【新教材新课标】华东师大版数学八上12.4.3 角平分线 -课件+教案（表格式含反思）+大单元整体教学设计

第十二章 全等三角形12.4.3 角平分线《目录》教学目标经历探索角平分线的性质定理及其逆定理的过程，进一步体验轴对称的特点，体会互逆定理之间的关系.01提出问题，根据问题进行探究、归纳角平分线的性质定理与判定定理，发展学生的空间想象力.02新知导入【想一想】角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.新知导入如图，a，b，c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处?新知探究探究角平分线的性质【动手操作】按如图所示的顺序和方法，先将∠AOB对折，再折出一个直角三角形，然后展开.新知探究探究角平分线的性质思考以下几个问题：(1)第一条折痕与∠AOB有什么关系?(2)后两条折痕与∠AOB的两边有什么关系?它们相等吗?(3)你能用一句话叙述上面操作过程中所得到的结论并证明吗?角平分线上的点到角两边的距离相等.试着证明这个结论。新知探究探究角平分线的性质已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点，PD⊥OA，PE ⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE.分析：图中有Rt△PDO 和 Rt△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD =PE.新知探究探究角平分线的性质已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点，PD⊥OA，PE ⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE.解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠POD=∠POE，OP=OP，∴△PDO≌△PEO. ∴PD=PE.总结归纳角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.数学语言：∵OP 平分∠AOB，PD⊥OA 于点D， PE⊥OB 于点E，∴PD=PE.新知探究探究角平分线的判定定理【探索】”角平分线上的点到角两边的距离相等“这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢?角平分线上的点到角两边的距离相等角的内部到角两边的距离相等的点点在角的平分线上新知探究探究角平分线的判定定理已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD= QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上.证明：如图，过点O、Q作射线OQ .∵ QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO = 90°.在Rt△QD0 和Rt△QEO 中，∵ OQ=OQ，QD =QE，∴ Rt△QDO≌△Rt△QEO(HL).新知探究探究角平分线的判定定理已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD= QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上.∴∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等).∴点Q在∠AOB的平分线上.总结归纳于是就有定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.数学语言：∵PD⊥OA 于点D， PE⊥OB 于点E，PD=PE，∴OP 平分∠AOB.新知探究探究三角形的三条角平分线相交于一点.上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：三角形的三条角平分线交于一点.从图中可以看出，要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了。新知探究探究其思路可表示如下：试试看，现在你会证明了吗？三角形的三条角平分线相交于一点.新知探究探究证明：∵AO 是∠BAC的平分线OI⊥AB，OH⊥AC，∴OI=OH，同理可得OI=OG，∴OH=OG，∵OH⊥AC，OG⊥BC，∴点O在∠BCA的平分线上.即△ABC的三条角平分线相交于点O.三角形的三条角平分线相交于一点.课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.如图，OP是∠AOB的平分线，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，则下列结论中不一定成立的是( ）.A. PA =PBB. PO平分∠APBC. AB垂直于OPD. AB垂直平分OPD课堂练习【知识技能类作业】必做题：2.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长度是( ).A.4B.3C.6D.5B课堂练习【知识技能类作业】必做题：3.已知：如图，△ABC中， AB= AC，D是BC的中点， DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F. 求证：DE=DF.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵ AB= AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD，又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，∴DE=DF.课堂练习【知识技能类作业】必做题：4.如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC= ∠OFC=90°，若∠AOC= 25°，则∠OCF的度数是_______.65°课堂练习【知识技能类作业】选做题：5.如图，∠CBJ的平分线BD与∠BCI的平分线CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( ).A.1B.2C.3D.4C 课堂练习【知识技能类作业】选做题：6.如图，已知∠B =∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD = 35°，则∠MAB的度数是______.35°课堂练习【综合拓展类作业】7. 如图，在△ABC中，∠B= 60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE = FD.证明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA = 180°-60°=120°，∵AD，CE分别平分∠BAC与∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=60°，∴∠CFD=∠AFE =60°，∠AFC=120°.课堂练习【综合拓展类作业】7. 如图，在△ABC中，∠B= 60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE = FD.在AC上截取AG =AE，连结GF.在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF = ∠CAF，AF = AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴∠AFG= ∠AFE =60°，FE=FG，∴∠CFG=∠CFD =60°.又∵CF =CF，∴△CDF≌△CGF(ASA)，∴FD =FG，FE =FD.课堂小结本节课你学到了什么？1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的三条角平分线交于一点.作业布置【知识技能类作业】必做题：1.如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PM⊥OB于点M， N是射线OA上的一个动点. 若PM= 5，则PN的最小值为( ).A.1.5B.2.5C.3D.5D作业布置【知识技能类作业】必做题：2.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( ).A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高所在直线的交点D.以上均不对B作业布置【知识技能类作业】选做题：3.如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A.一处B.二处C.三处D.四处D作业布置【知识技能类作业】选做题：4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点 E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC平分∠ABF，AE =2BF，下列结论:①DE=DF； ②DB=DC; ③AD ⊥BC； ④AC =3BF.其中正确的结论为___________.(填序号)①②③④作业布置【综合拓展类作业】5.如图，CB=CD，∠D + ∠ABC=180° ，CE⊥AD于点E.求证：AC平分∠DAB证明：如图，过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.∴ ∠DEC=∠BFC =90°.∵ ∠D +∠ABC=180°,∠CBF + ∠ABC =180°，∴∠D=∠CBF.作业布置【综合拓展类作业】5.如图，CB=CD，∠D + ∠ABC=180° ，CE⊥AD于点E.求证：AC平分∠DAB在△CDE与△CBF中，∠D=∠CBF，∠DEC =∠BFC， CD=CB，∴△CDE≌△CBF(AAS)，∴CE=CF，又∵∠DEC=∠CFB=90°，∴AC平分∠DAB.