 8+1）（3 16+1）= ________ ．
2.若m（m﹣4n）+n（2m+n）＝25，mn＝6，则（m+n） 2＝ ________ .
3.若（2a-1） 2=4a 2+ma+1，则 m 的值是 ________ ．
4.若 a＋ b=7， ab=12，则 a 2＋ b 2= ________ ．
5.在实数范围内分解因式：x 3﹣2x= ________
6.青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形 GDJH的边长为a，青方对应正方形 ABCD的边长为b，已知 b−a=3 ， a2+b2=29 ， 则图2中的阴影部分面积为 ________ ．
7.若代数式x 2﹣（a﹣2）x+9是一个完全平方式，则a= ________ ．
8.定义新运算： a☆b=a−2b2−a+2b2 ， 则 3☆2☆1的值为 ________ ．
三、计算题
1.求值．
若 a+b=−1 ， ab=−12 ，求① a2+b2 ，② a−b 的值．
2.知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如：由图①可以得到 (a+b)2=a2+2ab+b2 ， 基于此，请解答下列问题：
（1） 直接应用：若 xy=5 ， x+y=7 ， 直接写出 x2+y2的值为___________；
（2） 类比应用：填空：
①若 x(4−x)=2 ， 则 x2+(x−4)2=___________；
②若 (x−3)(x−5)=2 ， 则 (x−3)2+(x−5)2=___________；
（3） 知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形 ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以 AD ， CD为边分别向外扩建正方形 ADGH、正方形 DCEF的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为 2000m2 ， 求原有长方形用地 ABCD的面积．

3.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示)就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了 a+bn(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第行的三个数1，2，1，恰好对应 a+b2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应 a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．
（1）请写出 a+b5的展开式 a+b5= ；
（2）根据规律计算： −4+55×44×3−10×43×32+10×42×32−5×4×34+35；
（3）若（2x﹣1）2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019 ， 求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值．
4.已知m 2+n 2﹣6m+10n+34=0，求m+n．
5.下面我们观察： 2-12=23-2×1×2+12=2-22+1=3-22 ， 反之， 3-22=2-22+1=2-12 ，
∵3-22=2-12
∴3-22=2-1 ．
仿上例，求：
（1） 化简： 4−23；
（2） 计算： 3-22+5-26+7-212+⋯⋯+19-290 ．
四、综合题
1.若 x 满足 (9−x)(x−4)=4， 求 (4−x) 2+(x−9) 2 的值.
设 9−x=a，x−4=b， 则 (9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5 ，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1） 若x满足 (5−x)(x−2)=2， 求 (5−x) 2+(x−2) 2 的值
（2） 已知正方形 ABCD 的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3 ，长方形 EMFD 的面积是 48 ，分别以 MF 、 DF 作正方形，求阴影部分的面积.
2.学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题.如图1，是由边长为a，b的正方形和长为a，宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式： (a+2b)(a+b)= a2+3ab+2b2.
（1） ①如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 ▲ ；
②已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，利用①中所得到的等式，求代数式 a2+b2+c2的值.
（2） ①如图3，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，类比图1，用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的等式为 ▲ ；
②已知a+b＝5，ab＝6，利用①中所得的等式，求代数式 a3+b3的值.
3.若x满足 (30−x)(x−10)=160 ， 求 (30−x)2+(x−10)2的值．
解：设 30−x=a，x−10=b ．
则 (30−x)(x−10)=ab=160 ， a+b=(30−x)+(x−10)=20 ，
∴ (30−x)2+(x−10)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×160=80 ．
解决问题：
（1） 若x满足 (2023−2x)2+(2x−2013)2=70 ， 求 (2023−2x)(2x−2013)的值，参考例题写出解题过程
（2） 如图，长方形 ABCD，AB=30，BC=18 ， 点E、F是 BC、CD上的点，且 BE=DF=x ， 分别以 FC、CE为边在长方形 ABCD外侧作正方形 CFGH和 CEMN ， 若长方形 CEPF的面积为200，求图中阴影部分的面积和．
4.解决下列问题：
（1） 已知x+3y＝7，xy＝2，求x﹣3y的值；
（2） 已知等腰△ABC的三边a、b、c为整数，且满足a 2+b 2＝4a+10b﹣29，求△ABC的周长.
五、解答题
1.我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1） 图中所表示的数学等式为 ；
（2） 利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知 13x2−6xy+y2−4x+1=0 ， 求 x+y2024⋅x2023的值；
②已知 x−2022+203−x2=25 ， 求 x−202203−x的值．
2.计算下列各题
（1）20150﹣|﹣2|+22
（2）（x﹣3）2 ．
3.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a 2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=（a+3）2－12=[（a+3）+1][（a+3）-1]=（a+4）（a+2）
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解： a2-2a-1=a2-2a+1-2=（a-1）2-2 ∵（a-b）2≥0，∴当a=1时，M有最小值．
2．请根据上述材料解决下列问题：
（1） 用 配方法因式分解： x2+2x-3 ．
（2） 若 M=2x2-8x ， 求M的最小值．
（3） 已知x 2+2y 2+z 2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
4.【基于教材】
（1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ；
【知识迁移】
（2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若 a+b=54 ， ab=964 ， 求种植番茄的面积；
【拓展应用】
（3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形 ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形 EFGH和四边形 PGND的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片 AMHP的面积．
5.已知关于x的方程x 2﹣6x+1=0．
求：x+ 1x的值；
六、阅读理解
1.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 −1 ， 记为识 i2=−1 ， 这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：2+i+3−4i=5−3i
（1） 填空： i3=___________， i4=___________；
（2） 计算：① 3+i3−i ②3+i2
（3） 若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： x−y+5i=1−x−yi（x，y为实数），求x，y的值．
2.阅读材料：“若x满足 90−xx−70=30 ， 求 90−x2+x−702的值”．
解：设 90−x=a ， x−70=b ，
则 90−xx−70=ab=30 ，a+b=90−x+x−70=20
所以(90−x)2+(x−70)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340
（1） [理解]
①若x满足 50−xx−45=10 ， 则 50−x2+x−452的值为_________；
②若x满足 (2020−x)2+(2018−x)2=40 ， 求 2020−x2018−x的值．
（2） [应用]已知正方形 ABCD的边长为x，E，F分别是 AD、DC上的点，且 AE=2 ， CF=6 ， 长方形 EMFD的面积是32，分别以 MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．