【新教材新课标】华东师大版数学八上13.1.2 直角三角形的判定 -课件+教案（表格式含反思）+大单元整体教学设计

第十三章 勾股定理13.1.2 直角三角形的判定《目录》教学目标通过对三角形边长与形状关系的探究，抽象出勾股定理的逆定理的本质内涵，能用符号语言准确表示逆定理。01能将“判断三角形是否为直角三角形”的问题转化为“验证三边平方关系”的数学问题，能运用逆定理解决与三角形形状相关的实际问题。02新知导入想一想：如何判定一个三角形是直角三角形?如果∠A +∠B =90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角.即有如下的直角三角形的判定方法:有两个角互余的三角形是直角三角形.新知导入由勾股定理，你能猜想是什么特殊关系吗?古埃及人曾经用下面的方法画直角:将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图所示钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.你知道这是什么道理吗?新知探究探究勾股定理的逆定理【试一试】试作出三边长分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形:(1)a=3，b=4，c=5；(2)a=4，b=6，c=8；(3)a=6，b=8，c=10.新知探究探究勾股定理的逆定理可以发现，按(1)(3)所作的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所作的三角形不是直角三角形.新知探究探究勾股定理的逆定理观察上面三组数据，结合上节课学习的勾股定理，算一算，你能发现什么？在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都满足 a2+b2=c2.（1）32+42=52（3）62+82=102总结归纳对于直角三角形的判定，有一般的结论：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.新知探究探究勾股定理的逆定理已知：如图①，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， a2+b2=c2.求证：∠C =90°.证明：如图②，作△A'B'C'，使 ∠C'=90°，A'C'=b， B'C'=a，则A'B'=a2+b2=c2，即A'B'=c.新知探究探究勾股定理的逆定理已知：如图①，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， a2+b2=c2.求证：∠C =90°.在△ABC和△A'B'C'中，∵BC=a=B'C'，AC =b=A'C'，AB =c=A'B'，∴△ABC≌△A'B'C'.∴∠C= ∠C'= 90°.新知探究【例4】在△ABC中，AB=n2-1，BC= 2n，AC= n2+1( n为大于1的整数 ). 问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：∵ AB2+BC2=(n2- 1)2 +( 2n )2 =n4 - 2n2+1+ 4n2 =n4+ 2n2+1 =(n2 +1)2=AC2,∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.想一想，为什么选择AB2+BC2? AB、BC、CA的大小关系是怎样的?拓展提高利用边的关系判定直角三角形的步骤：(1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边．(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形．新知探究探究勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.例如：3、4、5，6、8、10，n2 - 1、2n、n2+1(n为大于1的整数)，等等，都是勾股数.你能再举几个例子吗？5，12，13 8，15，17 7，24，25拓展提高判断勾股数的方法：(1)确定是不是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）.A. 1.5，2，2.5 B. 7，24，25C. 8，12，15 D. 6，8，10C课堂练习【知识技能类作业】必做题：2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）.A.三内角之比1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C.三边长之比为3：4：5 D.三内角之比为3：4：5D证明：∵ CD是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°,∴AC2=AD2 +CD2 =42+22=20， BC2=BD2 +CD2 =12+22=5，AB2=(AD + BD)2 =(4 +1)2 = 25，∴ AC2 +BC2=AB2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.课堂练习【知识技能类作业】必做题：3.如图，在△ABC中，CD是高，AD=4，CD =2，BD=1，求证：∠ACB=90°.课堂练习【知识技能类作业】必做题：4.如图是用三张正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，3，4，5，8，选取其中三种（可重复选取）按如图的方式组成图案，要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则所选取的三种纸片的面积分别是( )A.1，4，5 B.3，4，8 C.3，4，5 D.4，4，8D课堂练习【知识技能类作业】选做题：5.已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（　）A．30B．60C．78D．不能确定A 课堂练习【知识技能类作业】选做题：6.如图所示的网格是正方形网格，P，A，B均在格点上，则∠PAB + ∠PBA = _______.45°课堂练习【综合拓展类作业】7. 如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC上的一点，CE=5m，BC=13m，BE=12m.(1)判断△ABE的形状，并说明理由；解：△ABE是直角三角形.理由：BC =13m，BE =12 m，CE =5 m，132=169，122=144，52=25，∴BE2 + CE2= BC2,∴∠BEC=90°，∴∠AEB=90°，∴△ABE是直角三角形.课堂练习【综合拓展类作业】7. 如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC上的一点，CE=5m，BC=13m，BE=12m.(2)求线段AB的长.解：设AB =AC=xm，则AE =( x-5 )m，由(1) 可知∠AEB=90°，∴BE2 + AE2 = AB2 ,∴122 +(x- 5)2= x2，解得x=16.9，∴线段AB的长为16.9 m.课堂小结本节课你学到了什么？1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.作业布置【知识技能类作业】必做题：1.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a2- b2=c2，则下列说法正确的是( ).A.∠C是直角B.∠B是直角C.∠A是直角D.∠A是锐角C作业布置【知识技能类作业】必做题：2.已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( ).A. ∠A:∠B:∠C = 3:4:5B. ∠C=∠A-∠BC. a2 + b2 = c2D. a: b: c = 8: 15: 17A作业布置【知识技能类作业】选做题：3.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形，(1)a = 5，b=7，c=8；(2)a = 20，b=21，c=29.解：（1）52 +72 ≠82，不是直角三角形.（2）202+212=292，是直角三角形.作业布置【知识技能类作业】选做题：4.若△ABC的三边长a、b、c满足(a - b)2 +|a2 + b2 - c2| = 0，则△ABC是( ).A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形C作业布置【综合拓展类作业】5.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA = 3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果同时出发，则经过3s时，△BPQ的面积为多少？作业布置【综合拓展类作业】5.解：设AB的长为3xcm(x>0)，则BC的长为4xcm，AC的长为5xcm∵△ABC的周长为36cm，即AB+BC +AC=36 cm，∴3x + 4x + 5x = 36，解得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∴AB2 +BC2 = AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B= 90°.作业布置