初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 直角三角形的判定同步训练题

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 直角三角形的判定同步训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题是假命题的是（ ）
A . 全等三角形的对应边相等，对应角相等
B . 直角三角形的两个锐角互余
C . 面积相等的两个三角形全等
D . 对顶角相等
2.如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=40°，∠C=70°，则∠EAD的度数（ ）
A . 35° B . 5° C . 15° D . 25°
3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（ ）
A . 1：2 B . 1：4 C . 1：5 D . 1：10
4.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是（ ）
A . 5，9，12 B . 5，12，13 C . 5，9，13 D . 9，12，13
5.下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A . 1，2，3 B . 2，3，5 C . 3，4，5 D . 3，4，6
6.下列说法：①“作 ∠BAC的平分线”是命题；②命题“如果 x2>0 ， 那么 x>0”是真命题；③定理“等腰三角形的两底角相等”有逆定理；④若 a、 b、 c是 △ABC的三边，且满足 |a−1|+b−2+(c−5)2=0 ， 则 △ABC是直角三角形；⑤命题“同角的余角相等”可改写为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”.其中正确的有（ ）
A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个
7.如图，在四边形 ABCD中， AB=BC=2 ， CD=3 ， DA=1 ， 且 ∠B=90° ， 则 ∠DAB=（ ）
A . 120° B . 110° C . 135° D .150°
8.具备下列条件的 △ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A .∠A=2∠B=3∠C
B .∠C−∠A=∠B
C .∠A:∠B:∠C=3:4:7
D .∠A=12∠B=13∠C
9.下列条件能判定 △ABC为直角三角形的是（ ）
A . a=13 ， b=14 ，c=15
B .∠A:∠B:∠C=1:2:4
C . a=32 ， b=42 ，c=52
D .∠A+∠B=∠C
10.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A . 3，4，5 B . 8，10，12 C . 8，12，13 D . 9，24，25
二、填空题
1.“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形 ABCD、 BEFG、 AHIG均为正方形．若 AD=5 ． EI=7 ， 则正方形 AHIG的面积为 ________ ．
2.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b） 2的值为 ________
3.有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为 ________ ．
4.若直角三角形斜边长为4，周长为 4+32 ， 则三角形面积等于 ________ ．
5.有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ________ ．
6.有长度为9cm，12cm，15cm，36cm，39cm的五根木棒，从中任取三根可搭成（首尾连接）直角三角形的概率为 ________ .
7.写出一组你喜欢的勾股数： ________
8.如图，点 C为直线 l上的一个动点， AD⊥l于 D点， BE⊥l于 E点， AD=DE=8 ， BE=2 ， 当 CD长为 ________ 时， △ABC 为直角三角形．
9.有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是 ________ cm， cm， ________ cm．
10.折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片 ABCD ， 他先将纸片沿 EF 折叠，再将折叠后的纸片沿 GH 折叠，使得 GD'与 A'B'重合，展开纸片后测量发现 ∠AEF=110° ， 则 ∠D'GH的度数是 ________ ．
三、作图题
1.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点.
（1） 在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使长MN= 10 .
（2） 在图2中以格点为顶点画△ABC，使AB= 5 ，AC= 20 ，BC=5.并判断它是否是直角三角形.
2.在平面直角坐标系 xOy中， △ABC的顶点 A0,1 ， B2,0 ， C4,3均在正方形网格的格点上．
（1） 画出 △ABC关于y轴的对称图形 △A1B1C1 ， 并求出 △A1B1C1的面积；
（2） 已知点D的坐标为 1,−2 ， 判断 △ABD的形状，并说明理由．
3.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， △ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）．
（1） 请作出 △ABC关于 x轴对称的 △A'B'C'；
（2） 判断 △ABC的形状并说明理由．
4.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
四、综合题
1.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由 A 行驶向 B ，已知点 C 为一海港，且点 C 与直线 AB 上的两点 A ， B 的距离分别为 AC=300km ， BC=400km ，又 AB=500km ，以台风中心为圆心周围 250km 以内为受影响区域．
（1） 求 ∠ACB 的度数．
（2） 海港 C 受台风影响吗？为什么？
（3） 若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 E 处时，海港 C 刚好受到影响，当台风运动到点 F 时，海港 C 刚好不受影响，即 CE=CF=250km ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
2.某花店老板李某为培育花苗，于2023年租了一块如图所示的四边形土地， ∠B=90° ， AB=40m ， BC=30m ， AD=130m ， CD=120m ， 该土地的租金为一年 45元/ m2 ， 则李某租用该土地一年需租金多少元？
3.为了探索代数式 x2+1+(8−x)2+25 的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD ，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则 AC=x2+1 ， CE=(8−x)2+25 则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1） 我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 x2+1+(8−x)2+25 的最小值等于 ________ ，此时x= ________ ；
（2） 题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)
（3） 请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式 x2+4+(12−x)2+9 的最小值．
4.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1） 求修建的公路CD的长；
（2） 若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
五、解答题
1.如图，将长方形纸片 ABCD沿 BE折叠，使点A落在对角线 BD上的F处．若 ∠DBC=36.9° ， DC=6,BC=8 ．
（1） 求 ∠BEF的度数．
（2） 求 DE长．
2.如图，台风“海葵”中心沿东西方向 AB由 A向 B移动，已知点 C为一海港，且点 C与直线 AB上的两点 A、 B的距离分别为 AC=300km， BC=400km，又 AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1） 海港 C受台风影响吗？为什么？
（2） 若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
3.已知：如图，在四边形 ABCD中， AB=a ， BC=b ， CD=c ， DA=12 ， ∠ABC=90° ， 且a、b、c三边满足 2a+b−11+4a−5b−1+c2+169=26c ．
（1） 求a、b、c的值；
（2） 求四边形ABCD的面积．
4.如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
5.某中学A，B两栋教学楼之间有一块如图8所示的四边形空地ABCD，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量 ∠ABC=90° ， AB=20米， BC=15米， CD=7米， AD=24米．
（1） 求出四边形空地ABCD的面积；
（2） 若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．
六、阅读理解
1.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．
2.阅读理解并解答问题
如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2 ， 那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数．